Omgekeerd evenredig

Leerdoelen

•Je kunt een omgekeerd evenredig verband herkennen in een formule en een tabel.

•Je kunt een grafiek van een omgekeerd evenredig verband tekenen.

Wat is een omgekeerd evenredig verband?

Soms zijn er verbanden waarbij twee dingen precies het tegenovergestelde van elkaar doen. Denk maar eens aan het schilderen van kamers in een groot hotel. Stel, er zijn 200 kamers. Als één werknemer per dag één kamer kan schilderen, dan is deze persoon 200 dagen bezig met de 200 kamers. Wat gebeurt er als je meer werknemers hebt?

Je ziet dat als het aantal werknemers twee keer zo groot wordt, het aantal dagen twee keer zo klein wordt. Dit is precies wat een omgekeerd evenredig verband is.

Je kunt dit uitrekenen met de volgende formule:\text{aantal dagen }=\frac{200}{\text{aantal werknemers}}\text{aantal dagen }=\frac{200}{}\text{aantal dagen }=\frac{200}{}\text{aantal dagen }=\frac{200}{}\text{aantal dagen }=\frac{200}{}\text{aantal dagen }=\frac{200}{}\text{aantal dagen }=\frac{200}{}\text{aantal dagen }=\frac{200}{}\text{aantal dagen }=\frac{200}{}\text{aantal dagen }=\frac{200}{}\text{aantal dagen }=\frac{200}{}\text{aantal dagen }=\frac{200}{}\text{aantal dagen }=\frac{200}{}\text{aantal dagen }=\frac{200}{}\text{aantal dagen }=\frac{200}{}\text{aantal dagen }=\frac{200}{}\text{aantal dagen }=\frac{200}{}\text{aantal dagen }=\frac{200}{}\text{aantal dagen }=\frac{200}{}\text{aantal dagen }=\frac{200}{}\text{aantal dagen }=\frac{200}{}\text{aantal dagen }=\frac{200}{}\text{aantal dagen }=\frac{200}{}\text{aantal dagen }=\frac{200}{}\text{aantal dagen }=\frac{200}{}\text{aantal dagen }=\frac{200}{}\text{aantal dagen }=\frac{200}{}\text{aantal dagen }=\frac{200}{}\text{aantal dagen }=\frac{200}{}\text{aantal dagen }=\frac{200}{}\text{aantal dagen }=\frac{200}{}\text{aantal dagen }=\frac{200}{a} In wiskundige taal schrijven we dit korter op, bijvoorbeeld:D=\frac{200}{w}D=\frac{200}{}D=\frac{200}{W}D=\frac{200}{\placeholder{}}D=200D=200/ Hierin staatvoor het aantal dagen envoor het aantal werknemers.

Een ander kenmerk van een omgekeerd evenredig verband is dat als je de twee waarden die bij elkaar horen met elkaar vermenigvuldigt, je steeds op hetzelfde getal uitkomt.

•1\cdot200=2001\text{ }\cdot200=2001\text{ }\cdot200\text{ }=2001\text{ }\cdot200\text{ d}=2001\text{ }\cdot200\text{ da}=2001\text{ }\cdot200\text{ dag}=2001\text{ }\cdot200\text{ dage}=2001\text{ }\cdot200\text{ dagen}=2001\text{ w}\cdot200\text{ dagen}=2001\text{ we}\cdot200\text{ dagen}=2001\text{ wer}\cdot200\text{ dagen}=2001\text{ werk}\cdot200\text{ dagen}=2001\text{ werknemer}\cdot200\text{ dagen}=200

•2\cdot100=2002\text{ }\cdot100=2002\text{ w}\cdot100=2002\text{ we}\cdot100=2002\text{ wer}\cdot100=2002\text{ werk}\cdot100=2002\text{ werkn}\cdot100=2002\text{ werkne}\cdot100=2002\text{ werknem}\cdot100=2002\text{ werkneme}\cdot100=2002\text{ werknemer}\cdot100=2002\text{ werknemers}\cdot100=2002\text{ werknemers}\cdot100\text{ }=2002\text{ werknemers}\cdot100\text{ d}=2002\text{ werknemers}\cdot100\text{ da}=2002\text{ werknemers}\cdot100\text{ dag}=2002\text{ werknemers}\cdot100\text{ dage}=2002\text{ werknemers}\cdot100\text{ dagen}=200

•10\cdot20=20010\cdot20\text{ }=20010\cdot20\text{ d}=20010\cdot20\text{ da}=20010\cdot20\text{ dag}=20010\cdot20\text{ dage}=20010\cdot20\text{ dagen}=20010\text{ }\cdot20\text{ dagen}=20010\text{ w}\cdot20\text{ dagen}=20010\text{ we}\cdot20\text{ dagen}=20010\text{ wer}\cdot20\text{ dagen}=20010\text{ werk}\cdot20\text{ dagen}=20010\text{ werkn}\cdot20\text{ dagen}=20010\text{ werkne}\cdot20\text{ dagen}=20010\text{ werknem}\cdot20\text{ dagen}=20010\text{ werkneme}\cdot20\text{ dagen}=20010\text{ werknemer}\cdot20\text{ dagen}=20010\text{ werknemers}\cdot20\text{ dagen}=200

Het product van de variabelen is steeds. Dit getal noemen we de constante.

Een omgekeerd evenredig verband herkennen

In een formule

Je herkent een omgekeerd evenredig verband in een formule doordat er gedeeld wordt door een letter, oftewel een variabele. De variabele staat dan meestal in de noemer (onder de deelstreep).

•e=\frac{1200}{l}e=\frac{1200}{\placeholder{}}e=1200e=1200e=1200e=1200e=1200/

•p=\frac{70}{a}p=\frac{70}{\placeholder{}}p=70p=70/

In deze formules zijnende variabelen waar je door deelt. De getallenenzijn de constanten.

In een tabel

Ook in een tabel kun je een omgekeerd evenredig verband herkennen. Je let dan op het volgende:

•Als de ene variabele (bijvoorbeeld) twee keer zo groot wordt, wordt de andere variabele () twee keer zo klein.

•Als de ene variabele () drie keer zo groot wordt, wordt de andere variabele () drie keer zo klein.

Laten we een voorbeeld bekijken:

Kijk naar de: vannaaris keer. De bijbehorendegaan vannaar, wat gedeeld dooris. Vannaaris keer. Degaan vannaar, wat gedeeld dooris, dus dit klopt.

Het product van de variabelen is steeds constant. Dit betekent dat als jeendie bij elkaar horen met elkaar vermenigvuldigt, je steeds op hetzelfde antwoord uitkomt.

•5\cdot30=150530=150

•10\cdot15=1501015=150

•15\cdot10=1501510=150

•20\cdot7{,}5=150207{,}5=15020*7{,}5=15020*75=150

In dit geval is het product. Dit is de constante van het verband. Je kunt hier ook een formule bij maken:x\cdot y=150x\cdot=150x=150

Als je alleenwilt weten, deel je beide kanten door:y=\frac{150}{x}y=\frac{150}{\placeholder{}}y=150y=150/y=150/X=150/X

Dit is een mooie formule voor een omgekeerd evenredig verband.

De grafiek tekenen

Een omgekeerd evenredig verband heeft een kenmerkende grafiek. We gebruiken hiervoor een rekenvoorbeeld uit de video: je moetkilometer rijden. De tijd die je erover doet, hangt af van de snelheid waarmee je rijdt.

De formule hiervoor is:\text{tijd (uur) }=\frac{240}{\text{snelheid (km/u)}}\text{tijd (uur) }=\frac{240}{}\text{tijd (uur) }=\frac{240}{}\text{tijd (uur) }=\frac{240}{}\text{tijd (uur) }=\frac{240}{}\text{tijd (uur) }=\frac{240}{}\text{tijd (uur) }=\frac{240}{}\text{tijd (uur) }=\frac{240}{}\text{tijd (uur) }=\frac{240}{}\text{tijd (uur) }=\frac{240}{}\text{tijd (uur) }=\frac{240}{}\text{tijd (uur) }=\frac{240}{}\text{tijd (uur) }=\frac{240}{}\text{tijd (uur) }=\frac{240}{}\text{tijd (uur) }=\frac{240}{}\text{tijd (uur) }=\frac{240}{\placeholder{}}

Of korter:t=\frac{240}{s}=\frac{240}{s}y=\frac{240}{s}y=\frac{240}{}y=\frac{240}{t}y=\frac{240}{}y=\frac{240}{S}=\frac{240}{S}T=\frac{240}{S}T=\frac{240}{}T=\frac{240}{s}T=\frac{240}{\placeholder{}}T=240T=240/

Om een grafiek te tekenen, maak je eerst een tabel met verschillende snelheden en de bijbehorende tijden.

Als je deze punten in een assenstelsel zet en ze met elkaar verbindt, krijg je een kromme lijn die steeds dichter bij de assen komt, maar ze nooit raakt.

Let op: de assen kun je naar eigen inzicht indelen. Het is niet erg als je grotere stappen neemt, zolang de vorm van de grafiek maar klopt.

Soms wordt er gevraagd om het realistische gedeelte van de grafiek te tekenen. Je gaat bijvoorbeeld niet252km/u rijden over een lange afstand, want dan ben je heel lang onderweg. Enkm/u rijden is op de meeste plekken in Nederland niet toegestaan en gevaarlijk. Dus in de praktijk zal de grafiek vaak tussen bepaalde snelheden liggen.