Rekenen aan een (v,t)-diagram

Leerdoelen

Na deze les kun je:

•de gemiddelde versnelling bepalen uit een (v,t)-diagram.

•de versnelling op een bepaald momenttbepalen uit een (v,t)-diagram.

•de gemiddelde snelheid bepalen uit een (v,t)-diagram.

•de verplaatsingsbepalen uit een (v,t)-diagram.

•beargumenteren of een beweging eenparig versneld, eenparig vertraagd, versneld of vertraagd is aan de hand van een (v,t)-diagram.

De beweging in een (v,t)-diagram begrijpen

Een (v,t)-diagram (snelheid-tijd-diagram) is een grafiek die de snelheidvvan een voorwerp uitzet tegen de tijdt. De vorm van de grafiek vertelt je veel over het type beweging.

•Schuine rechte lijn: Dit duidt op een eenparig versnelde of eenparig vertraagde beweging. De snelheid verandert dan met een constante hoeveelheid per seconde.

•Als de lijn omhoog gaat, is de beweging versneld.

•Als de lijn omlaag gaat, is de beweging vertraagd.

•Horizontale lijn: Dit betekent dat de snelheid constant is. Er is dan geen versnelling.

•Kromme lijn: Dit geeft aan dat de versnelling niet constant is. De beweging is dan wel versneld of vertraagd, maar niet eenparig.

De steilheid van de grafiek in een (v,t)-diagram geeft de versnellinga\left(t\right)weer. Hoe steiler de lijn, hoe groter de versnelling (of vertraging).

De gemiddelde versnelling bepalen

De gemiddelde versnellinga_{gem}is de verandering in snelheid\Delta vgedeeld door de verandering in tijd\Delta t. De formule hiervoor is:

a_{gem}=\frac{\Delta v}{\Delta t}

Bij een eenparig versnelde of vertraagde beweging (rechte lijn)

Als de grafiek een schuine rechte lijn is, is de versnelling constant en gelijk aan de gemiddelde versnelling over elk tijdsinterval.

Rekenvoorbeeld: Stel, je hebt een (v,t)-diagram zoals hierboven, met een stip opt=0\operatorname{s}bijv=16\operatorname{m\/s}en een stip opt=3\operatorname{s}bijv=10\operatorname{m\/s}.

•\Delta v=v_{eind}-v_{begin}=10\operatorname{m\/s}-16\operatorname{m\/s}=-6\operatorname{m\/s}

•\Delta t=t_{eind}-t_{begin}=3\operatorname{s}-0\operatorname{s}=3\operatorname{s}

•a_{gem}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=-\frac{6\operatorname{m\/s}}{3\operatorname{s}}=-2\operatorname{m\/s^2}

De versnelling is hier-2\operatorname{m\/s^2}. Dit betekent dat de beweging een vertraging heeft van2\operatorname{m\/s^2}.

Bij een versnelde of vertraagde beweging (kromme lijn)

Als de grafiek een kromme lijn is, is de versnelling niet constant. Om de gemiddelde versnelling te bepalen tussen twee punten A en B, gebruik je een snijlijn. Een snijlijn is een rechte lijn die door twee punten op de kromme grafiek gaat. De steilheid van deze snijlijn geeft de gemiddelde versnelling tussen die twee punten weer.

Rekenvoorbeeld: Stel, je hebt een kromme grafiek en je wilt de gemiddelde versnelling bepalen tussen punt A (v=13\operatorname{m\/s}) en punt B (v=0\operatorname{m\/s}opt=30\operatorname{ms}).

•\Delta v=v_{eind}-v_{begin}=0\operatorname{m\/s}-13\operatorname{m\/s}=-13\operatorname{m\/s}

•\Delta t=t_{eind}-t_{begin}=30\operatorname{ms}-0\operatorname{ms}=30\cdot10^{-3}\operatorname{s}

•a_{gem}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=-\frac{13\operatorname{m\/s}}{30\cdot10^{-3}\operatorname{s}}=-433\operatorname{m\/s}^2

Dit betekent een gemiddelde vertraging van433\operatorname{m\/s}^2.

De versnelling op een bepaald momenttbepalen

De versnelling op een specifiek momenttwordt ook wel de momentane versnelling genoemd.

Bij een eenparig versnelde of vertraagde beweging (rechte lijn)

Bij een schuine rechte lijn is de versnelling overal hetzelfde. De momentane versnelling op een bepaald tijdstip t is dan gelijk aan de gemiddelde versnelling over elk interval.

Rekenvoorbeeld: Als de grafiek door het punt\left(0\operatorname{s},0\operatorname{m\/s}\right)en\left(4\operatorname{s},4\operatorname{m\/s}\right)gaat, en je wilt de versnelling opt=4\operatorname{s}(punt C) weten:

•\Delta v=4\operatorname{m\/s}-0\operatorname{m\/s}=4\operatorname{m\/s}

•\Delta t=4\operatorname{s}-0\operatorname{s}=4\operatorname{s}

•a_{gem}=a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{4\operatorname{m\/s}}{4\operatorname{s}}=1\operatorname{m\/s}^2

Bij een versnelde of vertraagde beweging (kromme lijn)

Bij een kromme lijn verandert de versnelling continu. Om de momentane versnelling op een specifiek tijdstip T te bepalen, teken je een raaklijn aan de grafiek in dat punt. Een raaklijn is een rechte lijn die de kromme grafiek precies op één punt raakt en dezelfde steilheid heeft als de grafiek op dat punt. De steilheid van deze raaklijn geeft de momentane versnelling weer.

Rekenvoorbeeld: Stel, je hebt een kromme grafiek en je wilt de versnelling op tijdstipt=25\operatorname{ms}(punt C) weten. Je tekent een raaklijn in punt C. Deze raaklijn loopt bijvoorbeeld vanv=16\operatorname{m\/s}naarv=0\operatorname{m\/s}over een tijdsinterval van20\operatorname{ms}.

•\Delta v=v_{eind\,raaklijn}-v_{begin\,raaklijn}=0\operatorname{m\/s}-16\operatorname{m\/s}=-16\operatorname{m\/s}

•\Delta t=t_{eind\,raaklijn}-t_{begin\,raaklijn}=20\operatorname{ms}=20\cdot10^{-3}\operatorname{s}

•a=\left(\frac{\Delta v}{\Delta t}\right)_{raaklijn}=-\frac{16\operatorname{m\/s}}{20\cdot10^{-3}\operatorname{s}}=-800\operatorname{m\/s}^2

In dit voorbeeld is de vertraging op dat moment800\operatorname{m\/s}^2. Dit punt C is overigens het punt waar de vertraging maximaal is, omdat de grafiek daar het steilst omlaag gaat.

De gemiddelde snelheid bepalen

Bij een eenparig versnelde of vertraagde beweging (rechte lijn)

Voor een beweging met een constante versnelling (eenparig versneld of vertraagd, dus een rechte lijn in het (v,t)-diagram), kun je de gemiddelde snelheid (v_{gem}) eenvoudig berekenen met de formule:

v_{gem}=\frac{(v_{begin}+v_{eind})}{2}

Deze formule geldt alleen voor bewegingen met een constante versnelling!

Je kunt dit ook grafisch controleren: als je een horizontale lijn tekent op de hoogte van de gemiddelde snelheid, dan moeten de oppervlaktes die boven en onder deze lijn liggen en begrensd worden door de oorspronkelijke grafiek, even groot zijn.

Bij een versnelde of vertraagde beweging (kromme lijn) - de oppervlaktemethode

Als de grafiek een kromme lijn is, kun je de formulev_{gem}=\frac{(v_{begin}+v_{eind})}{2}niet gebruiken. Je moet de gemiddelde snelheid dan grafisch schatten met behulp van de oppervlaktemethode.

1.Schat de hoogte: Teken een horizontale lijn in het (v,t)-diagram waarvan je denkt dat deze de gemiddelde snelheid voorstelt.

2.Controleer de oppervlaktes: Controleer of de oppervlakte die boven de geschatte lijn ligt en onder de grafiek, gelijk is aan de oppervlakte die onder de geschatte lijn ligt en boven de grafiek. Als deze oppervlaktes gelijk zijn, heb je de gemiddelde snelheid goed geschat.

De verplaatsingsbepalen

De verplaatsings(of afgelegde weg) van een voorwerp kan worden bepaald door de oppervlakte onder het (v,t)-diagram te berekenen. Dit komt omdats=v\cdot t. In een (v,t)-diagram is de 'hoogte' de snelheidven de 'breedte' de tijdt. Het product hiervan is de oppervlakte, en die oppervlakte staat gelijk aan de verplaatsing.

Door op te delen in rechthoeken en driehoeken

Bij complexe (v,t)-diagrammen kun je de oppervlakte onder de grafiek opdelen in eenvoudige geometrische vormen zoals rechthoeken en driehoeken. Bereken de oppervlakte van elk deel en tel deze bij elkaar op om de totale verplaatsing te vinden.

Rekenvoorbeeld: Stel, je hebt een (v,t)-diagram dat is opgedeeld in vier vlakken:

•Oppervlakte 1 (driehoek):0.5\cdot\,\text{basis}\cdot\,\text{hoogte}=0.5\cdot1\operatorname{s}\cdot\,4\operatorname{m\/s}=2\operatorname{m}

•Oppervlakte 2 (rechthoek):\text{basis}\,\cdot\,\text{hoogte}=3\operatorname{s}\cdot\,4\operatorname{m\/s}=12\operatorname{m}(vant=1\operatorname{s}tott=2\operatorname{s},v=4\operatorname{m\/s})

•Oppervlakte 3 (driehoek):0.5\cdot\,\text{basis}\cdot\,\text{hoogte}=0.5\cdot2\operatorname{s}\cdot(8-4)\operatorname{m\/s}=4\operatorname{m}(vant=2\operatorname{s}tott=3\operatorname{s},vvan4naar8\operatorname{m\/s})

•Oppervlakte 4 (driehoek):0.5\cdot\,\text{basis}\cdot\,\text{hoogte}=0.5\cdot1\operatorname{s}\cdot\,8\operatorname{m\/s}=4\operatorname{m}(vant=3\operatorname{s}tott=5\operatorname{s},vvan8naar0\operatorname{m\/s})

De totale verplaatsingsvan de beweging is de som van de oppervlaktes: s_{totaal}=Oppervlakte 1 + Oppervlakte 2 + Oppervlakte 3 + Oppervlakte 4=2+12+4+4=22meter

Check met gemiddelde snelheid

Je kunt de berekende verplaatsing controleren door de gemiddelde snelheid te berekenen en deze grafisch te vergelijken.

•v_{gem}=\frac{s_{totaal}}{t_{totaal}}

•Alss_{totaal}=22\operatorname{m}ent_{totaal}=5\operatorname{s}, dan isv_{gem}=\frac{22\operatorname{m}}{5\operatorname{s}}=4{,}4\operatorname{m\/s}.

Als je een horizontale lijn tekent opv=4{,}4\operatorname{m\/s}, dan moeten de oppervlaktes boven en onder deze lijn (begrensd door de oorspronkelijke grafiek) ongeveer gelijk zijn.

Overzicht (x,t)- en (v,t)-diagram

Vergelijking met (x,t)-diagram

Ter herinnering:

•In een (x,t)-diagram (plaats-tijd-diagram) stelt de steilheid de snelheid voor. Je kunt hieruit de gemiddelde snelheid bepalen met een snijlijn en de snelheid op een bepaald tijdstip T met een raaklijn.

(v,t)-diagram

In een (v,t)-diagram:

•De steilheid stelt de versnelling voor.

•De oppervlakte onder de grafiek komt overeen met de verplaatsings(ofΔx).

Met een (v,t)-diagram kun je:

•De gemiddelde versnelling bepalen met een snijlijn.

•De versnelling op een bepaald tijdstiptbepalen met een raaklijn.

•De gemiddelde snelheid bepalen met een geschatte lijn door middel van de oppervlaktemethode.

•De verplaatsingsbepalen met behulp van de oppervlakte onder de grafiek.

Toepassing: de remmende auto

De startvraag was: wat voor beweging zie je in het diagram hiernaast en waarbij past deze beweging in het echte leven?

Dit diagram toont de beweging van een remmende auto.

1.Reactietijd: Eerst zie je een stukje met constante snelheid (bijvoorbeeldv=100\operatorname{km\/u}, wat ongeveer27\operatorname{m\/s}is). Dit is de reactietijd van de bestuurder, waarin de auto nog met constante snelheid doorrijdt voordat de remmen worden ingetrapt.

1.De reactieafstand is de oppervlakte onder dit horizontale deel. Als de reactietijd 1 seconde is:s_{reactie}=v\cdot t=27\operatorname{m\/s}\cdot\,1\operatorname{s}=27meter.

2.Remmen: Daarna volgt een eenparig vertraagde beweging, waarbij de snelheid snel afneemt. Dit is het moment dat de auto daadwerkelijk remt.

1.De remafstand is de oppervlakte onder dit schuine gedeelte (een driehoek). Als de vertraging11\operatorname{m\/s}^2is en het remmen2{,}5\operatorname{s}duurt:s_{rem}=0{,}5\cdot v_{begin}\cdot\Delta t=0{,}5\cdot27\operatorname{m\/s}\cdot2{,}5\operatorname{s}=33{,}75meter.

De totale stopafstand is de som van de reactieafstand en de remafstand. s_{stop}=s_{reactie}+s_{rem}=27\operatorname{m}+33{,}75\operatorname{m}=60{,}75\operatorname{m}\thickapprox61meter.