Leerdoelen
•Je kunt de verdubbelingstijd en de halveringstijd berekenen bij exponentiële formules.
Wat zijn verdubbelingstijd en halveringstijd?
De verdubbelingstijd is de tijd die nodig is om een bepaalde hoeveelheid te laten verdubbelen. Dit betekent dat de hoeveelheid twee keer zo groot wordt. De halveringstijd is het tegenovergestelde: het is de tijd die nodig is om een hoeveelheid te halveren, oftewel twee keer zo klein te maken. Deze concepten zijn vaak van toepassing op situaties met exponentiële groei of afname.
De verdubbelingstijd berekenen
Het begingetal vinden en het verdubbelingsdoel bepalen
Voordat je de verdubbelingstijd kunt berekenen, moet je eerst weten wat het begingetal is. Dit is de hoeveelheid op tijdstip t = 0. In een exponentiële formule staat het begingetal vaak vooraan.
Stel, je hebt een formule zoals: hoeveelheid = 45\times1,09^{t}451,09^{t}. Hierin is 45 het begingetal.
Het verdubbelingsdoel bereken je door het begingetal keer twee te doen. Berekening verdubbelingsdoel: 45\times2=90452=90. Je wilt dus weten wanneer de uitkomst van de formule 90 is.
De methode van inklemmen
Om de verdubbelingstijd te vinden, gebruiken we de methode van inklemmen. Dit betekent dat je verschillende gehele getallen voor 't' (tijd) in de formule invult, totdat je dicht bij het verdubbelingsdoel bent. Het is belangrijk dat de uitkomst (in dit voorbeeld) 90 of meer is, niet bijna 90.
Laten we de formule hoeveelheid = 45\times1,09^{t}451,09^{t} gebruiken en het verdubbelingsdoel van 90:
1.Begin met een willekeurig getal, bijvoorbeeld t = 10. 45\times1,09^{10}=106,545\times1,09^1=106,545\times1,09^10=106,5451,09^10=106,5 (te veel, want dit is meer dan 90)
2.Probeer een lager getal, bijvoorbeeld t = 9. 45\times1,09^9=97,7451,09^9=97,7 (te veel)
3.Probeer nog een lager getal, t = 8. 45\times1,09^8=89,7451,09^8=89,7 (te weinig, want dit is minder dan 90)
We weten nu dat de verdubbelingstijd tussen t = 8 en t = 9 ligt. Voor de conclusie werk je altijd met gehele getallen.
De juiste conclusie trekken
Bij het bepalen van de verdubbelingstijd is het essentieel om minimaal twee opeenvolgende getallen te hebben ingevuld (in dit geval t = 8 en t = 9) en een duidelijke conclusie te formuleren.
•Bij t = 8 is de hoeveelheid 89,7. Dit is nog niet verdubbeld (want 89,7 < 90).
•Bij t = 9 is de hoeveelheid 97,7. Dit is wel verdubbeld (want 97,7 > 90).
De conclusie is: de verdubbelingstijd is 9 tijdseenheden. Zonder deze conclusie is je antwoord niet compleet.
De halveringstijd berekenen
Het begingetal vinden en het halveringsdoel bepalen
Het principe voor het berekenen van de halveringstijd is hetzelfde als voor de verdubbelingstijd, alleen ga je nu halveren.
Gegeven is de formule: h=62\times0{,}95^{t}h=62\times0{,}95^{\placeholder{}}h=62\times0{,}95h=62\times0{,}9h=62\times0{,}h=62\times0h=62\timesh=62h=6h=h.
Het begingetal is 62. Het halveringsdoel bereken je door het begingetal te delen door twee. Berekening halveringsdoel: \frac{62}{2}=31\frac{62}{\placeholder{}}=3162=3162/=31. Je wilt dus weten wanneer de uitkomst van de formule 31 is.
De methode van inklemmen voor halvering
Voor de halveringstijd gebruik je ook de methode van inklemmen. Het verschil is dat je nu zoekt naar een uitkomst die 31 of lager is.
Stel de formule is: hoeveelheid = 62\times0,95^{t}620,95^{t}. Laten we inklemmen om het halveringsdoel van 31 te bereiken:
1.Begin met t = 10. 62\times0,95^{10}=37,1620,95^{10}=37,162*0,95^{10}=37,162*0,95^1=37,1 (te veel, want dit is meer dan 31)
2.Probeer een hoger getal, bijvoorbeeld t = 15. 62\times0,95^{15}=29{,}762\times0,95^{15}=29{,}62\times0,95^{15}=2962\times0,95^{15}=262\times0,95^{15}=62\times0,95^{15}=362\times0,95^{15}=3762\times0,95^{15}=37,62\times0,95^{15}=37,162\times0,95^1=37,1uitkomst (te weinig, wat betekent dat het al onder de 31 is) Nu hebben we t=10 (te veel) en t=15 (te weinig). Dit zijn geen opeenvolgende getallen, dus we moeten getallen ertussenin proberen.
3.Probeer t = 14. uitkomst = 31,2 (te veel)
We hebben nu twee opeenvolgende getallen gevonden: t = 14 (te veel) en t = 15 (te weinig).
De juiste conclusie trekken
Net als bij de verdubbelingstijd moet je bij de halveringstijd een duidelijke conclusie formuleren op basis van de opeenvolgende gehele getallen.
•Bij t = 14 is de hoeveelheid 31,2. Dit is nog niet gehalveerd (want 31,2 > 31).
•Bij t = 15 is de hoeveelheid (minder dan 31). Dit is wel gehalveerd (want de uitkomst is 31 of lager).
De conclusie is: de halveringstijd is 15 tijdseenheden.
Oefenen: verdubbelingstijd vergelijken
Stel je hebt twee voorwerpen waarvan de waarde toeneemt volgens een exponentiële formule.
•Voorwerp 1 heeft een begingetal van 1500. Het verdubbelingsdoel is 1500\times2=3000.15002=3000.
•Voorwerp 2 heeft een begingetal van 1400. Het verdubbelingsdoel is 1400\times2=280014002=2800.
Na het toepassen van de inklem-methode op de formules van beide voorwerpen, komen we tot de volgende resultaten:
•Voorwerp 1 is voor het eerst verdubbeld bij t = 12.
•Voorwerp 2 is voor het eerst verdubbeld bij t = 11.
Conclusie: Het tweede voorwerp is het eerst verdubbeld, namelijk bij t = 11. Voorwerp 1 verdubbelt later, bij t = 12.
