Natuurkunde examen VWO 2022 - Tijdvak 1

4 punten

Open vraag

Quantum-dot

In een oneindig grote halfgeleider kan de energie van het elektron-gatpaar$E_{\text {eg }}elke waarde hebben boven de bandgap. In een quantum-dot wordt het elektron-gatpaar in een kleine ruimte opgesloten. Daardoor worden de energieniveaus van het elektron-gatpaar gequantiseerd. Hoe kleiner de ruimte, hoe groter de afstand tussen de afzonderlijke energieniveaus. Zie figuur 5.

In een vereenvoudigd model kan de quantum-dot beschouwd worden als een energieput met oneindig hoge wanden. Voor de nulpuntsenergie van een deeltje in deze energieput kan worden uitgegaan van een eendimensionale put, waarvan de lengte$Lgelijk is aan de straal$Rvan de quantum-dot. De energie$E_{\text {nul }}in figuur 5 is de som van de nulpuntsenergieën van elektron en gat in deze energieput. Dus$E_{\text {nul }}=E_{\text {nul,elektron }}+E_{\text {nul,gat }} \cdot

Na zijn ontstaan komt het elektron-gatpaar door wisselwerking met het atoomrooster uiteindelijk in de grondtoestand van de energieput terecht. Als het elektron vervolgens terugvalt in het gat zendt de quantum-dot een foton uit. In figuur 5 is dit schematisch weergegeven.

Voor de energie van het uitgezonden foton$E_{\mathrm{f}}geldt:

E_{\mathrm{f}}=E_{\mathrm{gap}}+\frac{C}{R^{2}}(2)

Hierin is$Ceen constante met de eenheid\text{J m}^2^2^2^2^2^2^2^2^2^2^2^2$\mathrm{J} \mathrm{m}^{2}, die afhangt vanm_{\text{eff, elektron }},\,m_{\text{eff, gat }}m_{\text{eff, elektron }},m_{\text{eff, gat }}m_{\text{eff, elektron }},m_{\text{eff, gat }}$m_{\text {eff, elektron }}, m_{\text {eff, gat }}en$h.

uitkomst:C=6{,}0\cdot10^{-37}\,(\text{Jm}^2)C=6{,}0\cdot10^{-37}\,(\text{JmM}^2)C=6{,}0\cdot10^{-37}\,(\text{JM}^2)C=6{,}0\cdot10^{-37}\,(^2)C=6{,}0\cdot10^{-37}\,(^2)C=6{,}0\cdot10^{-37}\,(^2)C=6{,}0\cdot10^{-37}\,(^2)C=6{,}0\cdot10^{-37}\,(^2)C=6{,}0\cdot10^{-37}\,(^2)C=6{,}0\cdot10^{-37}\,(^2)C=6{,}0\cdot10^{-37}\,(^2)C=6{,}0\cdot10^{-37}\,(^2)C=6{,}0\cdot10^{-37}\,(^2)C=6{,}0\cdot10^{-37}\,(J^2)C=6{,}0\cdot10^{-37}\,(Jm^2)C=6{,}0\cdot10^{-37}(Jm^2)C=6{,}0\cdot10^{-37}(Jm^2)$C=6{,}0 \cdot 10^{-37}(\mathrm{Jm}^{2})

voorbeeld van een antwoord: Voor de nulpuntsenergie van een deeltje in een eendimensionale energieput met oneindig hoge wanden geldt:$E_{n}=\frac{n^{2} h^{2}}{8 m L^{2}}met$n=1.

Voor de nulpuntsenergie van de twee (onafhankelijke) deeltjes in de quantum-dot geldt dus

E_{\text {nul }}=\frac{h^{2}}{8 m_{\text {eff, elektron }} L^{2}}+\frac{h^{2}}{8 m_{\text {eff, gat }} L^{2}} \text { met } L=R .

Voor de fotonenergie geldt$E_{\mathrm{f}}=E_{\text {gap }}+E_{\text {nul }}en dus

E_{f}=E_{\text{gap }}+\frac{h^{2}}{8 m_{\text{eff, elektron }} R^{2}}+\frac{h^{2}}{8 m_{\text{eff, gat }} R^{2}}=E_{\text{gap }}+\left(\frac{h^{2}}{8 m_{\text{eff, elektron }}}+\frac{h^{2}}{8 m_{\text{eff, gat }}}\right)\frac{1}{R^{2}}E_{f}=E_{\text{gap }}+\frac{h^{2}}{8 m_{\text{eff, elektron }} R^{2}}+\frac{h^{2}}{8 m_{\text{eff, gat }} R^{2}}=E_{\text{gap }}+\left(\frac{h^{2}}{8 m_{\text{eff, elektron }}}+\frac{h^{2}}{8 m_{\text{eff, gat }}}\right)\frac{1}{R^{2}}.E_{f}=E_{\text{gap }}+\frac{h^{2}}{8 m_{\text{eff, elektron }} R^{2}}+\frac{h^{2}}{8 m_{\text{eff, gat }} R^{2}}=E_{\text{gap }}+\frac{h^{2}}{8 m_{\text{eff, elektron }}}+\frac{h^{2}}{8 m_{\text{eff, gat }}})\frac{1}{R^{2}}.E_{\mathrm{f}}=E_{\text {gap }}+\frac{h^{2}}{8 m_{\text {eff, elektron }} R^{2}}+\frac{h^{2}}{8 m_{\text {eff, gat }} R^{2}}=E_{\text {gap }}+(\frac{h^{2}}{8 m_{\text {eff, elektron }}}+\frac{h^{2}}{8 m_{\text {eff, gat }}}) \frac{1}{R^{2}} ..

\operatorname{Dus}(E_{f}=E_{\text{gap }}+\frac{C}{R^{2}},\text{ met})\,C=\frac{h^{2}}{8 m_{\text{eff, elektron }}}+\frac{h^{2}}{8 m_{\text{eff, gat }}}\operatorname{Dus}(E_{f}=E_{\text{gap }}+\frac{C}{R^{2}},\text{ met})C=\frac{h^{2}}{8 m_{\text{eff, elektron }}}+\frac{h^{2}}{8 m_{\text{eff, gat }}}\operatorname{Dus}(E_{f}=E_{\text{gap }}+\frac{C}{R^{2}},\text{ met})C=\frac{h^{2}}{8 m_{\text{eff, elektron }}}+\frac{h^{2}}{8 m_{\text{eff, gat }}}\operatorname{Dus}(E_{f}=E_{\text{gap }}+\frac{C}{R^{2}},\text{ met})C=\frac{h^{2}}{8 m_{\text{eff, elektron }}}+\frac{h^{2}}{8 m_{\text{eff, gat }}}\operatorname{Dus}(E_{f}=E_{\text{gap }}+\frac{C}{R^{2}},\text{ met})\operatorname{Dus}(E_{f}=E_{\text{gap }}+\frac{C}{R^{2}},)\operatorname{Dus}(E_{f}=E_{\text{gap }}+\frac{C}{R^{2}},)\operatorname{Dus}(E_{f}=E_{\text{gap }}+\frac{C}{R^{2}},)\operatorname{Dus}(E_{f}=E_{\text{gap }}+\frac{C}{R^{2}},)\operatorname{Dus}(E_{f}=E_{\text{gap }}+\frac{C}{R^{2}},)\operatorname{Dus}(E_{f}=E_{\text{gap }}+\frac{C}{R^{2}},)\operatorname{Dus}(E_{f}=E_{\text{gap }}+\frac{C}{R^{2}},)\operatorname{Dus}(E_{f}=E_{\text{gap }}+\frac{C}{R^{2}},)\operatorname{Dus}(E_{f}=E_{\text{gap }}+\frac{C}{R^{2}},)\operatorname{Dus}(E_{f}=E_{\text{gap }}+\frac{C}{R^{2}},)\operatorname{Dus}(E_{f}=E_{\text{gap }}+\frac{C}{R^{2}},)\operatorname{Dus}(E_{f}=E_{\text{gap }}+\frac{C}{R^{2}},)\operatorname{Dus}(E_{f}=E_{\text{gap }}+\frac{C}{R^{2}})\operatorname{Dus}(E_{f}=E_{\text{gap }}+\frac{C}{R^{2}}\right)$\operatorname{Dus}(E_{\mathrm{f}}=E_{\text {gap }}+\frac{C}{R^{2}}\right..

Invullen en uitrekenen levert:

C=\frac{h^{2}}{8 m_{e}}\left(\frac{1}{0{,}13}+\frac{1}{0{,}45}\right)=\frac{(6{,}63 \cdot10^{-34})^{2}}{8 \cdot9{,}11 \cdot10^{-31}}\left(\frac{1}{0{,}13}+\frac{1}{0{,}45}\right)=6{,}0\cdot10^{-37}\,(\text{Jm}^2)C=\frac{h^{2}}{8 m_{e}}\left(\frac{1}{0{,}13}+\frac{1}{0{,}45}\right)=\frac{(6{,}63 \cdot10^{-34})^{2}}{8 \cdot9{,}11 \cdot10^{-31}}\left(\frac{1}{0{,}13}+\frac{1}{0{,}45}\right)=6{,}0\cdot10^{-37}\,(^2)C=\frac{h^{2}}{8 m_{e}}\left(\frac{1}{0{,}13}+\frac{1}{0{,}45}\right)=\frac{(6{,}63 \cdot10^{-34})^{2}}{8 \cdot9{,}11 \cdot10^{-31}}\left(\frac{1}{0{,}13}+\frac{1}{0{,}45}\right)=6{,}0\cdot10^{-37}\,(^2)C=\frac{h^{2}}{8 m_{e}}\left(\frac{1}{0{,}13}+\frac{1}{0{,}45}\right)=\frac{(6{,}63 \cdot10^{-34})^{2}}{8 \cdot9{,}11 \cdot10^{-31}}\left(\frac{1}{0{,}13}+\frac{1}{0{,}45}\right)=6{,}0\cdot10^{-37}\,(^2)C=\frac{h^{2}}{8 m_{e}}\left(\frac{1}{0{,}13}+\frac{1}{0{,}45}\right)=\frac{(6{,}63 \cdot10^{-34})^{2}}{8 \cdot9{,}11 \cdot10^{-31}}\left(\frac{1}{0{,}13}+\frac{1}{0{,}45}\right)=6{,}0\cdot10^{-37}\,(^2)C=\frac{h^{2}}{8 m_{e}}\left(\frac{1}{0{,}13}+\frac{1}{0{,}45}\right)=\frac{(6{,}63 \cdot10^{-34})^{2}}{8 \cdot9{,}11 \cdot10^{-31}}\left(\frac{1}{0{,}13}+\frac{1}{0{,}45}\right)=6{,}0\cdot10^{-37}\,(^2)C=\frac{h^{2}}{8 m_{e}}\left(\frac{1}{0{,}13}+\frac{1}{0{,}45}\right)=\frac{(6{,}63 \cdot10^{-34})^{2}}{8 \cdot9{,}11 \cdot10^{-31}}\left(\frac{1}{0{,}13}+\frac{1}{0{,}45}\right)=6{,}0\cdot10^{-37}\,(^2)C=\frac{h^{2}}{8 m_{e}}\left(\frac{1}{0{,}13}+\frac{1}{0{,}45}\right)=\frac{(6{,}63 \cdot10^{-34})^{2}}{8 \cdot9{,}11 \cdot10^{-31}}\left(\frac{1}{0{,}13}+\frac{1}{0{,}45}\right)=6{,}0\cdot10^{-37}\,(^2)C=\frac{h^{2}}{8 m_{e}}\left(\frac{1}{0{,}13}+\frac{1}{0{,}45}\right)=\frac{(6{,}63 \cdot10^{-34})^{2}}{8 \cdot9{,}11 \cdot10^{-31}}\left(\frac{1}{0{,}13}+\frac{1}{0{,}45}\right)=6{,}0\cdot10^{-37}\,(^2)C=\frac{h^{2}}{8 m_{e}}\left(\frac{1}{0{,}13}+\frac{1}{0{,}45}\right)=\frac{(6{,}63 \cdot10^{-34})^{2}}{8 \cdot9{,}11 \cdot10^{-31}}\left(\frac{1}{0{,}13}+\frac{1}{0{,}45}\right)=6{,}0\cdot10^{-37}\,(^2)C=\frac{h^{2}}{8 m_{e}}\left(\frac{1}{0{,}13}+\frac{1}{0{,}45}\right)=\frac{(6{,}63 \cdot10^{-34})^{2}}{8 \cdot9{,}11 \cdot10^{-31}}\left(\frac{1}{0{,}13}+\frac{1}{0{,}45}\right)=6{,}0\cdot10^{-37}\,(^2)C=\frac{h^{2}}{8 m_{e}}\left(\frac{1}{0{,}13}+\frac{1}{0{,}45}\right)=\frac{(6{,}63 \cdot10^{-34})^{2}}{8 \cdot9{,}11 \cdot10^{-31}}\left(\frac{1}{0{,}13}+\frac{1}{0{,}45}\right)=6{,}0\cdot10^{-37}\,(^2)C=\frac{h^{2}}{8 m_{e}}\left(\frac{1}{0{,}13}+\frac{1}{0{,}45}\right)=\frac{(6{,}63 \cdot10^{-34})^{2}}{8 \cdot9{,}11 \cdot10^{-31}}\left(\frac{1}{0{,}13}+\frac{1}{0{,}45}\right)=6{,}0\cdot10^{-37}\,(^2)C=\frac{h^{2}}{8 m_{e}}\left(\frac{1}{0{,}13}+\frac{1}{0{,}45}\right)=\frac{(6{,}63 \cdot10^{-34})^{2}}{8 \cdot9{,}11 \cdot10^{-31}}\left(\frac{1}{0{,}13}+\frac{1}{0{,}45}\right)=6{,}0\cdot10^{-37}\,(^2)C=\frac{h^{2}}{8 m_{e}}\left(\frac{1}{0{,}13}+\frac{1}{0{,}45}\right)=\frac{(6{,}63 \cdot10^{-34})^{2}}{8 \cdot9{,}11 \cdot10^{-31}}\left(\frac{1}{0{,}13}+\frac{1}{0{,}45}\right)=6{,}0\cdot10^{-37}\,(^2)C=\frac{h^{2}}{8 m_{e}}\left(\frac{1}{0{,}13}+\frac{1}{0{,}45}\right)=\frac{(6{,}63 \cdot10^{-34})^{2}}{8 \cdot9{,}11 \cdot10^{-31}}\left(\frac{1}{0{,}13}+\frac{1}{0{,}45}\right)=6{,}0\cdot10^{-37}\,(J^2)C=\frac{h^{2}}{8 m_{e}}\left(\frac{1}{0{,}13}+\frac{1}{0{,}45}\right)=\frac{(6{,}63 \cdot10^{-34})^{2}}{8 \cdot9{,}11 \cdot10^{-31}}\left(\frac{1}{0{,}13}+\frac{1}{0{,}45}\right)=6{,}0\cdot10^{-37}\,(Jm^2)C=\frac{h^{2}}{8 m_{e}}\left(\frac{1}{0{,}13}+\frac{1}{0{,}45}\right)=\frac{(6{,}63 \cdot10^{-34})^{2}}{8 \cdot9{,}11 \cdot10^{-31}}\left(\frac{1}{0{,}13}+\frac{1}{0{,}45}\right)=6{,}0\cdot10^{-37}(Jm^2)C=\frac{h^{2}}{8 m_{e}}\left(\frac{1}{0{,}13}+\frac{1}{0{,}45}\right)=\frac{(6{,}63 \cdot10^{-34})^{2}}{8 \cdot9{,}11 \cdot10^{-31}}\left(\frac{1}{0{,}13}+\frac{1}{0{,}45}\right)=6{,}0\cdot10^{-37}(Jm^2)C=\frac{h^{2}}{8 m_{e}}\left(\frac{1}{0{,}13}+\frac{1}{0{,}45}\right)=\frac{(6{,}63 \cdot10^{-34})^{2}}{8 \cdot9{,}11 \cdot10^{-31}}\left(\frac{1}{0{,}13}+\frac{1}{0{,}45}\right)=6{,}0\cdot10^{-37}(Jm^2)C=\frac{h^{2}}{8 m_{e}}\frac{1}{0{,}13}+\frac{1}{0{,}45})=\frac{(6{,}63 \cdot10^{-34})^{2}}{8 \cdot9{,}11 \cdot10^{-31}}\left(\frac{1}{0{,}13}+\frac{1}{0{,}45}\right)=6{,}0\cdot10^{-37}(Jm^2)C=\frac{h^{2}}{8 m_{e}}(\frac{1}{0{,}13}+\frac{1}{0{,}45})=\frac{(6{,}63 \cdot10^{-34})^{2}}{8 \cdot9{,}11 \cdot10^{-31}}\left(\frac{1}{0{,}13}+\frac{1}{0{,}45}\right)=6{,}0\cdot10^{-37}(Jm^2)C=\frac{h^{2}}{8 m_{e}}(\frac{1}{0{,}13}+\frac{1}{0{,}45})=\frac{(6{,}63 \cdot10^{-34})^{2}}{8 \cdot9{,}11 \cdot10^{-31}}\frac{1}{0{,}13}+\frac{1}{0{,}45})=6{,}0\cdot10^{-37}(Jm^2)$C=\frac{h^{2}}{8 m_{e}}(\frac{1}{0{,}13}+\frac{1}{0{,}45})=\frac{(6{,}63 \cdot 10^{-34})^{2}}{8 \cdot 9{,}11 \cdot 10^{-31}}(\frac{1}{0{,}13}+\frac{1}{0{,}45})=6{,}0 \cdot 10^{-37}(\mathrm{Jm}^{2}).

➤ Indien correct 1 punt:

Oefen vraag

Vraag 9

Beoordeling