Kwadraatafsplitsen

In dit artikel leer je hoe je een kwadratische vergelijking kunt oplossen met behulp van drie methoden: de somproduct methode, de abc-formule, en kwadraat afsplitsen. We zullen deze methoden toepassen op het voorbeeld x^{2} - 6x + 8 = 0 .

De somproduct methode

De somproduct methode begint met het identificeren van twee getallen die opgeteld -6 zijn en vermenigvuldigd 8 zijn. In dit geval zijn dat de getallen -2 en -4. Daarom schrijven we de vergelijking als(x-2)(x-4) = 0. De oplossingen van de vergelijking zijn de waarden van x waarvoor de vergelijking nul wordt, in dit geval zijn dat x = 2 en x = 4.

De abc-formule

Met de abc-formule beginnen we met het berekenen van de discriminant D, die wordt gegeven doorb^{2} - 4ac. In ons voorbeeld is dit(-6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8 , wat resulteert in 4. De oplossingen van de vergelijking worden dan gegeven door\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \large{\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}} . In ons voorbeeld vinden we opnieuw dat de oplossingen x = 2 en x = 4 zijn.

Kwadraatafsplitsen

Bij de methode van kwadraatafsplitsen richten we ons op de termen x^{2} - 6x en we schrijven dit deel van de vergelijking als(x-3)^{2}. Omdat(x-3)^{2}gelijk is aan x^{2} - 6x + 9, moeten we 9 aftrekken om het equivalent te maken aanx^{2} - 6x. Vervolgens lossen we de vergelijking(x-3)^{2} - 9 + 8 = 0 op en vinden we, net als bij de andere methoden, dat de oplossingen x = 2 en x = 4 zijn.

Praktijkvoorbeelden

Om deze methoden te oefenen, laten we ze toepassen op een paar extra voorbeelden.

Voorbeeld 1: 2x^{2} - 8x - 40 = 0

Bij dit voorbeeld gaan we kwadraat afsplitsen. Eerst delen we de hele vergelijking door 2, waardoor we x^{2} - 4x - 20 = 0 krijgen. Door kwadraat afsplitsen schrijven we dit als (x-2)^{2} - 4 - 20 = 0 . De oplossingen voor de vergelijking zijn x= 2 ± \sqrt{24} .

Voorbeeld 2:\frac12x^2-5x+13=0x^2-5x+13=0x^2-5x+13=0x^2-5x+13=0x^2-5x+13=0x^2-5x+13=0x^2-5x+13=0x^2-5x+13=0x^2-5x+13=0x^2-5x+13=0x^2-5x+13=0x^2-5x+13=0x^2-5x+13=0x^2-5x+13=0x^2-5x+13=0x^2-5x+13=0x^2-5x+13=0x^2-5x+13=0x^{2} - 5x + 13 = 0

In dit voorbeeld vermenigvuldigen we de vergelijking eerst met 2, waardoor we x^{2} - 10x + 26 = 0 krijgen. Door kwadraatafsplitsen schrijven we dit als (x-5)^{2} - 25 + 26 = 0 . Omdat we een negatief getal krijgen wanneer we proberen de wortel te vinden, heeft deze vergelijking geen oplossingen.

Voorbeeld 3: 3x^{2} - 5x - 2 = 0

Bij dit voorbeeld delen we de hele vergelijking door 3, waardoor we x^2-\frac53x-\frac23=0x^2-\frac53x-\frac23=0x^2-\frac53x-\frac23=x^2-\frac53x-\frac23x^2-\frac53x-x^2-\frac53x-x^2-\frac53x-x^2-\frac53x-x^2-\frac53x-x^2-\frac53x-x^2-\frac53x-x^2-\frac53x-x^2-\frac53x-x^2-\frac53x-x^2-\frac53x-x^2-\frac53x-x^2-\frac53xx^2-\frac53x^2-x^2-x^2-x^2-x^2-x^2-x^2-x^2-x^2-x^2-x^2-x^2- x^{2} - \large{\frac{5}{3}} x^{2} - \large{\frac{5}{3}} x^2-x^2-x^2-x^2-x^2-x^2-x^2- x^{2} - \large{\frac{5}{3}} krijgen. Door kwadraatafsplitsen schrijven we dit als \left(x-\frac56\right)^2-\frac{25}{36}x-\frac23=0\left(x-\frac56\right)^2-\frac{25}{36}-\frac23=0\left(x-\frac56\right)^2-\left(x-\frac56\right)^2-\left(x-\frac56\right)^2-\left(x-\frac56\right)^2-\left(x-\frac56\right)^2-\left(x-\frac56\right)^2-\left(x-\frac56\right)^2-\left(x-\frac56\right)^2-\left(x-\frac56\right)^2-\left(x-\frac56\right)^2-\left(x-\frac56\right)^2-\left(x-\frac56\right)^2-\left(x-\frac56\right)^2-\left(x-\frac56\right)^2-\left(x-\frac56\right)^2-\left(x-\frac56\right)^2-\left(x-\frac56\right)^2-\left(x-\frac56\right)^2-\left(x-\frac56\right)^2-\left(x-\frac56\right)^2-\left(x-\frac56\right)^2-\left(x-\frac56\right)^2-\left(x-\frac56\right)^2-\left(x-\frac56\right)^2-\left(x-\frac56\right)^2-\left(x-\frac56\right)^2-\left(x-\frac56\right)^2-\left(x-\frac56\right)^2-\left(x-\frac56\right)^2-\left(x-\frac56\right)^2-\left(x-\frac56\right)^2\left(x-\frac56\right)(x-\frac56(x-(x-(x-(x-(x-(x-(x-(x-(x-(x-(x-(x- (x-\large{\frac{5}{6}} . De oplossingen voor de vergelijking zijn x = 2 enx=\frac{-1}{3}x=x=x=x=x=x=x=x=x=x=x=x=x=xx= x = \large{\frac{-1}{3}} .