Quantumgolf 1

Leerdoelen

•Je kunt rekenen met de de Broglie-golflengte.

•Je kunt uitleggen wat een waarschijnlijkheidsverdeling is.

•Je kunt situaties beschrijven waarin buiging van golven optreedt en de werking van een elektronenmicroscoop daarmee verklaren.

•Je kunt de onzekerheidsrelatie van Heisenberg uitleggen en toepassen.

Wat is de de Broglie-golflengte?

De de Broglie-golflengte beschrijft hoe bewegende subatomaire deeltjes, zoals elektronen, zich als golven gedragen, vooral wanneer ze snel bewegen. De golflengte (λ) van zo’n de Broglie-golf bereken je met de formule:

\lambda=\frac{h}{p}

Hierin is:

•λ de golflengte in meter (m).

•h de constante van Planck, een natuurkundige constante met een waarde van 6,626\cdot10^{-34} Js (Joule-seconde). Deze is te vinden in de Binas.

•p de impuls in Newtonseconde (Ns) of kilogrammeter per seconde (kg·m/s). De impuls is de hoeveelheid beweging van een deeltje.

De impuls (p) kan op verschillende manieren worden berekend, afhankelijk van het type deeltje:

Voor een foton (lichtdeeltje zonder massa):

•p=\frac{E}{c}

•Hierin is E de energie van het foton in Joule (J) en c de snelheid van het licht in meter per seconde (m/s). De energie van een foton kan ook worden berekend met E=h\cdot f, waarbij f de frequentie van het licht in Hertz (Hz) is.

Voor een deeltje met massa (m), bijvoorbeeld een elektron:

•p=m\cdot v

•Hierin is m de massa van het deeltje in kilogram (kg) en v de snelheid in meter per seconde (m/s).

•De impuls kan ook worden uitgedrukt in termen van de kinetische energie (E_{k}) van het deeltje: p=\sqrt{2\cdot m\cdot E_{k}}. Deze formule is afgeleid van Ek=\frac{1}{2}mv^2.

Wanneer spelen kwantumeffecten een rol?

Kwantumeffecten treden op wanneer de golflengte van een bewegend deeltje van dezelfde orde van grootte is als, of groter dan, de omgevingsstructuren. Als de golflengte veel kleiner is dan de omgeving, gedraagt het deeltje zich als een klassiek deeltje. Voor macroscopische objecten in ons dagelijks leven zijn de de Broglie-golflengtes extreem klein, waardoor kwantumeffecten niet waarneembaar zijn.

Buiging van golven en elektronenmicroscoop

Buiging van golven is het verschijnsel dat golven van richting veranderen wanneer ze een kleine opening passeren of om een klein voorwerp heen bewegen.

•Buiging door een spleet: Als golven op een spleet vallen die klein is ten opzichte van de golflengte, gedraagt de spleet zich als een nieuwe bron en buigen de golven achter de spleet. Bij een grote spleet buigen de golven nauwelijks en gaan ze rechtdoor.

•Buiging om een voorwerp: Golven buigen gemakkelijk om voorwerpen heen als hun golflengte groter is dan de afmetingen van het obstakel. Als de golflengte kleiner is dan het obstakel, treedt er nauwelijks buiging op en ontstaat er een 'schaduw' achter het voorwerp.

Een bekend voorbeeld is geluid, waarvan de golflengte relatief groot is. Geluidsgolven buigen gemakkelijk om huizen en bomen heen, waardoor je iemand om de hoek kunt horen, maar niet kunt zien. Lichtgolven hebben een veel kleinere golflengte.

De elektronenmicroscoop

Met een lichtmicroscoop kun je zeer kleine structuren, zoals virussen, niet waarnemen. Dit komt doordat de golflengte van zichtbaar licht (honderden nanometer) groter is dan deze minuscule objecten, waardoor het licht eromheen buigt. Om deze reden wordt een elektronenmicroscoop gebruikt.

Een elektronenmicroscoop werkt door een bundel versnelde elektronen op het oppervlak of de inhoud van objecten te richten om ze af te beelden. Omdat elektronen zich ook als golven gedragen (de Broglie-golven) en een veel kleinere golflengte kunnen hebben dan licht, kunnen ze kleinere details oplossen.

Voorbeeldberekening van de de Broglie-golflengte van een elektron: Stel, elektronen worden afgeschoten met een snelheid (v) van 2,5\cdot10^5m/s. De massa van een elektron (m_e) is 9,109\cdot10^{-31} kg. De constante van Planck (h) is 6,626\cdot10^{-34} Js.

De impuls (p) van het elektron is: p=m_{e}\cdot v=(9,109\cdot10^{-31}kg)\cdot(2,5\cdot10^5)=2,277\cdot10^{-25} kg·m/s

De de Broglie-golflengte (λ) van dit elektron is: \lambda=\frac{h}{p}=\frac{6,626\cdot10^{-34}}{2{,}277\cdot10^{-25}}\thickapprox2,9\cdot10^{-9}m

Deze golflengte is 2,9 nanometer (nm). Deze golflengte is veel kleiner dan die van zichtbaar licht en klein genoeg om bijvoorbeeld virussen te bekijken.

De waarschijnlijkheidsverdeling en quantumgolf/golffunctie

De waarschijnlijkheidsverdeling geeft aan hoe groot de kans is dat een deeltje zich op een bepaalde plek bevindt. Dit concept komt voort uit experimenten zoals het tweespletenexperiment, waarbij deeltjes als golven een interferentiepatroon creëren. De pieken in dit patroon geven plaatsen aan waar de kans groot is dat een deeltje terechtkomt.

De golffunctie (\psi) is een abstracte, wiskundige beschrijving van de golfbeweging van een kwantumdeeltje. Quantumgolf en golffunctie zijn twee termen die naar hetzelfde verwijzen. Deze functie is bedacht door Schrödinger om de kans te berekenen dat een deeltje op een bepaalde plek wordt gevonden. Het is belangrijk te begrijpen dat de golffunctie geen 'echte' golf is, zoals een watergolf, maar een wiskundige voorstelling. Niemand heeft een golffunctie ooit direct waargenomen; zodra een elektron wordt waargenomen, gedraagt het zich als een deeltje in plaats van een golf.

Zolang een elektron niet wordt waargenomen, bevindt het zich in een superpositie, wat betekent dat het in alle mogelijke posities tegelijkertijd kan bestaan. De golffunctie beschrijft al deze mogelijkheden. De waarschijnlijkheidsverdeling van de positie van een elektron is het kwadraat van de amplitude van de golffunctie (\psi^2). Dit kwadraat geeft aan waar de kans het grootst is om het elektron te vinden als het waargenomen wordt.

De golffunctie bevat informatie over twee belangrijke eigenschappen van een deeltje:

•Positie (x): De plaats van een deeltje wordt weergegeven door de amplitude (de hoogte) van de golffunctie. Een hoge amplitude op een bepaalde plek betekent een hogere waarschijnlijkheid dat het deeltje daar is.

•Impuls (p): De impuls van een deeltje wordt weergegeven door de golflengte van de golffunctie. Volgens de de Broglie-relatie geldt p=\frac{h}{\lambda}: een kortere golflengte betekent een grotere impuls.

Wat is de onzekerheidsrelatie van Heisenberg?

De onzekerheidsrelatie van Heisenberg (ook wel onbepaaldheidsrelatie genoemd) stelt dat de positie (x) en de impuls (p) van een deeltje complementaire grootheden zijn. Dit betekent dat je ze nooit beide tegelijkertijd met oneindige nauwkeurigheid kunt meten. Als je de positie heel nauwkeurig weet, is de onzekerheid over de impuls groot, en andersom.

Hier zijn twee illustraties van dit principe:

•Nauwkeurige impuls (onzekere positie): Als de golffunctie van een deeltje een zuivere sinusgolf is, is de golflengte (λ) precies bekend. Dit betekent dat de impuls (p=\frac{h}{\lambda}) ook heel nauwkeurig bekend is. Echter, de amplitude van een zuivere sinusgolf is overal gelijk, wat betekent dat de waarschijnlijkheid om het deeltje te vinden over een grote, zelfs oneindige, afstand is uitgesmeerd. De positie (x) is dan zeer onzeker.

•Nauwkeurige positie (onzekere impuls): Als de golffunctie een enkele piek heeft, zoals een golfpakket, weet je de positie (x) van het deeltje heel nauwkeurig (het bevindt zich waarschijnlijk bij die piek). Een enkele piek is echter de optelling van zeer veel verschillende golven met diverse golflengtes. Hierdoor is de golflengte van het deeltje niet nauwkeurig te bepalen, en daarmee is de impuls (p) onnauwkeurig.

De onzekerheidsrelatie van Heisenberg wordt wiskundig uitgedrukt als:

\Delta x\cdot\Delta p\ge\frac{h}{4\pi}

Hierin is:

•Δx de onzekerheid in de plaats (positie) van het deeltje.

•Δp de onzekerheid in de impuls van het deeltje.

•h de constante van Planck.

•4π een constante.

Het product van de onzekerheid in positie en de onzekerheid in impuls is dus altijd groter dan of gelijk aan een bepaalde minimale waarde (\frac{h}{4\pi}). Dit betekent dat je nooit beide onzekerheden nul kunt maken.

In het dagelijks leven merken we niets van de onzekerheidsrelatie van Heisenberg. Dit komt doordat de golflengtes van deeltjes om ons heen zo extreem klein zijn, dat de onzekerheid die het principe voorspelt verwaarloosbaar klein is in vergelijking met de schaal waarop we waarnemingen doen.

Gevolgen van de onzekerheidsrelatie

Een belangrijk gevolg is dat een deeltje, zelfs in een 'doos', nooit volledig stil kan liggen. Als een deeltje perfect stil zou liggen, zou Δx nul zijn (perfect bekende positie) en zou Δp oneindig moeten zijn om te voldoen aan de formule, wat impliceert dat de snelheid oneindig zou zijn. Dit betekent dat deeltjes, zelfs bij het absolute nulpunt (0 Kelvin), nog steeds een minimale beweging of fluctuatie vertonen.

De onzekerheidsrelatie kan ook worden uitgebreid naar andere complementaire grootheden, zoals energie (E) en tijd (t):

\Delta E\cdot\Delta t\ge\frac{h}{4\pi}

Dit betekent dat de onzekerheid in de energie van een systeem en de onzekerheid in de tijd waarover die energie bestaat, ook aan deze relatie voldoen.