Bereken de lengte van de lichaamsdiagonaal BH in cm.
De afmetingen zijn in cm.
Diagonaalvlakken en lichaamsdiagonalen
Laten we eerst eens kijken naar diagonaalvlakken. Stel ACGE voor als een diagonaalvlak. Het is eigenlijk een rechthoek die direct door de balk loopt. De zijvlakken van een balk zijn ook rechthoeken. Het verschil is dat een diagonaalvlak dwars door de balk loopt en niet aan de buitenkant.
Een leuke vraag om jezelf te stellen zou zijn, hoeveel diagonaalvlakken heeft balk ABCDEFGH? Het antwoord is: er zijn er zes, namelijk; ACGE, BCHE, DCFE, BFHD, DAFG en ABGH.
Nu de lichaamsdiagonalen. Een diagonaal van een diagonaalvlak wordt een lichaamsdiagonaal genoemd. Bijvoorbeeld, in de eerste balk hebben we AG als diagonaal van diagonaalvlak ACGE, dus dat is een lichaamsdiagonaal. Hoeveel lichaamsdiagonalen heeft de balk ABCDEFGH dan? Antwoord: er zijn er 4, namelijk AG, BH, CE en DF.
Berekening van de lengte van lichaamsdiagonalen
Nu komen we bij het spannende deel, hoe bereken je de lengte van bijvoorbeeld de lichaamsdiagonaal BH met behulp van de stelling van Pythagoras?
Allereerst identificeren we in welk diagonaalvlak lichaamsdiagonaal BH ligt. Zeg bijvoorbeeld in ABGH. We weten al dat AB gelijk is aan 8 cm. We hebben BG nodig om BH te berekenen met behulp van de stelling van Pythagoras.
BG bevindt zich in zijvlak BCGF van de balk. We weten dat BC = 5 cm en CG = 4 cm. Hierdoor kunnen we BG berekenen met de stelling van Pythagoras. Hierna vinden we dat BG2 = 41.
Om tenslotte de lichaamsdiagonaal BH te berekenen, gebruiken we opnieuw de stelling van Pythagoras, waarbij BG2 = 41 en GH2 = 64. Dan vinden we dat BH = 105 dus BH =\sqrt{105}, wat ongeveer 10,24 cm is, afgerond tot de dichtstbijzijnde tiende, wordt 10,2 cm.
Een extra voorbeeld
Laten we nog een voorbeeld bekijken. In dit voorbeeld vraag je niet naar een lichaamsdiagonaal, maar naar een andere lijn die dwars door de balk loopt. Als bijvoorbeeld gegeven is dat PH = 4 cm en BQ = 3 cm dan moeten we berekenen PQ in centimeter.
Om PQ te berekenen moeten we PR en QR weten. PR is gelijk aan 2 en PR is gelijk aan BD. BD berekenen we door gebruik te maken van AB2 + AD2 = BD2. Als we dit invullen, krijgen we 92 + 62 = BD2 en dus BD2 = 117.
PQ berekenen we met de formule PR2 + QR2 = PQ2. Als we dit invullen, krijgen we 117 + 4 = 121 en dus PQ =\sqrt{121}= 11 cm.
