Wortels en machten

Leerdoelen

•Je kunt wortels herschrijven als machten

•Je kunt wortels en machten herleiden tot de vorm AX^{N}AX^{}AX^{n}AXAX\&AX\&nAX\&AXAX^

•Je kunt de samenhang tussen wortels en machten met een negatieve exponent uitleggen en toepassen.

Voorkennis rekenregels

Machten vermenigvuldigen en delen

•Machten met gelijk grondtal vermenigvuldigen: A^{P}\times A^{Q}=A^{P+Q}A^{P}\times A^{Q}=A^{P+}A^{P}\times A^{Q}=A^{P}A^{P}\times A^{Q}=AA^{P}\times A^{Q}=A^{P}\times A^{Q}=AA^{P}\times A^{Q}=A\left(\right.A^{P}\times A^{Q}=A\left(\right)A^{P}\times A^{Q}=A\left((\right)A^{P}\times A^{Q}=A\left((\right)A^{P}\times A^{Q}=AA^{P}\times A^{Q}=A\left(\right.A^{P}\times A^{Q}=A\left(\right)A^{P}\times A^{Q}=A\left((\right)A^{P}\times A^{Q}=A\left((P\right)A^{P}\times A^{Q}=A\left((P+\right)A^{P}\times A^{Q}=A\left((P+Q\right)A(^{P}\times A^{Q}=A\left((P+Q\right)A(^{P}\times A^{Q}=A\left((P+Q\right)A^{P}\times A^{Q}=A(P+Q)A\times A^{Q}=A(P+Q)AP\times A^{Q}=A(P+Q)AP\times A=A(P+Q)

•Machten met gelijk grondtal delen:A^{P}\div A^{Q}=A^{P-Q}A\div A^{Q}=A^{P-Q}AP\div A^{Q}=A^{P-Q}AP\div A^{}=A^{P-Q}AP\div A^{q}=A^{P-Q}AP\div A=A^{P-Q}AP\div AQ=A^{P-Q}AP\div AQ=A^{P-}AP\div AQ=A^{P}AP\div AQ=AAP\div AQ=A(AP\div AQ=A(PAP\div AQ=A(P-AP\div AQ=A(P-Q

•Macht naar boven halen in deling: \frac{1}{A^{P}}=A^{-P}\frac{1}{A^{P}}A=A^{-P}\frac{1}{A^{P}}A^{}=A^{-P}\frac{1}{A^{P}}A^{P}=A^{-P}\frac{1}{A}A^{P}=A^{-P}\frac{1}{\placeholder{}}A^{P}=A^{-P}1A^{P}=A^{-P}1\div A^{P}=A^{-P}1\div A^{P}=A^{-}1\div A^{P}=A1\div A^{P}=A(1\div A^{P}=A(-1\div A^{P}=A(-P1\div A^{P}=A(-P)1\div A^{}=A(-P)1\div A^{p}=A(-P)1\div A=A(-P)

•Elk getal tot de macht 0: A^0=1A=1

•Macht van een macht: \left(A^{P}\right)^{Q}=A^{P\times Q}\left(A^{P}\right)^{Q}=A^{P\times}\left(A^{P}\right)^{Q}=A^{P}\left(A^{P}\right)^{Q}=A\left(A^{P}\right)^{Q}=AQ\left(A^{P}\right)^{Q}=A\times Q\left(A^{P}\right)^{Q}=A(\times Q\left(A^{P}\right)^{Q}=A(P\times Q\left(A^{P}\right)^{Q}=AQ\left(A^{P}\right)^{Q}=A^{Px}\left(A^{P}\right)^{Q}=A^{Px}\left(A^{P}\right)^{Q}=A^{P\cdot}\left(A^{P}\right)^{Q}=A^{P\cdot}\left(A^{P}\right)^{Q}=A^{P\cdot\cdot\cdot\cdot}\left(A^{P}\right)^{Q}=A^{P\cdot}\left(A^{P}\right)^{Q}=A^{P}\left(A^{P}\right)^{Q}=A^{P\cdot}\left(A^{P}\right)^{Q}=A^{P\cdot\cdot}\left(A^{P}\right)^{Q}=A^{P\cdot\cdot\cdot}\left(A^{P}\right)^{Q}=A^{P\cdot\cdot\cdot\cdot}\left(A^{P}\right)^{Q}=A^{P\cdot\cdot\cdot}\left(A^{P}\right)^{Q}=A^{P\cdot\cdot}\left(A^{P}\right)^{Q}=A^{P\cdot}\left(A^{P}\right)^{Q}=A^{P}\left(A^{P}\right)^{Q}=A^{P\cdot}\left(A^{P}\right)^{Q}=A^{P}\left(A^{P}\right)^{Q}=A^{Px}\left(A^{P}\right)^{Q}=A^{P}\left(A^{P}\right)^{Q}=A\left(A^{P}\right)^{Q}=AQ\left(A^{P}\right)^{Q}=A\times Q\left(A^{P}\right)^{Q}=AP\times Q\left(A^{P}\right)^{Q}=A(P\times Q\left(A^{P}\right)=A(P\times Q\left(A^{P}\right)Q=A(P\times QA^{P})Q=A(P\times QA)Q=A(P\times Q

Wortels en machten begrijpen

Basis van wortels

Definitie: De wortel van een getal is het getal dat, wanneer het met zichzelf wordt vermenigvuldigd, het oorspronkelijke getal geeft. Bijvoorbeeld, \sqrt9=3\sqrt{\placeholder{}}=3=3\surd=3, omdat 3^2=93=93\&=93\&2=93\&=93=9.

Wortels als machten

Diepere inzichten: De wortel van A^6A is A^3AA^ omdat A^3\times A^3=A^6A^3\times A^3=AA^3\times A^3=A6A^3\times A=A6A^3\times A3=A6A\times A3=A6. Hieruit kunnen we een nieuwe rekenregel herleiden: de wortel van A is gelijk aan A tot de macht een half:\sqrt{A}=A^{\frac12}\sqrt{\placeholder{}}=A^{\frac12}=A^{\frac12}A=A^{\frac12}\surd A=A^{\frac12}\surd A=A^{\frac{1}{\placeholder{}}}\surd A=A^1\surd A=\frac{A^1}{}\surd A=\frac{A^1}{2}\surd A=\frac{A^1}{\placeholder{}}\surd A=A^1\surd A=A\surd A=A)\surd A=A2)\surd A=A/2)\surd A=A1/2).

Toepassingen en rekenregels

Wortels uitdrukken als machten: \sqrt{A^8}=A^4\sqrt{A^8}A=A^4\sqrt{A^8}A^8=A^4\sqrt{A}A^8=A^4\sqrt{\placeholder{}}A^8=A^4A^4=A^4A^8=A^4\sqrt{\placeholder{}}A^8=A^4A^8=A^4\surd A^8=A^4\surd A^8=A\surd A^8=A4\surd A=A4, omdat A^4\times A^4=A^8A^4\times A^4=AA^4\times A^4=A8A^4\times A=A8A^4\times A4=A8A\times A4=A8.

Oefeningen en voorbeelden

Wortels van getallen herleiden

Wortel A⁶: We zien dat \sqrt{A^6}\surd\sqrt{A^6}\surd\sqrt{A^6}A^6\surd\sqrt{A}A^6\surd\sqrt{\placeholder{}}A^6\surd A^6\surd A gelijk is aan A^{\frac62}A^{\frac{6}{\placeholder{}}}A^6AA(A(6A(6/A(6/2 oftewel A^3A.

Wortel A⁷: Hier gebruiken we de regel dat de wortel van A gelijkstaat aanA^{\frac12}A^{\frac{1}{\placeholder{}}}A^1AA(A(1A(1/A(1/2, dus \sqrt{A^7}=A^{\left(7\times\left(\frac12\right)\right)}=A^{\left(\frac72\right)}=A^{\left(3+\frac12\right)}=A^3\sqrt{A}\sqrt{A^7}=A^{\left(7\times\left(\frac12\right)\right)}=A^{\left(\frac72\right)}=A^{\left(3+\frac12\right)}=A^3\sqrt{\placeholder{}}\sqrt{A^7}=A^{\left(7\times\left(\frac12\right)\right)}=A^{\left(\frac72\right)}=A^{\left(3+\frac12\right)}=A^3\sqrt{A^7}=A^{\left(7\times\left(\frac12\right)\right)}=A^{\left(\frac72\right)}=A^{\left(3+\frac12\right)}=A^3\surd\sqrt{A^7}=A^{\left(7\times\left(\frac12\right)\right)}=A^{\left(\frac72\right)}=A^{\left(3+\frac12\right)}=A^3\surd A\sqrt{A}=A^{\left(7\times\left(\frac12\right)\right)}=A^{\left(\frac72\right)}=A^{\left(3+\frac12\right)}=A^3\surd A\sqrt{\placeholder{}}=A^{\left(7\times\left(\frac12\right)\right)}=A^{\left(\frac72\right)}=A^{\left(3+\frac12\right)}=A^3\surd A=A^{\left(7\times\left(\frac12\right)\right)}=A^{\left(\frac72\right)}=A^{\left(3+\frac12\right)}=A^3\surd AA^7=A^{\left(7\times\left(\frac12\right)\right)}=A^{\left(\frac72\right)}=A^{\left(3+\frac12\right)}=A^3\surd A\surd A^7=A^{\left(7\times\left(\frac12\right)\right)}=A^{\left(\frac72\right)}=A^{\left(3+\frac12\right)}=A^3\surd A\surd A^7=A^{\left(7\times\left(\frac12\right)\right)}=A^{\left(\frac72\right)}=A^{\left(3+\frac12\right)})=A^3\surd A\surd A^7=A^{\left(7\times\left(\frac12\right)\right)}=A^{\left(\frac72\right)}=A^{\left(3+\frac12\right)}2)=A^3\surd A\surd A^7=A^{\left(7\times\left(\frac12\right)\right)}=A^{\left(\frac72\right)}=A^{\left(3+\frac12\right)}/2)=A^3\surd A\surd A^7=A^{\left(7\times\left(\frac12\right)\right)}=A^{\left(\frac72\right)}=A^{\left(3+\frac12\right)}1/2)=A^3\surd A\surd A^7=A^{\left(7\times\left(\frac12\right)\right)}=A^{\left(\frac72\right)}=A^{\left(3+\frac12\right)}+1/2)=A^3\surd A\surd A^7=A^{\left(7\times\left(\frac12\right)\right)}=A^{\left(\frac72\right)}=A^{\left(3+\frac12\right)}3+1/2)=A^3\surd A\surd A^7=A^{\left(7\times\left(\frac12\right)\right)}=A^{\left(\frac72\right)}=A^{(3+\frac12}3+1/2)=A^3\surd A\surd A^7=A^{\left(7\times\left(\frac12\right)\right)}=A^{\left(\frac72\right)}=A^{(3+\frac{1}{\placeholder{}}}3+1/2)=A^3\surd A\surd A^7=A^{\left(7\times\left(\frac12\right)\right)}=A^{\left(\frac72\right)}=A^{(3+1}3+1/2)=A^3\surd A\surd A^7=A^{\left(7\times\left(\frac12\right)\right)}=A^{\left(\frac72\right)}=A^{(3+}3+1/2)=A^3\surd A\surd A^7=A^{\left(7\times\left(\frac12\right)\right)}=A^{\left(\frac72\right)}=A^{(3+}13+1/2)=A^3\surd A\surd A^7=A^{\left(7\times\left(\frac12\right)\right)}=A^{\left(\frac72\right)}=\frac{A^{(3+}1}{}3+1/2)=A^3\surd A\surd A^7=A^{\left(7\times\left(\frac12\right)\right)}=A^{\left(\frac72\right)}=\frac{A^{(3+}1}{2}3+1/2)=A^3\surd A\surd A^7=A^{\left(7\times\left(\frac12\right)\right)}=A^{\left(\frac72\right)}=\frac{A^{(3+}1}{\placeholder{}}3+1/2)=A^3\surd A\surd A^7=A^{\left(7\times\left(\frac12\right)\right)}=A^{\left(\frac72\right)}=A^{(3+}13+1/2)=A^3\surd A\surd A^7=A^{\left(7\times\left(\frac12\right)\right)}=A^{\left(\frac72\right)}=A^{(3+}3+1/2)=A^3\surd A\surd A^7=A^{\left(7\times\left(\frac12\right)\right)}=A^{\left(\frac72\right)}=A^{(3}3+1/2)=A^3\surd A\surd A^7=A^{\left(7\times\left(\frac12\right)\right)}=A^{\left(\frac72\right)}=A^{(}3+1/2)=A^3\surd A\surd A^7=A^{\left(7\times\left(\frac12\right)\right)}=A^{(\frac72}=A^{(}3+1/2)=A^3\surd A\surd A^7=A^{\left(7\times\left(\frac12\right)\right)}=A^{(\frac{7}{\placeholder{}}}=A^{(}3+1/2)=A^3\surd A\surd A^7=A^{\left(7\times\left(\frac12\right)\right)}=A^{(7}=A^{(}3+1/2)=A^3\surd A\surd A^7=A^{\left(7\times\left(\frac12\right)\right)}=A^{(}=A^{(}3+1/2)=A^3\surd A\surd A^7=A^{\left(7\times\left(\frac12\right)\right)}=A^{(}7=A^{(}3+1/2)=A^3\surd A\surd A^7=A^{\left(7\times\left(\frac12\right)\right)}=A^{(}7)=A^{(}3+1/2)=A^3\surd A\surd A^7=A^{\left(7\times\left(\frac12\right)\right)}=A^{(}7/)=A^{(}3+1/2)=A^3\surd A\surd A^7=A^{\left(7\times\left(\frac12\right)\right)}=A^{(}7/2)=A^{(}3+1/2)=A^{3}\surd A\surd A^7=A^{\left(7\times\left(\frac12\right)\right)}7\times(1/2))=A^{(}7/2)=A^{(}3+1/2)=A^{3}\surd A\surd A^7=A^{(7\times\left(\frac12\right)}7\times(1/2))=A^{(}7/2)=A^{(}3+1/2)=A^{3}\surd A\surd A^7=A^{(7\times\left(\frac{1}{\placeholder{}}\right)}7\times(1/2))=A^{(}7/2)=A^{(}3+1/2)=A^{3}\surd A\surd A^7=A^{(7\times\left(1\right)}7\times(1/2))=A^{(}7/2)=A^{(}3+1/2)=A^{3}\surd A\surd A^7=A^{(7\times\left(\right)}7\times(1/2))=A^{(}7/2)=A^{(}3+1/2)=A^{3}\surd A\surd A^7=A^{(7\times}7\times(1/2))=A^{(}7/2)=A^{(}3+1/2)=A^{3}\surd A\surd A^7=A^{(7}7\times(1/2))=A^{(}7/2)=A^{(}3+1/2)=A^{3}\surd A\surd A^7=A^{(7}(1/2))=A^{(}7/2)=A^{(}3+1/2)=A^{3}\surd A\surd A^7=A^{(7}\times(1/2))=A^{(}7/2)=A^{(}3+1/2)=A^{3}\surd A\surd A^7=A^{(7}7\times(1/2))=A^{(}7/2)=A^{(}3+1/2)=A^{3}\surd A\surd A^7=A^{(}7\times(1/2))=A^{(}7/2)=A^{(}3+1/2)=A^{3}\surd A\surd A=A^{(}7\times(1/2))=A^{(}7/2)=A^{(}3+1/2)=A^{3}\surd A\surd A^=A^{(}7\times(1/2))=A^{(}7/2)=A^{(}3+1/2)=A^{3}\surd A.

Wortel van gecombineerde machten

Voorbeeld: \sqrt{16A^4B^6}\sqrt{(16A^4B^6}\sqrt{(16A^4B^6)}\sqrt{\placeholder{}}\surd\surd(16A^4B^6)\surd(16A^4B)\surd(16A^4B6)\surd(16AB6) kan worden gesplitst in\sqrt{16}\times\sqrt{A^4}\times\sqrt{B^6}\sqrt{16}\times\sqrt{A^4}\times\sqrt{B}\sqrt{16}\times\sqrt{A^4}\times\sqrt{\placeholder{}}\sqrt{16}\times\sqrt{A^4}\times\sqrt{16}\times\sqrt{A^4}\times\surd\sqrt{16}\times\sqrt{A^4}\times\surd B\sqrt{16}\times\sqrt{A^4}\times\surd B^{}\sqrt{16}\times\sqrt{A^4}\times\surd B^6\sqrt{16}\times\surd\sqrt{A^4}\times\surd B^6\sqrt{16}\times\surd\sqrt{A^4}A\times\surd B^6\sqrt{16}\times\surd\sqrt{A^4}A^{}\times\surd B^6\sqrt{16}\times\surd\sqrt{A^4}A^4\times\surd B^6\sqrt{16}\times\surd\sqrt{A^4}\surd B^6\sqrt{16}\times\surd\sqrt{A^4}\times\surd B^6\sqrt{16}\times\surd\sqrt{A^4}A^4\times\surd B^6\sqrt{16}\times\surd\sqrt{A}A^4\times\surd B^6\sqrt{16}\times\surd\sqrt{\placeholder{}}A^4\times\surd B^6\sqrt{16}\times\surd A^4\times\surd B^6\sqrt{16}6\times\surd A^4\times\surd B^6\sqrt{16}16\times\surd A^4\times\surd B^6\surd\sqrt{16}16\times\surd A^4\times\surd B^6\surd\sqrt{16}16\times\surd A^4\times\surd B^6\surd\sqrt{\placeholder{}}16\times\surd A^4\times\surd B^6\surd16\times\surd A^4\times\surd B^6\surd16\times\surd A^4\times\surd B^{}\surd16\times\surd A^4\times\surd B^{y}\surd16\times\surd A^4\times\surd B\surd16\times\surd A^4\times\surd B6\surd16\times\surd A\times\surd B6, wat resulteert in 4A^2B^34A^2B4A^2B34AB3. Hier demonstreren we de rekenregel die ons toestaat om de wortel apart te nemen voor elk deel van een product.

Gevorderde concepten

Wortels met gebroken exponenten

Bij het tegenkomen van een uitdrukking zoals A^{\frac32}A^{\frac{3}{\placeholder{}}}A^3A^3A^3?A^3AA\left(\right)A\left((\right)A\left((3\right)A\left((\frac{3}{}\right)A\left((\frac32\right)A\left((\frac{3}{\placeholder{}}\right)A\left((3\right)A\left((\right)A\left((\right)AAA(A(3A(3/A(3/2, kunnen we dit interpreteren als A^{1+\frac12}A^{1+\frac12})A^{1+\frac12}2)A^{1+\frac12}/2)A^{1+\frac12}1/2)A^{1+\frac12}+1/2)A^{1+\frac12}1+1/2)A^{1+\frac12}(1+1/2)A^{1+\frac{1}{\placeholder{}}}(1+1/2)A^{1+1}(1+1/2)A^{1+}(1+1/2)A^1(1+1/2)A^{1+}(1+1/2)A^1(1+1/2)A^1+(1+1/2)A^1(1+1/2), wat overeenkomt met A\sqrt{A}A\sqrt{\placeholder{}}AA\surd. Deze methode stelt ons in staat om machten met gebroken exponenten gemakkelijk af te breken in meer hanteerbare delen.

Herleiding tot AX^N vorm

Het uiteindelijke doel bij deze oefeningen is om wortels en machten te herleiden tot een standaardvorm, AX^{N}AX, waar een coëfficiënt is en X^{n}X een macht van een variabele . Dit maakt complexe uitdrukkingen veel duidelijker en gemakkelijker om mee te werken.