Driehoeken onderzoeken

Leerdoelen

•Je kunt onderzoeken of een driehoek rechthoekig is.

De kracht van de stelling van Pythagoras

Een rechthoekige driehoek is een bijzondere soort driehoek waarbij één van de hoeken precies 90 graden is. Dat noemen we een rechte hoek. Deze eigenschap maakt rechthoekige driehoeken heel interessant, want hierdoor kun je de beroemde stelling van Pythagoras gebruiken.

Deze stelling is een geweldig hulpmiddel als je werkt met rechthoekige driehoeken. Je kunt deze stelling ook omgekeerd gebruiken. Hiervoor kun je een werkschema gebruiken, zoals hieronder weergegeven. Als je bewijst dat een driehoek de regels van Pythagoras volgt, dan weet je dat het een rechthoekige driehoek moet zijn.

Voorbeeld 1

Stel, je hebt een driehoek met de zijden 3, 4 en 5.

Bij de toepassing van de stelling van Pythagoras neem je het grootste getal, in dit geval 5, en dit getal behandel je apart, omdat dit de schuine zijde zou zijn in een rechthoekige driehoek. Vervolgens kwadrateer je de andere twee zijden: 3 en 4.

•3^2\,(3\cdot3)=93^2\,(33)=93^2\,(3x3)=93^2(3x3)=93^2(3x3)=93^2(3x3)=93(3x3)=93\&(3x3)=93\&2(3x3)=93\&(3x3)=93(3x3)=93^(3x3)=9

•4^2\,(4\cdot4)=164^2\,(44)=164^2\,(4x4)=164^2(4x4)=164^2(4x4)=164^2(4x4)=164(4x4)=164^(4x4)=16

•5^2\,(5\cdot5)=255^2\,(55)=255^2\,(5x5)=255^2(5x5)=255^2(5x5)=255^2(5x5)=255(5x5)=255\&(5x5)=255(5x5)=255^(5x5)=25

Als je de kwadraten van de kortere zijden bij elkaar optelt, en je komt uit op het kwadraat van de langste zijde, dan voldoet de driehoek aan de stelling van Pythagoras. Dit betekent dat het een rechthoekige driehoek is. In dit geval is9+16=259+16=29+16=9+169+19+900+0, dus dit is een rechthoekige driehoek.

Voorbeeld 2

Beschouw een driehoek met zijden 22, 25, en 34. Hier is 34 de langste zijde, wat betekent dat dit de schuine zijde zou zijn in een rechthoekige driehoek.

•22^2\,\left(22\cdot22\right)=48422^2\,\left(22\cdot2\right)=48422^2\,\left(22\cdot\right)=48422^2\,\left(22\right)=48422^2\,\left(2\right)=48422^2\,\left(\right)=48422^2\,\left(=484\right)22^2\,=48422^2=48422^2=48422^2=48422=48422\&=48422\&2=48422\&=48422=48422^=48422^{}=484

•25^2{}\,\left(25\cdot25\right)=62525^2{}\,\left(25\cdot25=625\right)25^2{}\,\left(25\cdot2=625\right)25^2{}\,\left(25\cdot=625\right)25^2{}\,\left(25=625\right)25^2{}\,\left(2=625\right)25^2{}\,\left(=625\right)25^2{}\,=62525^2{}=62525^2{}=62525^2{}=62525{}=62525\&{}=62525\&2{}=62525\&{}=62525{}=62525^{}=625

•34^2\,\left(34\cdot34\right)=115634^2\,\left(34\cdot34=1156\right)34^2\,\left(34\cdot3=1156\right)34^2\,\left(34\cdot=1156\right)34^2\,\left(34\cdot2=1156\right)34^2\,\left(34\cdot24=1156\right)34^2\,\left(34\cdot2=1156\right)34^2\,\left(34\cdot=1156\right)34^2\,\left(34=1156\right)34^2\,\left(3=1156\right)34^2\,\left(=1156\right)34^2\,\left(2=1156\right)34^2\,\left(=1156\right)34^2\,=115634^2=115634^2=115634^2=115634=115634^=1156

Door 484 en 625 op te tellen, krijg je 1109, wat niet gelijk is aan 1156. Dit betekent dat deze driehoek geen rechthoekige driehoek is.