Wat is de Wet van Stefan-Boltzmann?

De Wet van Stefan-Boltzmann beschrijft de totale energie die per oppervlakte-eenheid per tijdseenheid wordt uitgestraald door een zwart lichaam, wat evenredig is met de vierde macht van de absolute temperatuur van dat lichaam. In de astrofysica wordt dit uitgestraalde vermogen ook wel de lichtkracht of lichtsterkte ($L$) genoemd.

De formule voor de lichtsterkte ($L$) van een ster volgens de Wet van Stefan-Boltzmann is:

$L = \sigma \cdot A \cdot T^4$

Hierin is:

• $L$ de lichtsterkte (of lichtkracht) in Watt (W).
• $\sigma$ de constante van Stefan-Boltzmann, met een waarde van ongeveer $5,67 \times 10^{-8} \text{ W m}^{-2} \text{ K}^{-4}$.
• $A$ het oppervlak van de stralende bron (de ster) in vierkante meter (m²).
• $T$ de absolute temperatuur van het oppervlak van de ster in Kelvin (K).

Omdat sterren vaak worden voorgesteld als bollen, kun je het oppervlak ($A$) van de ster uitdrukken in de straal ($R$) van de ster. De formule voor het oppervlak van een bol is:

$A = 4 \cdot \pi \cdot R^2$

Hierin is:

• $R$ de straal van de ster in meter (m).

Als je deze formule voor het oppervlak invult in de formule voor de lichtsterkte, krijg je de gecombineerde formule voor de lichtsterkte van een ster:

$L = \sigma \cdot (4 \cdot \pi \cdot R^2) \cdot T^4$

Deze formule kun je gebruiken om de lichtsterkte van verschillende sterren te vergelijken. Om de verhouding van de lichtsterkte van twee sterren (bijvoorbeeld Castor en de Zon) te bepalen, stel je de formules voor beide sterren boven elkaar en deel je ze door elkaar:

$\frac{L_{Castor}}{L_{Zon}} = \frac{\sigma \cdot 4 \cdot \pi \cdot R_{Castor}^2 \cdot T_{Castor}^4}{\sigma \cdot 4 \cdot \pi \cdot R_{Zon}^2 \cdot T_{Zon}^4}$

Omdat de constante van Stefan-Boltzmann ($\sigma$), het getal $4$ en $\pi$ zowel in de teller als in de noemer staan, kun je deze constanten wegstrepen. De formule die dan overblijft voor de verhouding van de lichtsterktes is:

$\frac{L_{Castor}}{L_{Zon}} = \frac{R_{Castor}^2 \cdot T_{Castor}^4}{R_{Zon}^2 \cdot T_{Zon}^4}$

Deze formule kan ook geschreven worden als:

$\frac{L_{Castor}}{L_{Zon}} = \left(\frac{R_{Castor}}{R_{Zon}}\right)^2 \cdot \left(\frac{T_{Castor}}{T_{Zon}}\right)^4$

Voorbeeld met waarden uit BINAS tabel 32b: Stel dat je de volgende (afgeronde) waarden uit BINAS tabel 32b haalt voor Castor A (een van de componenten van het Castor-systeem) en de Zon:

• Verhouding van de straal van Castor A ten opzichte van de Zon: $\frac{R_{Castor}}{R_{Zon}} \approx 2,3$
• Temperatuur van Castor A: $T_{Castor} \approx 10000 \text{ K}$
• Temperatuur van de Zon: $T_{Zon} \approx 5800 \text{ K}$

Dan is de verhouding van de temperatuur van Castor A ten opzichte van de Zon: $\frac{T_{Castor}}{T_{Zon}} \approx \frac{10000}{5800} \approx 1,72$

Nu kun je deze verhoudingen invullen in de formule:

$\frac{L_{Castor}}{L_{Zon}} = (2,3)^2 \cdot (1,72)^4$ $\frac{L_{Castor}}{L_{Zon}} = 5,29 \cdot 8,78$ $\frac{L_{Castor}}{L_{Zon}} \approx 46,4$

Dit resultaat van ongeveer 46,4 is dicht bij de waarde van 50 die in BINAS wordt genoemd voor de lichtsterkte van Castor ten opzichte van de Zon, wat aantoont dat de Wet van Stefan-Boltzmann correct is toegepast.