Opgesloten quantumdeeltje

Leerdoelen

•Je kunt uitleggen welke quantumverschijnselen optreden bij een opgesloten deeltje in een doos.

•Je kunt het quantummodel van een deeltje in een eendimensionale energieput beschrijven en de energieën van het deeltje berekenen.

•Je kunt het quantummodel van een waterstofatoom beschrijven en de mogelijke energieën van het waterstofatoom berekenen.

Wat is het deeltje-in-een-doosjemodel?

Het deeltje-in-een-doosjemodel, ook wel een eendimensionale energieput genoemd, is een vereenvoudigde weergave van de werkelijkheid om te begrijpen waarom een opgesloten deeltje alleen bepaalde energiewaarden kan hebben. In dit model zit een quantumdeeltje gevangen tussen twee ondoordringbare wanden met een lengte, waaruit het oneindig veel energie nodig heeft om te ontsnappen. In de werkelijkheid kunnen dit deeltjes zijn die vastzitten in een kristalrooster of gebonden zijn aan een atoom, zoals een elektron in een waterstofatoom.

Welke quantumverschijnselen treden op in een energieput?

Een quantumdeeltje in een eendimensionale energieput gedraagt zich als een quantumgolf. Deze golf vormt een staande quantumgolf tussen de wanden van de put. Dit betekent dat de amplitude van de golf op de puntenen(de wanden) nul moet zijn. Door deze beperking kan de golflengte van het deeltje alleen specifieke, discrete waardes aannemen. Hierdoor heeft de energie van het deeltje ook discrete waarden, wat betekent dat de energie van het deeltje is gekwantiseerd. Niet alle energiewaarden zijn mogelijk.

Hoe zien de staande golven en energieniveaus eruit?

De discrete energieniveaus worden aangeduid met een quantumgetal, waarbijeen geheel getal is\left(n=1,2,3{,}\ldots\right)n=1,2,3{,}\ldotsn=1,2,3{,}..n=1,2,3{,}.n=1,2,3{,}n=1,2,3n=1,2,3.n=1,2,3...

•Grondtoestand\left(n=1\right): Dit is de laagste energiestoestand. De staande golf heeft dan een halve golflengte die precies past in de lengtevan de put. Het deeltje heeft in deze toestand altijd energie, de zogenaamde nulpuntenergie.

•Aangeslagen toestanden\left(n>1\right)n>1\cdot n>1: Een energieniveaumetheeft een hogere energiestoestand. Bijpast er precies één golflengte in de put en bijpassen er anderhalve golflengte in de put.

Hoe wordt de locatie van het deeltje bepaald?

Uit de golffunctie\left(\psi\right), die de golfeigenschappen van het deeltje beschrijft, kan een waarschijnlijkheidsverdeling\left(\psi^2\right)\psi^2\psi\psi^worden afgeleid. Deze waarschijnlijkheidsverdeling geeft de kansdichtheid aan om het deeltje op een bepaalde plek aan te treffen. De plaatsen met de grootste amplitude in de golffunctie komen overeen met de grootste waarschijnlijkheid om het deeltje te vinden.

Hoe bereken je de energie van een deeltje in een energieput?

De golflengte\left(\lambda\right)van het deeltje in een eendimensionale energieput met lengteis heel erg afhankelijk van het quantumgetal:\lambda=\frac{2L}{n}\lambda=\frac{2L}{n}2\lambda=\frac{2L}{n}2L\lambda=\frac{2L}{n}2L/\lambda=\frac{2L}{n}2L/n\lambda=\frac{2L}{\placeholder{}}2L/n\lambda=\frac{2}{\placeholder{}}2L/n\lambda=\frac{\placeholder{}}{\placeholder{}}2L/n\lambda=2L/n\lambda=2L/n\lambda=2L/n\lambda=2L/n\lambda=2L/n.

Deze formule kan samen met de de Broglie-golflengte (\lambda=\frac{h}{p}\lambda=\frac{h}{\placeholder{}}\lambda=h\lambda=\lambda=h\lambda=h/, waarbijde constante van Planck is ende impuls) worden gebruikt om de energie\left(E_{n}\right)van het deeltje af te leiden. De impulsis danp=\frac{nh}{2L}p=\frac{nh}{2}p=\frac{nh}{\placeholder{}}p=nhp=nh/p=nh/(p=nh/(2p=nh/(2L.

De kinetische energie\left(E_{k}\right)isE_{k}=\frac{1}{2}mv^2E_{k}=\frac{1}{2}mvE_{k}=\frac{1}{2}mv^, en. DusE_{k}=\frac{p^2}{2m}E_{k}=\frac{p^2}{2m}(E_{k}=\frac{p^2}{2m}(2E_{k}=\frac{p^2}{2m}(2mE_{k}=\frac{p^2}{2m}(2m)E_{k}=\frac{p^2}{2}(2m)E_{k}=\frac{p^2}{\placeholder{}}(2m)E_{k}=p^2(2m)E_{k}=p^2/(2m)E_{k}=p/(2m)E_{k}=p^/(2m). Door de formule voorhierin te substitueren, vinden we de energieniveaus:E_{n}=n^2\frac{h^2}{8mL^2}E_{n}=n^2\frac{h^2}{8mL^2}hE_{n}=n^2\frac{h^2}{8mL^2}h^E_{n}=n^2\frac{h^2}{8mL^2}h^{2}E_{n}=n^2\frac{h^2}{8mL^2}h^{2}/E_{n}=n^2\frac{h^2}{8mL^2}h^{2}/(E_{n}=n^2\frac{h^2}{8mL^2}h^{2}/(8E_{n}=n^2\frac{h^2}{8mL^2}h^{2}/(8mE_{n}=n^2\frac{h^2}{8mL^2}h^{2}/(8mLE_{n}=n^2\frac{h^2}{8mL^2}h^{2}/(8mL^E_{n}=n^2\frac{h^2}{8mL^2}h^{2}/(8mL^{2}E_{n}=n^2\frac{h^2}{8mL^2}h^{2}/(8mL^{2})E_{n}=n^2\frac{h^2}{8mL}h^{2}/(8mL^{2})E_{n}=n^2\frac{h^2}{8m}h^{2}/(8mL^{2})E_{n}=n^2\frac{h^2}{8}h^{2}/(8mL^{2})E_{n}=n^2\frac{h^2}{\placeholder{}}h^{2}/(8mL^{2})E_{n}=n^2\frac{h}{\placeholder{}}h^{2}/(8mL^{2})E_{n}=n^2\frac{}{\placeholder{}}h^{2}/(8mL^{2})E_{n}=n^2\frac{g}{\placeholder{}}h^{2}/(8mL^{2})E_{n}=n^2\frac{\placeholder{}}{\placeholder{}}h^{2}/(8mL^{2})E_{n}=n^2\,\frac{\placeholder{}}{\placeholder{}}h^{2}/(8mL^{2})E_{n}=n^2\,h^{2}/(8mL^{2})E_{n}=n^2h^{2}/(8mL^{2})E_{n}=n^2h^{2}/(8mL^{2})E_{n}=n^2h^{2}/(8mL^{2})E_{n}=n^2*h^{2}/(8mL^{2})E_{n}=n*h^{2}/(8mL^{2})E_{n}=n^*h^{2}/(8mL^{2}).

Hierbij is:

•de energie op hetniveau (joule)

•het quantumgetal (dimensieloos,n=1,2,3{,}\ldotsn=1,2,3{,}..n=1,2,3{,}.n=1,2,3{,}n=1,2,3n=1,2,3.n=1,2,3..)

•de constante van Planck (Js)

•de massa van het deeltje (kg)

•de lengte van de energieput (m)

De nulpuntenergie is de energie in de grondtoestand\left(n=1\right):E_1=\frac{h^2}{8mL^2}E_1=\frac{h^2}{8mL^2}/E_1=\frac{h^2}{8mL^2}/(E_1=\frac{h^2}{8mL^2}/(8E_1=\frac{h^2}{8mL^2}/(8mE_1=\frac{h^2}{8mL^2}/(8mLE_1=\frac{h^2}{8mL^2}/(8mL^E_1=\frac{h^2}{8mL^2}/(8mL^{2}E_1=\frac{h^2}{8mL^2}/(8mL^{2})E_1=\frac{h^2}{8mL}/(8mL^{2})E_1=\frac{h^2}{8m}/(8mL^{2})E_1=\frac{h^2}{8}/(8mL^{2})E_1=\frac{h^2}{\placeholder{}}/(8mL^{2})E_1=h^2/(8mL^{2})E_1=h/(8mL^{2})E_1=h^/(8mL^{2})E_1=h^{2}/(8mL^{2})E=h^{2}/(8mL^{2})E\_=h^{2}/(8mL^{2}). Deze minimale energie kan niet kleiner worden en is altijd aanwezig.

Hoe werkt het quantummodel van het waterstofatoom?

Het quantummodel van het waterstofatoom past het deeltje-in-een-doosjemodel toe op een elektron dat gebonden is aan de kern (één proton) van een waterstofatoom. Het elektron zit vast door elektrische kracht. Ook hier zijn de energieniveaus van het elektron discreet. De "lengte" in dit model heeft te maken met de grootte van het atoom.

Voor een elektron dat gebonden is in een waterstofatoom, geldt een specifieke formule voor de discrete energieniveaus:E_{n}=-\frac{13{,}6}{n^2}E_{n}=-\frac{13{,}6}{n^2}/E_{n}=-\frac{13{,}6}{n^2}/nE_{n}=-\frac{13{,}6}{n^2}/n^E_{n}=-\frac{13{,}6}{n^2}/n^{2}E_{n}=-\frac{13{,}6}{n}/n^{2}E_{n}=-\frac{13{,}6}{\placeholder{}}/n^{2}E_{n}=-13{,}6/n^{2}E_{n}=-136/n^{2}(uitgedrukt in elektronvolt (eV), een energie-eenheid die veel wordt gebruikt in de atoomfysica)

Hierbij is:

•de energie op hetniveau (eV)

•het quantumgetal\left(n=1,2,3{,}\ldots\right)\left(n=1,2,3{,}..\right)\left(n=1,2,3{,}.\right)\left(n=1,2,3{,}\right)\left(n=1,2,3\right)\left(n=1,2,3.\right)\left(n=1,2,3..\right)\left(n=1,2,3...\right)

Kenmerken van de energieniveaus in een waterstofatoom:

•De grondtoestand\left(n=1\right)heeft de meest negatieve energiewaarde:E_1=-13{,}6E_1=-136E_1=-13,6E=-13,6E,=-13,6E=-13,6E\_=-13,6eV.

•Naarmatetoeneemt, worden de energieniveaus minder negatief en komen ze dichter bij elkaar te liggen.

•Bij(oneindig) is de energieeV. Dit betekent dat het elektron dan volledig los is van de kern.

Een negatieve energie duidt op gebondenheid, vergelijkbaar met gravitatie-energie.

Wat is ionisatie-energie?

De ionisatie-energie is de hoeveelheid energie die nodig is om een elektron volledig los te maken van een atoom, oftewel om het elektron naar het quantumgetalte brengen. Voor een waterstofatoom in de grondtoestandis diteV (0-(-13{,}6)=13{,}60-(-13{,}6)=136eV). De totale energie van een gebonden elektron in een waterstofatoom bestaat uit kinetische energie en elektrische energie. Voor de grondtoestand\left(n=1\right)is de kinetische energieeV en de elektrische energieeV.

Hoe ziet de waarschijnlijkheidsverdeling van een elektron in een waterstofatoom eruit?

Rondom een waterstofkern gedraagt het elektron zich als een driedimensionale quantumgolf. De waarschijnlijkheidsverdeling van dit elektron is complexer dan in een eendimensionale put en wordt vaak voorgesteld als een elektronenwolk. De piek van deze waarschijnlijkheidsverdeling, waar de kans het grootst is om het elektron te vinden, ligt bij de Bohrstraal\left(a_0\right)a_0aa\_. Dit is dan ook de typische 'straal' die wordt toegeschreven aan het waterstofatoom.

Voorbeeldopgave

Ongeveer 380.000 jaar na de oerknal daalde de temperatuur van het heelal voldoende, waardoor protonen elektronen konden vangen en stabiele waterstofatomen werden gevormd. Dit toont het belang van de kwantumfysica voor het verklaren van het bestaan van stabiele materie. Het elektron beweegt niet in een vaste cirkelvormige baan, maar wordt beschreven door een waarschijnlijkheidsverdeling. De kans om het elektron op een afstand tussenenvan de kern aan te treffen, komt overeen met de oppervlakte onder de grafiek van. Het maximum van deze kans ligt bij de atoomstraal(de Bohrstraal).

Hieronder staan stellingen over de waarschijnlijkheidsverdeling van een waterstofelektron:

1.Stelling 1 (Myrthe): De oppervlakte kan nooit gelijk aan één zijn, omdat de grafiek een asymptoot heeft. Antwoord: Myrthe heeft ongelijk. De totale oppervlakte onder de kromme is precies één, omdat het elektron ergens moet zijn en de totale kans om het te vinden 100% (of 1) is.

2.Stelling 2 (Jim): De totale oppervlakte onder de kromme is gelijk aan één, omdat dat gelijk is aan de totale kans om het elektron te vinden. Antwoord: Jim heeft gelijk. De totale kans dat een deeltje zich ergens bevindt, is per definitie 1.

3.Stelling 3 (Johan): De kans om het elektron binnen een gebiedjevanpicometer aan te treffen is het grootste rondom. Antwoord: Johan heeft gelijk. De grafiek van de waarschijnlijkheidsverdeling heeft een maximum bij, wat betekent dat de kans daar het grootst is.

4.Stelling 4 (Ingrid): Je kunt aan de grafiek zien dat de kans om een elektron tussen(de kern) enaan te treffen ongeveer twee keer zo klein is als voor. Antwoord: Ingrid heeft gelijk. De oppervlakte rechts van de piek\left(r>a_0\right)is ongeveer twee keer zo groot als de oppervlakte links van de piek\left(r<a_0\right)r<a_0r<ar<a\_.

5.Stelling 5 (José): De kans om een elektron aan te treffen voorenmoet gelijk zijn. Antwoord: José heeft ongelijk. De grafiek van de waarschijnlijkheidsverdeling is niet symmetrisch rond de Bohrstraal, dus de oppervlaktes (kansen) aan beide zijden zijn niet gelijk.