In de figuur hieronder is de beweging van een wandelend persoon weergegeven. Is deze persoonvan het startpunt vandaan gelopen en daarna teruggekeerd naar het startpunt?
Leerdoelen
•Je kunt aan de hand van een (x,t)-diagram de gemiddelde snelheid bepalen.
•Je kunt aan de hand van een (x,t)-diagram de snelheid op een bepaald moment bepalen.
•Je kunt beargumenteren of een beweging, weergegeven in een (x,t)-diagram, een eenparige, versnelde of vertraagde beweging is.
•Je kunt de juiste methode kiezen om de gemiddelde snelheid of de snelheid op een bepaald moment te bepalen, afhankelijk van het type beweging.
De beweging herkennen in een (x,t)-diagram
Voordat je kunt rekenen aan een (x,t)-diagram (plaats-tijd-diagram), is het belangrijk om te herkennen welk type beweging het diagram weergeeft. De vorm van de lijn in het diagram vertelt je namelijk veel over de snelheid en of deze verandert.
Als het (x,t)-diagram een schuine rechte lijn is, dan is er sprake van een eenparige rechtlijnige beweging. Dit betekent dat de snelheid van het voorwerp constant is. De afgelegde afstand (of) is dan recht evenredig met de tijd (of). De formule die hierbij hoort is.
Wanneer het (x,t)-diagram een kromme lijn is, dan is de snelheid niet constant. Er is dan sprake van een versnelde of vertraagde beweging. Bij een versnelde beweging wordt de lijn steeds steiler. Bij een vertraagde beweging wordt de lijn steeds vlakker.
Het herkennen van het type beweging is cruciaal, want dit bepaalt welke methode je moet gebruiken om de snelheid te berekenen.
De gemiddelde snelheid bepalen
De gemiddelde snelheid geeft aan hoe snel een voorwerp gemiddeld heeft bewogen over een bepaalde periode. De algemene formule voor de gemiddelde snelheid is:
v_{gem}=\frac{\Delta x}{\Delta t}_{gem}=\frac{\Delta x}{\Delta t}V_{gem}=\frac{\Delta x}{\Delta t}V_{gem}=\frac{\Delta x}{\Delta t}gV_{gem}=\frac{\Delta x}{\Delta t}geV_{gem}=\frac{\Delta x}{\Delta t}gemV_{gem}=\frac{\Delta x}{\Delta t}gem=V_{gem}=\frac{\Delta x}{\Delta t}gem=\DeltaV_{gem}=\frac{\Delta x}{\Delta t}gem=\Delta XV_{gem}=\frac{\Delta x}{\Delta t}gem=\Delta X/V_{gem}=\frac{\Delta x}{\Delta t}gem=\Delta X/\DeltaV_{gem}=\frac{\Delta x}{\Delta t}gem=\Delta X/\Delta TV_{gem}=\frac{\Delta x}{\Delta}gem=\Delta X/\Delta TV_{gem}=\frac{\Delta x}{}gem=\Delta X/\Delta TV_{gem}=\frac{\Delta x}{}gem=\Delta X/\Delta TV_{gem}=\frac{\Delta x}{}gem=\Delta X/\Delta TV_{gem}=\frac{\Delta x}{}gem=\Delta X/\Delta TV_{gem}=\frac{\Delta x}{}gem=\Delta X/\Delta TV_{gem}=\frac{\Delta x}{}gem=\Delta X/\Delta TV_{gem}=\frac{\Delta x}{}gem=\Delta X/\Delta TV_{gem}=\frac{\Delta x}{}gem=\Delta X/\Delta TV_{gem}=\frac{\Delta x}{}gem=\Delta X/\Delta TV_{gem}=\frac{\Delta x}{}gem=\Delta X/\Delta TV_{gem}=\frac{\Delta x}{\placeholder{}}gem=\Delta X/\Delta TV_{gem}=\Delta xgem=\Delta X/\Delta TV_{gem}=\Delta gem=\Delta X/\Delta TV_{gem}=gem=\Delta X/\Delta TV_{gem}=gem=\Delta X/\Delta TV_{gem}=gem=\Delta X/\Delta TV_{gem}=gem=\Delta X/\Delta TV_{gem}=gem=\Delta X/\Delta TV_{gem}=gem=\Delta X/\Delta TV_{gem}=gem=\Delta X/\Delta TV_{gem}gem=\Delta X/\Delta TV_{ge}gem=\Delta X/\Delta TV_{g}gem=\Delta X/\Delta T Hierbij is\Delta x\Deltade totale afgelegde weg (verandering in plaats) ende totale tijd die daarvoor nodig was.
Bij een eenparige rechtlijnige beweging
Omdat de snelheid bij een eenparige rechtlijnige beweging constant is, is de gemiddelde snelheid over elk interval gelijk aan de snelheid op elk moment. Je kunt de snelheid eenvoudig bepalen door een punt op de grafiek te nemen (als deze door de oorsprong\left(0,0\right)gaat), deenaf te lezen en deze in de formulev=\frac{s}{t}v=\frac{s}{t}/v=\frac{s}{t}/Tv=\frac{s}{\placeholder{}}/Tv=s/Tv=/T(ofv=\frac{\Delta x}{\Delta t}v=\frac{\Delta x}{\Delta t}\Deltav=\frac{\Delta x}{\Delta t}\Delta Xv=\frac{\Delta x}{\Delta t}\Delta X/v=\frac{\Delta x}{\Delta t}\Delta X/\Deltav=\frac{\Delta x}{\Delta t}\Delta X/\Delta Tv=\frac{\Delta x}{\Delta}\Delta X/\Delta Tv=\frac{\Delta x}{}\Delta X/\Delta Tv=\frac{\Delta x}{}\Delta X/\Delta Tv=\frac{\Delta x}{}\Delta X/\Delta Tv=\frac{\Delta x}{}\Delta X/\Delta Tv=\frac{\Delta x}{}\Delta X/\Delta Tv=\frac{\Delta x}{}\Delta X/\Delta Tv=\frac{\Delta x}{}\Delta X/\Delta Tv=\frac{\Delta x}{}\Delta X/\Delta Tv=\frac{\Delta x}{}\Delta X/\Delta Tv=\frac{\Delta x}{}\Delta X/\Delta Tv=\frac{\Delta x}{}\Delta X/\Delta Tv=\frac{\Delta x}{}\Delta X/\Delta Tv=\frac{\Delta x}{}\Delta X/\Delta Tv=\frac{\Delta x}{}\Delta X/\Delta Tv=\frac{\Delta x}{}\Delta X/\Delta Tv=\frac{\Delta x}{}\Delta X/\Delta Tv=\frac{\Delta x}{}\Delta X/\Delta Tv=\frac{\Delta x}{\placeholder{}}\Delta X/\Delta Tv=\Delta x\Delta X/\Delta Tv=\Delta\Delta X/\Delta Tv=\Delta X/\Delta Tv=\Delta X/\Delta Tv=\Delta X/\Delta Tv=\Delta X/\Delta Tv=\Delta X/\Delta Tv=\Delta X/\Delta Tv=\Delta X/\Delta T=\Delta X/\Delta T) in te vullen.
Rekenvoorbeeld:
Stel, een (x,t)-diagram van een eenparige beweging begint in\left(0,0\right)en gaat door het punt\left(4,16\right)zoals in de (x,t)-diagram van de eenparige beweging hierboven.
De afgelegde wegis16\text{ m}16\text{ me}16\text{ met}16\text{ mete}en de tijd\left(\Delta t\right)is.
De gemiddelde snelheid is dan:v_{gem}=\frac{16}{4{,}0}=4{,}0\text{ m/s}v_{gem}=\frac{16}{4{,}0}/=4{,}0\text{ m/s}v_{gem}=\frac{16}{4{,}0}/4=4{,}0\text{ m/s}v_{gem}=\frac{16}{4{,}0}/4s=4{,}0\text{ m/s}v_{gem}=\frac{16}{4{,}}/4s=4{,}0\text{ m/s}v_{gem}=\frac{16}{4}/4s=4{,}0\text{ m/s}v_{gem}=\frac{16}{\placeholder{}}/4s=4{,}0\text{ m/s}v_{gem}=16/4s=4{,}0\text{ m/s}v_{gem}=16m/4s=4{,}0\text{ m/s}v_{ge}=16m/4s=4{,}0\text{ m/s}v_{g}=16m/4s=4{,}0\text{ m/s}v=16m/4s=4{,}0\text{ m/s}=16m/4s=4{,}0\text{ m/s}V=16m/4s=4{,}0\text{ m/s}Vg=16m/4s=4{,}0\text{ m/s}Vge=16m/4s=4{,}0\text{ m/s}
Bij een versnelde of vertraagde beweging
Bij een kromme (x,t)-grafiek verandert de snelheid constant. Je kunt dan niet zomaar een punt nemen om de gemiddelde snelheid te bepalen. Hiervoor gebruik je een snijlijn. Een snijlijn is een rechte lijn die je tekent door de twee punten op de grafiek waartussen je de gemiddelde snelheid wilt berekenen. De steilheid van deze snijlijn geeft de gemiddelde snelheid over dat interval weer.
Methode:
1.Kies de twee punten op de grafiek waartussen je de gemiddelde snelheid wilt weten.
2.Trek met je geodriehoek een rechte lijn door deze twee punten. Dit is de snijlijn.
3.Lees de verandering in plaats\left(\Delta x\right)\Delta x\Delta\Deltaen de verandering in tijd\left(\Delta t\right)\left(\Delta\right)\left(\right)\left(\right)\left(\right)\left(\right)\left(\right)\left(\right)\left(\Delta\right)\left(\Delta T\right)af die bij deze snijlijn horen.
4.Bereken de gemiddelde snelheid met de formulev_{gem}=\frac{\Delta x}{\Delta t}v_{gem}=\frac{\Delta x}{\Delta t}/v_{gem}=\frac{\Delta x}{\Delta t}/\Deltav_{gem}=\frac{\Delta x}{\Delta t}/\Delta Tv_{gem}=\frac{\Delta x}{\Delta}/\Delta Tv_{gem}=\frac{\Delta x}{}/\Delta Tv_{gem}=\frac{\Delta x}{}/\Delta Tv_{gem}=\frac{\Delta x}{}/\Delta Tv_{gem}=\frac{\Delta x}{}/\Delta Tv_{gem}=\frac{\Delta x}{}/\Delta Tv_{gem}=\frac{\Delta x}{}/\Delta Tv_{gem}=\frac{\Delta x}{}/\Delta Tv_{gem}=\frac{\Delta x}{}/\Delta Tv_{gem}=\frac{\Delta x}{\placeholder{}}/\Delta Tv_{gem}=\Delta x/\Delta Tv_{gem}=\Delta x\Delta/\Delta Tv_{gem}=\Delta x\Delta X/\Delta Tv_{gem}=\Delta\Delta X/\Delta Tv_{gem}=\Delta X/\Delta Tv_{gem}=\Delta X/\Delta Tv_{gem}=\Delta X/\Delta Tv_{gem}=\Delta X/\Delta Tv_{ge}=\Delta X/\Delta Tv_{g}=\Delta X/\Delta Tv=\Delta X/\Delta T.
Ook bij een grillige grafieklijn, zoals een willekeurige kromme, neem je het eerste en laatste punt van het interval en trek je daar een snijlijn doorheen om de gemiddelde snelheid te bepalen.
Rekenvoorbeeld:
Stel, je wilt de gemiddelde snelheid berekenen tussenseconden enseconden in een kromme (x,t)-grafiek, zoals in de (x,t)-diagram van de versnelde beweging hierboven.
1.Je neemt de punten op de grafiek bijen.
2.Trek hier een snijlijn doorheen.
3.Lees de bijbehorende x-waarden af. Stel dat de plaats bijgelijk is aanen bijgelijk is aan. Dan is. De tijdis7{,}0\text{ s}7{,}\text{ s}.
4.De gemiddelde snelheid is dan:v_{gem}=\frac{3{,}4}{7{,}0}=0{,}49\text{ m/s}Vv_{gem}=\frac{3{,}4}{7{,}0}=0{,}49\text{ m/s}V_{gem}=\frac{3{,}4}{7{,}0}=0{,}49\text{ m/s}V_{gem}=\frac{3{,}4}{7{,}0}=0{,}49V_{gem}=\frac{3{,}4}{7{,}0}=0{,}49V_{gem}=\frac{3{,}4}{7{,}0}=0{,}49V_{gem}=\frac{3{,}4}{7{,}0}=0{,}49V_{gem}=\frac{3{,}4}{7{,}0}=0{,}49V_{gem}=\frac{3{,}4}{7{,}0}=0{,}49V_{gem}=\frac{3{,}4}{7{,}0}=0{,}49V_{gem}=\frac{3{,}4}{7{,}0}=0{,}49V_{gem}=\frac{3{,}4}{7{,}0}=0{,}49V_{gem}=\frac{3{,}4}{7{,}0}=0{,}49V_{gem}=\frac{3{,}4}{7{,}0}=0{,}49V_{gem}=\frac{3{,}4}{7{,}0}=0{,}49m/sV_{gem}=\frac{3{,}4}{7{,}0}=049m/sV_{gem}=\frac{3{,}4}{7{,}0}=0,49m/sV_{gem}=\frac{3{,}4}{7{,}0}=,49m/sV_{gem}=\frac{3{,}4}{7{,}0}m/7s=0,49m/sV_{gem}=\frac{3{,}4}{7{,}}m/7s=0,49m/sV_{gem}=\frac{3{,}4}{7}m/7s=0,49m/sV_{gem}=\frac{3{,}4}{\placeholder{}}m/7s=0,49m/sV_{gem}=3{,}4m/7s=0,49m/sV_{gem}=34m/7s=0,49m/s.
De snelheid op een bepaald moment bepalen
De snelheid op een bepaald moment,, is de momentane snelheid. Deze geeft aan hoe snel een voorwerp precies op dat ene tijdstip beweegt.
Algemeen principe: de steilheid van de grafiek
De steilheid van de grafiek in het (x,t)-diagram op het tijdstipgeeft de snelheidweer. Hoe steiler de lijn, hoe groter de snelheid. Hoe vlakker de lijn, hoe kleiner de snelheid.
Bij een eenparige rechtlijnige beweging
Bij een eenparige rechtlijnige beweging is de (x,t)-grafiek een schuine rechte lijn. De steilheid van deze lijn is overal hetzelfde. Dit betekent dat de snelheid op elk moment gelijk is aan de gemiddelde snelheid. Je berekent deze dus op dezelfde manier als de gemiddelde snelheid:v=\frac{\Delta x}{\Delta t}v=\frac{\Delta x}{\Delta t}Xv=\frac{\Delta x}{\Delta t}X/v=\frac{\Delta x}{\Delta t}X/\Deltav=\frac{\Delta x}{\Delta t}X/\Delta Tv=\frac{\Delta x}{\Delta}X/\Delta Tv=\frac{\Delta x}{}X/\Delta Tv=\frac{\Delta x}{}X/\Delta Tv=\frac{\Delta x}{}X/\Delta Tv=\frac{\Delta x}{}X/\Delta Tv=\frac{\Delta x}{}X/\Delta Tv=\frac{\Delta x}{}X/\Delta Tv=\frac{\Delta x}{}X/\Delta Tv=\frac{\Delta x}{}X/\Delta Tv=\frac{\Delta x}{\placeholder{}}X/\Delta Tv=\Delta xX/\Delta Tv=\Delta X/\Delta Tv=\Delta cX/\Delta Tv=\Delta X/\Delta Tv=X/\Delta Tv=X/\Delta Tv=X/\Delta Tv=X/\Delta Tv=\Delta X/\Delta T=\Delta X/\Delta T.
Rekenvoorbeeld:
Stel, een (x,t)-diagram van een eenparige beweging gaat door het puntC\left(3,12\right)\left(3,12\right).
De snelheid op elk moment is dan:v\left(t\right)=v_{gem}=\frac{12}{3}=4\text{ m/s}v\left(t\right)=v_{ge}=\frac{12}{3}=4\text{ m/s}v\left(t\right)=v_{g}=\frac{12}{3}=4\text{ m/s}v\left(t\right)=v=\frac{12}{3}=4\text{ m/s}v\left(t\right)==\frac{12}{3}=4\text{ m/s}v\left(t\right)=\frac{12}{3}=4\text{ m/s}v\left(t=\frac{12}{3}=4\text{ m/s}\right)v\left(=\frac{12}{3}=4\text{ m/s}\right)v=\frac{12}{3}=4\text{ m/s}v=\frac{12}{3}=4v=\frac{12}{3}=4v=\frac{12}{3}=4v=\frac{12}{3}=4v=\frac{12}{3}=4v=\frac{12}{3}=4v=\frac{12}{3}=4v=\frac{12}{3}=4v=\frac{12}{3}=4v=\frac{12}{3}=4v=\frac{12}{3}=4v=\frac{12}{3}=4v=\frac{12}{3}=v=\frac{12}{3}v=\frac{12}{\placeholder{}}v=12v=12mv=12m/v=12m/3v=12m/3sv=12m/3s=v=12m/3s=4v=12m/3s=4mv=12m/3s=4m/v=12m/3s=4m/sv=12\frac{m/3s=4m/s}{}v=12\frac{m/3s=4m/s}{3}v=12\frac{m/3s=4m/s}{\placeholder{}}.
Bij een versnelde of vertraagde beweging (kromme grafiek)
Bij een kromme (x,t)-grafiek verandert de steilheid van de lijn constant. Om de snelheid op een specifiek moment te bepalen, gebruik je een raaklijn. Een raaklijn is een rechte lijn die de kromme precies op één punt raakt en daar dezelfde steilheid heeft als de kromme zelf.
Methode:
1.Kies het tijdstip (punt) op de grafiek waar je de snelheid wilt weten.
2.Teken met je geodriehoek een raaklijn aan de grafiek in dit punt.
3.Maak een zo groot mogelijke driehoek op de getekende raaklijn. Hoe groter de driehoek, hoe nauwkeuriger je antwoord zal zijn.
4.Lees de verandering in plaats\left(\Delta x\right)\left(\right)\left(\right)\left(\right)\left(\right)\left(\right)\left(\right)\left(\right)\left(\right)\left(\right)\left(\Delta\right)\left(\Delta X\right)en de verandering in tijd\left(\Delta t\right)\left(\Delta\right)\left(\right)\left(\right)\left(\right)\left(\right)\left(\left)\Delta T\right)\right)\left(\Delta T\right)af die bij deze driehoek op de raaklijn horen.
5.Bereken de snelheid op dat moment met de formulev=\frac{\Delta x}{\Delta t}v=\frac{\Delta x}{\Delta t}Xv=\frac{\Delta x}{\Delta t}X/v=\frac{\Delta x}{\Delta t}X/\Deltav=\frac{\Delta x}{\Delta t}X/\Delta Tv=\frac{\Delta x}{\Delta}X/\Delta Tv=\frac{\Delta x}{}X/\Delta Tv=\frac{\Delta x}{}X/\Delta Tv=\frac{\Delta x}{}X/\Delta Tv=\frac{\Delta x}{}X/\Delta Tv=\frac{\Delta x}{}X/\Delta Tv=\frac{\Delta x}{\placeholder{}}X/\Delta Tv=\Delta xX/\Delta Tv=\Delta X/\Delta Tv=X/\Delta Tv=X/\Delta Tv=X/\Delta Tv=X/\Delta Tv=X/\Delta Tv=\Delta X/\Delta TvV=\Delta X/\Delta T.
Rekenvoorbeeld:
1.Stel, je wilt de snelheid in puntweten in een versnelde beweging.
2.Je tekent de raaklijn in punt.
3.Op deze raaklijn maak je een grote driehoek.
4.Stel dat je op de raaklijn een\Delta x\Deltavan6{,}0\text{ m}6{,}\text{ m}6\text{ m}6m\text{ m}6m6m6m6m6m6m6m6m6mafleest en een\Delta t\Delta\Deltavan4{,}0\text{ s}4{,}04{,}04{,}04{,}04{,}04{,}04{,}04{,}04{,}04{,}04{,}4.
5.De snelheid in puntis dan:v=\frac{6{,}0}{4{,}0}=1{,}5\text{ m/s}v=\frac{6{,}0}{4{,}0}=1{,}5\text{ m/s}mv=\frac{6{,}0}{4{,}0}=1{,}5\text{ m/s}m/v=\frac{6{,}0}{4{,}0}=1{,}5\text{ m/s}m/sv=\frac{6{,}0}{4{,}0}=1{,}5m/sv=\frac{6{,}0}{4{,}0}=1{,}5m/sv=\frac{6{,}0}{4{,}0}=1{,}5m/sv=\frac{6{,}0}{4{,}0}=1{,}5m/sv=\frac{6{,}0}{4{,}0}=1{,}5m/sv=\frac{6{,}0}{4{,}0}=1{,}5m/sv=\frac{6{,}0}{4{,}0}=1{,}5m/sv=\frac{6{,}0}{4{,}0}=1{,}5m/sv=\frac{6{,}0}{4{,}0}=1{,}5m/sv=\frac{6{,}0}{4{,}0}=1{,}5m/sv=\frac{6{,}0}{4{,}0}=1{,}5m/sv=\frac{6{,}0}{4{,}0}=1{,}5m/sv=\frac{6{,}0}{4{,}0}=15m/sv=\frac{6{,}0}{4{,}0}=1,5m/sv=\frac{6{,}0}{4{,}0}/4s=1,5m/sv=\frac{6{,}}{4{,}0}/4s=1,5m/sv=\frac{6}{4{,}0}/4s=1,5m/sv=\frac{6}{4{,}}/4s=1,5m/sv=\frac64/4s=1,5m/sv=\frac{6}{\placeholder{}}/4s=1,5m/sv=6/4s=1,5m/sv=6m/4s=1,5m/s=6m/4s=1,5m/s
Als je naar een ander tijdstip gaat, bijvoorbeeld 6 seconden, zal de raaklijn daar heel anders zijn en dus ook de snelheid.
