Leerdoelen
•Je kunt de somrij uitrekenen zonder grafische rekenmachine
Wat is een somrij en hoe bereken je deze?
Een somrij is de optelling van de termen in een rij. Het is mogelijk de som van de termen in een rij snel te berekenen zonder gebruik te maken van een grafische rekenmachine. Dit is nuttig in situaties waarin een totaal snel bepaald moet worden.
Hoe bereken je de som van een rekenkundige rij?
Een rekenkundige rij is een rij waarin het verschil tussen opeenvolgende termen constant is. Dit constante verschil wordt 'het verschil' genoemd. Een term (Un) is een element in een rij, waarbij de index 'n' de positie van de term aangeeft (bijvoorbeeld U0 is de eerste term, U1 de tweede).
De wiskundige Carl Friedrich Gauss ontdekte een snelle methode om de som van een rekenkundige rij te berekenen. Voor de som van de getallen van 1 tot en met 100 telde hij de eerste en de laatste term bij elkaar op: 1 + 100 = 101. De tweede en de voorlaatste term geven 2 + 99 = 101. Dit herhaalt zich. Omdat er 100 getallen zijn, zijn er 50 van zulke setjes van 101. De som is dan 50 × 101 = 5050.
De sigma-notatie (Σ) is een wiskundige notatie die de som van een reeks termen aangeeft. Voor een rekenkundige rij van U0 tot en met Un schrijf je de som als Sn.
De algemene formules voor de som van een rekenkundige rij zijn:
•Als de rij begint met U0 en eindigt met Un: Sn = 1/2 × (n + 1) × (U₀ + Uₙ) Hierbij is (n + 1) het totale aantal termen in de rij.
•Als de rij begint met U1 en eindigt met Un: Sn = 1/2 × n × (U1 + Un) Hierbij is n het totale aantal termen in de rij.
Voorbeeldberekening rekenkundige rij
Gegeven is de rekenkundige rij: 5, 9, 13, 17, ..., 33. Deze rij loopt van U0 tot en met U7. Het verschil is 4. Om de somrij S7 te berekenen, gebruik je de methode van Gauss:
1.Tel de eerste en de laatste term op: U0 + U7 = 5 + 33 = 38.
2.Het aantal termen is 8 (van U0 tot U7). Er zijn 8 / 2 = 4 setjes.
3.Vermenigvuldig het aantal setjes met de som van elk setje: 4 × 38 = 152. De som van de rij is 152.
Toepassing: Rummikub-voorbeeld
Bij het spel Rummikub heb je een reeks getallen op stenen, bijvoorbeeld 2, 3, 4, 5, 6, 7. Dit is een rekenkundige rij met 6 termen. Om de som hiervan snel te berekenen:
1.Tel de eerste en de laatste term op: 2 + 7 = 9.
2.Het aantal termen is 6. De helft hiervan is 3 setjes.
3.Vermenigvuldig het aantal setjes met de som van elk setje: 3 × 9 = 27. De som van de stenen is 27.
Hoe bereken je de som van een meetkundige rij?
Een meetkundige rij is een rij waarin de verhouding tussen opeenvolgende termen constant is. Deze constante verhouding heet 'de reden'.
De methode om de som van een meetkundige rij te berekenen is anders dan die voor een rekenkundige rij. Stel, je hebt de rij 5, 15, 45, 135, 405, 1215. Deze rij loopt van U0 tot en met U5. De reden (r) is 3. De somrij S5 is 5 + 15 + 45 + 135 + 405 + 1215.
Om S5 te berekenen, volg je deze stappen:
1.Bereken de eerstvolgende term, U6, die niet in de somrij S5 zit: U6 = U5 × r = 1215 × 3 = 3645.
2.Vermenigvuldig de hele somrij S5 met de reden (r): 3 × S5 = (3 × 5) + (3 × 15) + (3 × 45) + (3 × 135) + (3 × 405) + (3 × 1215) 3 × S5 = 15 + 45 + 135 + 405 + 1215 + 3645
3.Trek de oorspronkelijke somrij S5 af van (r × S5): (3 × S5) - S5 = (15 + 45 + 135 + 405 + 1215 + 3645) - (5 + 15 + 45 + 135 + 405 + 1215) Bij deze aftrekking vallen de meeste termen tegen elkaar weg (15 - 15 = 0, 45 - 45 = 0, enz.). Je houdt over: (3 - 1) × S5 = 3645 - 5 2 × S5 = 3640 S5 = 3640 / 2 = 1820
De algemene formule voor de som van een meetkundige rij die loopt van U0 tot en met Un is: Sn = (U(n+1) - U0) / (r - 1) Hierbij is U(n+1) de eerste term die niet in de somrij zit en r de reden van de rij.
Voorbeeldberekening meetkundige somrij
Gegeven is de recursieve formule U(n+1) = 5 × Un met U0 = 3. Bereken S10.
1.Bereken de term U11, die niet in S10 zit. Gebruik hiervoor de directe formule van een meetkundige rij: U_n = U_0 × r^n. U11 = 3 × 5^11 = 146.484.375.
2.Pas de formule voor de som van een meetkundige rij toe: S10 = (U11 - U0) / (r - 1) S10 = (146.484.375 - 3) / (5 - 1) S10 = 146.484.372 / 4 S10 = 36.621.093
Hoe bereken je een onbekende term in een gecombineerde rij?
Soms krijg je informatie over somrijen van een gecombineerde rij, een rij met zowel rekenkundige als meetkundige elementen, en moet je een onbekende beginterm (zoals U0) berekenen. Een recursieve formule definieert een term in een rij op basis van de waarde van de voorgaande term(en).
Voorbeeldberekening gecombineerde rij
Gegeven is de rij: U(n+1) = 5 × Un - 12. Ook bekend zijn de somrijen S2 = 226 en S3 = 1104. De vraag is: bereken U0.
De volgende stappen kunnen gebruikt worden:
1.Bereken U3 met de gegeven somrijen: S3 = S2 + U3 1104 = 226 + U3 U3 = 1104 - 226 = 878
2.Bereken U2 met de recursieve formule U(n+1) = 5 × Un - 12 en de zojuist berekende U3: U3 = 5 × U2 - 12 878 = 5 × U2 - 12 5 × U2 = 878 + 12 5 × U2 = 890 U2 = 890 / 5 = 178
3.Bereken U1 met de recursieve formule en de berekende U2: U2 = 5 × U1 - 12 178 = 5 × U1 - 12 5 × U1 = 178 + 12 5 × U1 = 190 U1 = 190 / 5 = 38
4.Bereken U0 met de recursieve formule en de berekende U1: U1 = 5 × U0 - 12 38 = 5 × U0 - 12 5 × U0 = 38 + 12 5 × U0 = 50 U0 = 50 / 5 = 10 De beginterm U0 is 10.
