Wat is een fout van de eerste soort en hoe bereken je het kritieke gebied?

Een fout van de eerste soort (ook wel $\alpha$-fout genoemd) treedt op wanneer je de nulhypothese ($H_0$) verwerpt, terwijl deze in werkelijkheid waar is. Dit betekent dat je onterecht concludeert dat er een effect of verschil is, terwijl dit in feite niet zo is. De kans op een fout van de eerste soort is gelijk aan het significantieniveau $\alpha$.

Het kritieke gebied is het bereik van waarden voor de toetsingsgrootheid waarbij je de nulhypothese verwerpt. De manier waarop je het kritieke gebied berekent, hangt af van of de toets eenzijdig of tweezijdig is.

1. Kritieke gebied bij een eenzijdige toets (voorbeeld met dobbelsteen): Bij een eenzijdige toets zoek je naar afwijkingen in één specifieke richting (bijvoorbeeld alleen 'groter dan' of alleen 'kleiner dan'). Stel, je hebt een nulhypothese $H_0: p = \frac{1}{6}$ en een alternatieve hypothese $H_1: p > \frac{1}{6}$ (de dobbelsteen komt te vaak op de krokodil met kiespijn). Je hebt $n=50$ worpen en een significantieniveau $\alpha = 0.05$. De toetsingsgrootheid $X$ volgt een binomiale verdeling $X \sim B(50, \frac{1}{6})$.

Om het kritieke gebied te bepalen, zoek je de kleinste waarde $k$ waarvoor de kans op $k$ of meer successen (onder de aanname dat $H_0$ waar is) kleiner of gelijk is aan het significantieniveau: $P(X \ge k | p = \frac{1}{6}) \le 0.05$

Dit kun je ook schrijven als: $1 - P(X \le k-1 | p = \frac{1}{6}) \le 0.05$ of $P(X \le k-1 | p = \frac{1}{6}) \ge 0.95$

Met een rekenmachine zoek je de waarde van $k-1$ waarbij de cumulatieve kans voor het eerst 0.95 of hoger is:

• $P(X \le 11 | p = \frac{1}{6}) \approx 0.9080$
• $P(X \le 12 | p = \frac{1}{6}) \approx 0.9585$

De waarde $k-1$ waarbij de cumulatieve kans voor het eerst boven de 0.95 komt, is 12. Dit betekent dat $k-1 = 12$, dus $k = 13$. Het kritieke gebied is dan $X \ge 13$. Als de dobbelsteen 13 keer of vaker op de krokodil met kiespijn terechtkomt, verwerp je $H_0$.

2. Kritieke gebied bij een tweezijdige toets (voorbeeld met $n=100, p=0.3, \alpha=0.05$): Bij een tweezijdige toets zoek je naar afwijkingen in beide richtingen (zowel 'groter dan' als 'kleiner dan'). Stel, je hebt:

• $H_0: p = 0.3$
• $H_1: p \ne 0.3$ (dit is een tweezijdige toets)
• Steekproefomvang $n=100$
• Significantieniveau $\alpha = 0.05$ De toetsingsgrootheid $X$ volgt een binomiale verdeling $X \sim B(100, 0.3)$.

Omdat het een tweezijdige toets is, verdeel je het significantieniveau over twee staarten. Voor elke staart is het significantieniveau $\frac{\alpha}{2} = \frac{0.05}{2} = 0.025$.

• Ondergrens van het kritieke gebied ($k_1$) bepalen: Je zoekt de grootste waarde $k_1$ waarvoor geldt: $P(X \le k_1 | p = 0.3) \le 0.025$ Met een rekenmachine vind je:

  • $P(X \le 22 | p = 0.3) \approx 0.0098$
  • $P(X \le 23 | p = 0.3) \approx 0.0179$
  • $P(X \le 24 | p = 0.3) \approx 0.0308$ De grootste waarde $k_1$ waarvoor de kans $\le 0.025$ is, is $k_1 = 23$.

• Bovengrens van het kritieke gebied ($k_2$) bepalen: Je zoekt de kleinste waarde $k_2$ waarvoor geldt: $P(X \ge k_2 | p = 0.3) \le 0.025$ Dit is hetzelfde als $1 - P(X \le k_2-1 | p = 0.3) \le 0.025$, of $P(X \le k_2-1 | p = 0.3) \ge 0.975$. Met een rekenmachine vind je:

  • $P(X \le 36 | p = 0.3) \approx 0.9660$
  • $P(X \le 37 | p = 0.3) \approx 0.9790$
  • $P(X \le 38 | p = 0.3) \approx 0.9877$ De kleinste waarde $k_2-1$ waarvoor de kans $\ge 0.975$ is, is $k_2-1 = 37$. Dus $k_2 = 38$.

Het kritieke gebied voor deze tweezijdige toets bestaat uit de waarden $X$ waarvoor $X \le 23$ of $X \ge 38$. Als je steekproefresultaat in dit gebied valt, verwerp je de nulhypothese.