Leerdoelen
•Je kunt uitleggen wat een vlieger is in de wiskunde.
•Je kunt minimaal vier eigenschappen van een vlieger benoemen.
•Je kunt uitleggen wat een symmetrieas is.
•Je kunt verschillende zijden van een vlieger herkennen die even lang zijn.
•Je kunt de diagonalen van een vlieger herkennen en hun eigenschappen benoemen.
•Je kunt een vlieger correct tekenen in een assenstelsel wanneer drie punten gegeven zijn.
Wat is een vlieger?
Zijden die even lang zijn
Bij een vlieger zijn er altijd twee paar aan elkaar grenzende zijden (zijden die naast elkaar liggen) die precies even lang zijn. Kijk maar eens naar de vlieger PQRS:
•De zijden PS en PQ zijn even lang. Dit geven we aan met twee streepjes op elke zijde.
•De zijden RS en RQ zijn ook even lang. Deze zijden krijgen een ander teken (één streepje) om te laten zien dat ze onderling even lang zijn, maar een andere lengte hebben dan PS en PQ.
De diagonalen
Als je vanuit de hoekpunten lijnen trekt naar de tegenoverliggende hoekpunten, dan krijg je de diagonalen. Bij een vlieger zijn deze diagonalen ook heel speciaal:
•De diagonalen staan altijd loodrecht op elkaar. Dat betekent dat ze elkaar snijden onder een hoek van
•Een van de diagonalen is de symmetrieas. Een symmetrieas is een lijn waarlangs je het figuur dubbel kunt vouwen, zodat de twee helften precies op elkaar vallen. De symmetrieas loopt tussen de hoekpunten waar de zijden van gelijke lengte samenkomen. Bij vlieger PQRS is PR de symmetrieas.
•De andere diagonaal (SQ bij PQRS) wordt door de symmetrieas precies doormidden gedeeld. De twee stukjes zijn dus even groot (bijvoorbeeld: als het snijpunt M is, dan is
De ruit
Als beide diagonalen een symmetrieas zijn, is de vlieger een ruit. Een ruit is dus een speciaal soort vlieger. Dus als de diagonaal SQ ook een symmetrieas zou zijn, dan zou het betekenen dat alle vier de zijden van de vlieger even lang zijn.
Een vlieger tekenen in een assenstelsel
Stap 1: Teken het assenstelsel en de gegeven punten
Gegeven zijn de punten A(0,3), B(1,0) en D(1,4).
•Teken een assenstelsel met een x-as en een y-as.
•Plaats de punten:
•A: 0 naar rechts, 3 omhoog.
•B: 1 naar rechts, 0 omhoog.
•D: 1 naar rechts, 4 omhoog.
Stap 2: Bepaal de symmetrieas
Kijk goed naar de punten die je hebt getekend. Zie je een lijn die als spiegel kan dienen?
In dit voorbeeld zie je dat punt B en punt D op dezelfde verticale lijn liggen
Stap 3: Vind het vierde punt (C) door te spiegelen
Nu gebruik je de symmetrieas om het laatste punt te vinden. Als BD de symmetrieas is, dan moet punt A gespiegeld worden om punt C te vinden.
•Punt A(0,3) ligt 1 stapje naar links van de lijn
•Om punt C te vinden, spiegel je A: ga 1 stapje naar rechts vanaf de lijn
•Dus punt C komt op
Stap 4: Verbind de punten
Verbind de punten in de juiste volgorde (A-B-C-D-A) om de vlieger ABCD te vormen.
Nog een voorbeeld
Stel, je krijgt punten P(0,0), Q(3,1) en R(3,3) en de opdracht zegt dat PR de symmetrieas is.
•Teken P(0,0), Q(3,1) en R(3,3) in het assenstelsel.
•Trek een lijn door P(0,0) en R(3,3). Dit is je symmetrieas.
•Gebruik je geodriehoek om de loodrechte afstand van punt Q(3,1) tot de symmetrieas te meten. Zet deze afstand aan de andere kant van de symmetrieas uit om punt S te vinden.
•Spiegel punt Q(3,1) over de symmetrieas PR om punt S te vinden. Dit doe je door met je geodriehoek een loodrechte lijn van Q(3,1) naar de symmetrieas te tekenen en die afstand aan de andere kant uit te zetten.
Uitgewerkt voorbeeld
Gegeven zijn de punten A, B en D.
•Punt A(1,0)
•Punt B(3,1)
•Punt D(0,2)
Teken deze punten in een assenstelsel. Teken vervolgens de vlieger ABCD door punt C te vinden.
We moeten dus eerst bepalen welke diagonaal de symmetrieas is. Laten we kijken naar de zijden die vanuit punt A vertrekken, namelijk AB en AD.
•Kijk hoe je van A(1,0) naar B(3,1) gaat: Je gaat 2 stapjes naar rechts en 1 stapje omhoog.
•Kijk hoe je van A(1,0) naar D(0,2) gaat: Je gaat 1 stapje naar links en 2 stapjes omhoog.
De verplaatsing bestaat in beide gevallen uit 1 stapje in de ene richting en 2 stapjes in de andere. Daarom zijn de afstanden AB en AD precies even lang.
Omdat AB en AD even lang zijn, is de lijn AC inderdaad de symmetrieas van de vlieger.
Nu komt een belangrijke eigenschap van een vlieger: De symmetrieas (AC) staat altijd loodrecht op de andere diagonaal (BD). Loodrecht betekent dat ze elkaar precies onder een hoek van
Hoe vind je nu punt C?
1.Teken eerst het lijnstuk BD.
2.Teken nu een lijn die door punt A(1,0) gaat.
3.Deze lijn moet loodrecht staan op het lijnstuk BD. (Dit kun je doen met een geodriehoek, of door te kijken naar de 'richting' van BD en dan de lijn door A te tekenen die daar haaks op staat).
Punt C kan overal op deze nieuwe, loodrechte lijn liggen! Let op: punt C mag niet samenvallen met punt A. Voor elk punt C dat je kiest op die lijn, vormt ABCD een vlieger, waarbij AC de symmetrieas is en loodrecht staat op BD. In de afbeelding hieronder zie je een voorbeeld van een mogelijke vlieger.
