Vergroten bij inhoud

De vergrotingsfactor toegepast op een balk

Laten we beginnen met een voorbeeld. We hebben een balk - balk I, en we gaan deze vergroten om balk II te maken. We noemen balk II het “beeld” van balk I, omdat het een vergrote versie is. Merk op dat als we de hoogte, breedte en diepte van balk I vergelijken met die van balk II, elk van deze afmetingen in balk II tweemaal zo groot is als in balk I. Dit betekent dat balk I acht keer past in balk II, wat betekent dat de inhoud van balk II acht keer zo groot is als die van balk I. We zeggen dat balk II een vergrotingsfactor van twee heeft ten opzichte van balk I.

Als we deze vergrotingsfactor (die we aanduiden met k) toepassen op de lengte, breedte en hoogte, hebben we een formule voor de totale vergroting van de inhoud: k³ (oftewel k maal k maal k), omdat we k voor elke dimensie toepassen. Dit is de reden waarom de inhoud acht keer zo groot werd – omdat 2³ = 8.

Berekeningen met de vergrotingsfactor

Nu we het hoofdconcept hebben geleerd, kunnen we dit toepassen op een praktische opgave. Stel je voor dat we twee drinkbekers hebben, waarbij beker II een vergrote versie is van beker I.

Beker I heeft een inhoud van 12 centiliter en een hoogte van 10,5 centimeter. Beker II heeft een inhoud van 2,6 liter. Hoe berekenen we de hoogte van beker II?

•Allereerst moeten we zorgen dat we werken met dezelfde eenheden. Omdat de inhoud van beker I in centiliter is gegeven en die van beker II in liter, moeten we de inhoud van beker II omzetten van liter naar centiliter (1 liter is gelijk aan 100 centiliter). Dus beker II heeft een inhoud van 260 centiliter.

•Door de inhoud van de twee bekers te vergelijken, kunnen we bepalen hoeveel groter de inhoud van beker II is geworden - dit is onze vergrotingsfactor van de inhoud in kubieke vorm (oftewel k³). In dit geval is dat 260 gedeeld door 12, dus de vergrotingsfactor van de inhoud is ongeveer21\frac232\frac23\frac23\frac{2}{\placeholder{}}2\large{\frac{2}{3}}\large{\frac{2}{3}}.

•Maar we zijn op zoek naar de hoogte van beker II – een lineaire afmeting – dus hebben we de normale vergrotingsfactor nodig, niet de kubieke. Om van k³ naar k te gaan, nemen we de kubieke wortel van onze vergrotingsfactor. Dat geeft ons een lineair vergrotingsfactor k van ongeveer 2,78781.

•Door deze vergrotingsfactor te vermenigvuldigen met de hoogte van beker I (10,5 cm), krijgen we de hoogte van beker II in centimeters.2,78781\cdot10{,}5=29{,}272,78781\cdot10{,}5=29{,}22,78781\cdot10{,}5=29{,}2,78781\cdot10{,}5=292,78781\cdot10{,}5=22,78781\cdot10{,}5=2,78781\cdot10{,}52,78781\cdot10{,}2,78781\cdot102,78781\cdot12,78781\cdot 2,78781 cm.