Hoeken berekenen in ruimtefiguren

Leerdoelen

•Je kunt hoeken berekenen in ruimtefiguren.

Stelling van Pythagoras

Om hoeken in driehoeken te berekenen, is het belangrijk dat je de stelling van Pythagoras goed begrijpt. Deze stelling zegt dat in een rechthoekige driehoek: , waarbij c de schuine zijde is en a en b de rechthoekige zijden.

Tangens

De tangens van een hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding van de lengte van de tegenoverliggende zijde tot de lengte van de aanliggende zijde. De formule is: .

Wanneer je de hoek wilt berekenen, gebruik je de inverse tangens, aangeduid als.

Voorbeeld 1: hoek BCE berekenen

Laten we een voorbeeld bekijken. We hebben een balk en willen de hoek BCE berekenen.

Stap 1: schets de situatie

Teken een rechthoekige driehoek. Noem de punten als volgt:

B: onderaan links

C: onderaan rechts

E: bovenaan

Stap 2: gegevens

De breedte BC is 8.

De hoogte van de balk is 7 en de breedte is 6.

Stap 3: hoogte berekenen

We gebruiken een andere driehoek, ABE, die een hoogte van 7 en een breedte van 6 heeft. Hier gaan we de stelling van Pythagoras gebruiken om schuine zijde BE te berekenen.

.

Stap 4: hoek berekenen

Nu willen we de hoek BCE berekenen. De formule voor tangens is: Dit wordt: Daarom is: \text{hoek BCE }=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{85}}{8}\right)\approx49^{\circ}\text{hoek BCE }=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{85}}{8}\right)\approx49\text{hoek BCE }=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{85}}{8}\right)\approx4\text{hoek BCE }=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{85}}{8}\right)\approx\text{hoek BCE }=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{85}}{8}\right)\text{hoek BCE }=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{85}}{8}\right)\text{hoek BCE }=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{85}}{8}\right)\text{hoek BCE }=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{85}}{8}\right)\text{hoek BCE }=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{85}}{8}\right)\text{hoek BCE }=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{85}}{8}\right.\text{hoek BCE }=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{85}}{8}\right.\text{hoek BCE }=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{85}}{8}\right.\text{hoek BCE }=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{85}}{8}\right.\text{hoek BCE }=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{85}}{8}\right.\text{hoek BCE }=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{85}}{8}\right.\text{hoek BCE }=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{85}}{8}\right.\text{hoek BCE }=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{85}}{8}\right.\text{hoek BCE }=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{85}}{8}\right)\text{hoek BCE }=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{85}}{8}\right)\text{\textbackslash}\text{hoek BCE }=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{85}}{8}\right)\text{\textbackslash a}\text{hoek BCE }=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{85}}{8}\right)\text{\textbackslash ap}\text{hoek BCE }=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{85}}{8}\right)\text{\textbackslash app}\text{hoek BCE }=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{85}}{8}\right)\text{\textbackslash appr}\text{hoek BCE }=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{85}}{8}\right)\text{\textbackslash appro}\text{hoek BCE }=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{85}}{8}\right)\text{\textbackslash appr}\text{hoek BCE }=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{85}}{8}\right)\text{\textbackslash app}\text{hoek BCE }=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{85}}{8}\right)\text{\textbackslash ap}\text{hoek BCE }=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{85}}{8}\right)\text{\textbackslash a}\text{hoek BCE }=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{85}}{8}\right)\text{\textbackslash}\text{hoek BCE }=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{85}}{8}\right)

Eindvraag: hoek AEC berekenen

Nu is het tijd voor een eindvraag. Bereken de hoek AEC.

Gebruik de stelling van Pythagoras en de tangens zoals eerder besproken. Let goed op het gebruik van je rekenmachine, vooral met haakjes bij de inverse tangens.

Eerst berekenen we de lengte van AC:

Dan kunnen we een schets maken:

AC = \sqrt{221}, aan de hand van deze lengte kunnen we de hoek berekenen:

\tan(\text{hoek AEC})=\frac{\text{overstaande zijde (AC)}}{\text{aanliggende zijde (AE)}}\tan(\text{hoek AEC})=\frac{\text{overstaande zijde (A)}}{\text{aanliggende zijde (AE)}}\tan(\text{hoek AEC})=\frac{\text{overstaande zijde ()}}{\text{aanliggende zijde (AE)}}\tan(\text{hoek AEC})=\frac{\text{overstaande zijde (B)}}{\text{aanliggende zijde (AE)}}\tan(\text{hoek AEC})=\frac{\text{overstaande zijde (BE)}}{\text{aanliggende zijde (AE)}}\tan(\text{hoek AEC})=\frac{\text{overstaande zijde (BE)}}{\text{aanliggende zijde (A)}}\tan(\text{hoek AEC})=\frac{\text{overstaande zijde (BE)}}{\text{aanliggende zijde ()}}\tan(\text{hoek AEC})=\frac{\text{overstaande zijde (BE)}}{\text{aanliggende zijde (B)}}\tan(\text{hoek AEC})=\frac{\text{overstaande zijde (BE)}}{\text{aanliggende zijde (BC)}}\tan(\text{hoek AE})=\frac{\text{overstaande zijde (BE)}}{\text{aanliggende zijde (BC)}}\tan(\text{hoek AEc})=\frac{\text{overstaande zijde (BE)}}{\text{aanliggende zijde (BC)}}\tan(\text{hoek AE})=\frac{\text{overstaande zijde (BE)}}{\text{aanliggende zijde (BC)}}\tan(\text{hoek A})=\frac{\text{overstaande zijde (BE)}}{\text{aanliggende zijde (BC)}}\tan(\text{hoek })=\frac{\text{overstaande zijde (BE)}}{\text{aanliggende zijde (BC)}}\tan(\text{hoek B})=\frac{\text{overstaande zijde (BE)}}{\text{aanliggende zijde (BC)}}\tan(\text{hoek BC})=\frac{\text{overstaande zijde (BE)}}{\text{aanliggende zijde (BC)}}

\tan(\text{hoek AEC})=\frac{\sqrt{221}}{9}\tan(\text{hoek AEC})=\frac{\sqrt{221}}{}\tan(\text{hoek AEC})=\frac{\sqrt{221}}{8}\tan(\text{hoek AEC})=\frac{\sqrt{22}}{8}\tan(\text{hoek AEC})=\frac{\sqrt2}{8}\tan(\text{hoek AEC})=\frac{\sqrt{}}{8}\tan(\text{hoek AEC})=\frac{\sqrt8}{8}\tan(\text{hoek AEC})=\frac{\sqrt{85}}{8}\tan(\text{hoek AE})=\frac{\sqrt{85}}{8}\tan(\text{hoek A})=\frac{\sqrt{85}}{8}\tan(\text{hoek })=\frac{\sqrt{85}}{8}\tan(\text{hoek B})=\frac{\sqrt{85}}{8}\tan(\text{hoek BC})=\frac{\sqrt{85}}{8}

\text{hoek AEC }=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{221}}{9}\right)\approx59^{\circ}\text{hoek AEC }=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{221}}{9}\right)\approx9^{\circ}\text{hoek AEC }=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{221}}{9}\right)\approx49^{\circ}\text{hoek AEC }=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{221}}{98}\right)\approx49^{\circ}\text{hoek AEC }=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{221}}{9}\right)\approx49^{\circ}\text{hoek AEC }=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{221}}{}\right)\approx49^{\circ}\text{hoek AEC }=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{221}}{8}\right)\approx49^{\circ}\text{hoek AEC }=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{22}}{8}\right)\approx49^{\circ}\text{hoek AEC }=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt2}{8}\right)\approx49^{\circ}\text{hoek AEC }=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{}}{8}\right)\approx49^{\circ}\text{hoek AEC }=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt8}{8}\right)\approx49^{\circ}\text{hoek AEC }=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{85}}{8}\right)\approx49^{\circ}\text{hoek AE }=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{85}}{8}\right)\approx49^{\circ}\text{hoek A }=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{85}}{8}\right)\approx49^{\circ}\text{hoek }=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{85}}{8}\right)\approx49^{\circ}\text{hoek B }=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{85}}{8}\right)\approx49^{\circ}\text{hoek BC }=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{85}}{8}\right)\approx49^{\circ}