Wat is de standaardformule van een exponentieel verband?
Leerdoelen
•Je kunt vanuit een tabel een exponentiële formule opstellen.
Wat is een exponentiële formule?
Bij een exponentieel verband ga je steeds herhaaldelijk keer doen met hetzelfde getal. Dit is anders dan bij een lineair verband, waarbij je steeds hetzelfde getal optelt of aftrekt. Omdat je herhaaldelijk vermenigvuldigt, kun je dit korter opschrijven met een macht.
De standaardformule voor een exponentieel verband is: H=b\times g^{t}H=bg^{t}H=b*g^{t}H=b*g^{}H=b*g^{T}H=b*^{T}H=b*G^{T}H=*G^{T}
Laten we deze formule eens ontleden:
•H: Dit is de hoeveelheid of de uitkomst. Het kan bijvoorbeeld staan voor het aantal bacteriën, de hoogte van een boom, of de waarde van iets.
•b: Dit is het begingetal. Dit is de hoeveelheid waarmee je begint, dus de hoeveelheid op het moment dat de tijd (T) nul is.
•g: Dit is de groeifactor. De groeifactor is het getal waarmee je steeds vermenigvuldigt. Een factor is altijd een vermenigvuldiging.
•t: Dit staat voor de tijd. Omdat je steeds herhaaldelijk vermenigvuldigt, staat de tijd als macht in de formule.
Zo stel je een exponentiële formule op vanuit een tabel
Het opstellen van een exponentiële formule vanuit een tabel is een kwestie van twee dingen vinden: het begingetal (b) en de groeifactor (g).
Het begingetal vinden
Het begingetal (b) is de hoeveelheid die hoort bij tijd (t) nul. Je begint meestal met tellen bij nul.
In deze tabel zie je dat als de tijd (t) nul is, de hoeveelheid (H) vijf is. Dus, het begingetal (b) is 5.
De groeifactor berekenen
De groeifactor (g) vind je door een hoeveelheid te delen door de vorige hoeveelheid. Dit werkt zo: deel de hoeveelheid bij t = 1 door de hoeveelheid bij t = 0, of de hoeveelheid bij t = 2 door de hoeveelheid bij t = 1, enzovoort.
Bereken de groeifactor:
•\frac{20}{5}=4\frac{20}{5}5=4\frac{20}{\placeholder{}}5=4205=4
•\frac{80}{20}=4\frac{80}{2}=4\frac{80}{\placeholder{}}=480=480/=480/2=4
•\frac{320}{80}=4\frac{320}{8}=4\frac{320}{\placeholder{}}=4320=4320/=4320/8=4
Er wordt steeds keer 4 gedaan. De groeifactor (G) is dus 4.
Rekenvoorbeeld:
1.Begingetal (b): bij t = 0 is H = 75. Dus b = 75.
2.Groeifactor (g): deel 105 door 75: \frac{105}{75}=1,4\frac{105}{7}=1,4\frac{105}{\placeholder{}}=1,4105=1,4105/=1,4105/7=1,4. Je kunt dit controleren door 75\times1,4751,4 te doen, dat is inderdaad 105. Ook 105\times1,4=1471051,4=147. Dus de groeifactor is 1,4.
De formule voltooien
Zodra je het begingetal (b) en de groeifactor (g) hebt gevonden, kun je de formule opstellen. Vul b en g in op de juiste plek in de standaardformule . De letters H en t laat je staan, want dit zijn de variabele onderdelen van de formule die je later kunt invullen.
Voorbeeld 1: Met b = 5 en g = 4, wordt de formule: H=5\times4^{t}H=54^{t}H=5*4^{t}H=5*4^{}
Voorbeeld 2: Met b = 75 en g = 1,4, wordt de formule: H=75\times1,4^{t}H=751,4^{t}H=75*1,4^{t}H=75*1,4^{}
Exponentiële groei en daling
De groeifactor (g) vertelt je niet alleen de vermenigvuldiging, maar ook of de hoeveelheid groeit of daalt:
•Als de groeifactor groter is dan 1 (g > 1), dan is er sprake van exponentiële groei. De hoeveelheid neemt steeds toe. (Bijvoorbeeld g = 4 of g = 1,4).
•Als de groeifactor kleiner is dan 1 (g < 1), dan is er sprake van exponentiële daling (of verval). De hoeveelheid neemt steeds af. Als je vermenigvuldigt met een getal kleiner dan 1 (zoals 0,8 of 0,5), wordt het resultaat kleiner.
Rekenvoorbeeld daling: Stel, je hebt deze tabel:
1.Begingetal (b): Bij t = 0 is H = 820. Dus b = 820.
2.Groeifactor (g): Deel 656 door 820: \frac{656}{820}=0,8\frac{656}{82}=0,8\frac{656}{8}=0,8\frac{656}{\placeholder{}}=0,8656=0,8656/=0,8656/8=0,8656/82=0,8. De groeifactor is 0,8. Omdat 0,8 kleiner is dan 1, is er sprake van exponentiële daling.
3.Formule: H=820\times0,8^{t}H=8200,8^{t}H=820*0,8^{t}H=820*0,8^{}
Exponentieel of lineair?
Niet elk verband dat je in een tabel ziet, is exponentieel. Soms is er sprake van een lineair verband.
•Bij een exponentieel verband wordt er steeds met hetzelfde getal vermenigvuldigd (de groeifactor).
•Bij een lineair verband wordt er steeds hetzelfde getal opgeteld of afgetrokken.
Voorbeeld
Onderzoek in de volgende tabellen of er sprake is van een exponentieel verband. Als dit zo is, geef dan de formule.
Tabel 1
Antwoord Tabel 1: Dit is geen exponentieel verband. Er gaat steeds 8 af (66 - 8 = 58, 58 - 8 = 50). Dit is een lineair verband. De formule zou zijn: .
Tabel 2
Antwoord Tabel 2: Dit is een exponentieel verband.
1.Begingetal (b): Bij a = 0 is K = 1600. Dus b = 1600.
2.Groeifactor (g): Deel 1360 door 1600: \frac{1360}{1600}=0,85.\frac{1360}{160}=0,85.\frac{1360}{16}=0,85.\frac{1360}{1}=0,85.\frac{1360}{\placeholder{}}=0,85.1360=0,85.13601=0,85.136016=0,85.1360160=0,85.13601600=0,85. Controleren: 1360\times0,85=115613600,85=1156. De groeifactor is 0,85.
3.Formule: K=1600\times0,85^{a}K=1600\times0,85^{}K=1600\times0,85^{A}K=16000,85^{A}
Tabel 3
Antwoord Tabel 3: Dit is een exponentieel verband.
1.Groeifactor (g): Deel 40 door 20: \frac{40}{20}=2.\frac{40}{2}=2.\frac{40}{\placeholder{}}=2.40=2.40/=2.40/2=2. Controleren: 40\times2=80402=80. De groeifactor is 2.
2.Begingetal (b): De tabel begint niet bij t = 0, dus we moeten terugrekenen:
1.Bij p = 20 is b = 2.
2.Om naar p = 1 te gaan, delen we 20 door de groeifactor: \frac{20}{2}=10\frac{20}{\placeholder{}}=1020=10202=10. (Bij p = 1 is b = 10).
3.Om naar p = 0 te gaan, delen we 10 door de groeifactor: \frac{10}{2}=5\frac{10}{\placeholder{}}=510=510/=5. (Bij p = 0 is b = 5). Dus het begingetal b is 5.
3.Formule: p=5\times2^{b}p=52^{b}p=5*2^{b}=5*2^{b}B=5*2^{b}B=5*2^{}
