Leerdoelen
•Je kunt informatie aflezen en berekenen uit de formule van een sinusoïde van de vormy=a+b\sin(c\left(x-d\right))y=a+b\sin(c\left(x-d\right))y=a+b\sin(cx-d)y=a+b\sin(c\cdot x-d).
•Je kunt eigenschappen van sinusoïden toepassen om vraagstukken op te lossen.
•Je kunt de evenwichtsstand, amplitude, periode en faseverschuiving van een sinusoïde bepalen.
•Je kunt de coördinaten van maxima, minima en de punten waar de grafiek stijgend door de evenwichtsstand gaat, berekenen.
•Je kunt praktische problemen met sinusoïden oplossen, inclusief het interpreteren van de resultaten en het gebruik van de grafische rekenmachine.
•Je kunt de maximale stijgsnelheid van een sinusoïde bepalen en de eenheden correct interpreteren.
De basisformule van een sinusoïde en zijn eigenschappen
De algemene formule die we gebruiken om een sinusoïde te beschrijven, isy=a+b\sin(c\left(x-d\right)).
De evenwichtsstand\left(a\right)
De letterin de formule staat voor de evenwichtsstand. Dit is een denkbeeldige horizontale lijn, precies in het midden van de sinusoïde. De grafiek schommelt symmetrisch om deze lijn heen. Het is alsof de golf vanuit deze stand omhoog en omlaag beweegt.
De amplitude\left(b\right)
De letterstaat voor de amplitude. Dit is de maximale afstand van de evenwichtsstand tot het hoogste punt (het maximum) of het laagste punt (het minimum) van de golf. Hoe groter de amplitude, hoe 'hoger' de golf is.
Met de evenwichtsstand\left(a\right)en de amplitude\left(b\right)kunnen we eenvoudig de maximale en minimale y-waarden van de sinusoïde berekenen:
•
•
De periode\frac{2\pi}{c}\frac{2}{c}\frac{2}{c}\frac{2}{c}\frac{2}{c}\frac{2}{c}c\frac{2}{\placeholder{}}c2c
De periode van een sinusoïde is de lengte van één complete golfcyclus. Het is de afstand (op de x-as) die nodig is voordat de grafiek zich precies herhaalt. Je kunt de periode meten van bijvoorbeeld:
•Maximum tot maximum.
•Minimum tot minimum.
•Stijgend door de evenwichtsstand naar opnieuw stijgend door de evenwichtsstand.
•Dalend door de evenwichtsstand naar opnieuw dalend door de evenwichtsstand.
De periode bereken je met behulp van de letteruit de formule:\text{periode }=\frac{2\pi}{c}\text{periode}=\frac{2\pi}{c}\text{eperiode}=\frac{2\pi}{c}\text{epriode}=\frac{2\pi}{c}\text{eriode}=\frac{2\pi}{c}p\text{eriode}=\frac{2\pi}{c}\text{eriode}=\frac{2\pi}{c}.
De faseverschuiving\left(d\right)
De lettergeeft de faseverschuiving aan. Dit is de x-coördinaat waarop de grafiek voor het eerst stijgend door de evenwichtsstand gaat. Het is belangrijk te beseffen dat er oneindig veel van dergelijke punten zijn waar de grafiek stijgend door de evenwichtsstand gaat, maarwordt vaak gekozen als de eerste x-waarde (dichtbij).
Het beginpunt van een 'standaard' sinusgolf is altijd daar waar deze stijgend door de evenwichtsstand gaat. De coördinaten van dit punt zijn dan.
x-coördinaten van maxima en minima
We kunnen de periode opdelen in vier gelijke stukken om de x-coördinaten van de maxima en minima te vinden, uitgaande van de(het punt waar de grafiek stijgend door de evenwichtsstand gaat).
•Het maximum ligtperiode na de. x_{max}=d+\frac{1}{4}\cdot\text{ periode}x_{max}=d+\frac{1}{4}\cdot\text{ periode}
•Het minimum ligtperiode na de(ofperiode vóór de volgende). (ofx_{min}=d-\frac14\cdot\text{ periode}x_{min}=d-\frac{13}{4}\cdot\text{ periode}x_{min}=d-\frac{3}{4}\cdot\text{ periode}x_{min}=d\frac{3}{4}\cdot\text{ periode}x_{min}=d+\frac{3}{4}\cdot\text{ periode})
Praktische toepassing
Laten we deze kennis toepassen op een voorbeeld uit de praktijk: de waterhoogte bij een kustplaats. De waterhoogte wordt beïnvloed door eb en vloed. Bij vloed is de waterhoogte maximaal, en bij eb is deze minimaal.
De waterhoogtekan worden gemodelleerd met de formule: h\left(t\right)=2{,}5\cdot\sin(\frac16\pi\left(t-1\right))+5h\left(t\right)=2{,}5\cdot\sin(\frac16\pi\left(t-1\right))+5=h\left(t\right)=2{,}5\cdot\sin(\frac16\pi\left(t-1\right))+5=5h\left(t\right)=2{,}5\cdot\sin(\frac16\pi\left(t-1\right))+5=5+h\left(t\right)=2{,}5\cdot\sin(\frac16\pi\left(t-1\right))+5=5+2h\left(t\right)=2{,}5\cdot\sin(\frac16\pi\left(t-1\right))+5=5+2{,}h\left(t\right)=2{,}5\cdot\sin(\frac16\pi\left(t-1\right))+5=5+2{,}5h\left(t\right)=2{,}5\cdot\sin(\frac16\pi\left(t-1\right))+5=5+2{,}5\cdoth\left(t\right)=2{,}5\cdot\sin(\frac16\pi\left(t-1\right))+5=5+2{,}5\cdot\sinh\left(t\right)=2{,}5\cdot\sin(\frac16\pi\left(t-1\right))+5=5+2{,}5\cdot\sin(\frac16\pi\left(t-1\right))h\left(t\right)=2{,}5\cdot\sin(\frac16\pi\left(-1\right))+5=5+2{,}5\cdot\sin(\frac16\pi\left(t-1\right))h\left(t\right)=2{,}5\cdot\sin(\frac16\pi\left(x-1\right))+5=5+2{,}5\cdot\sin(\frac16\pi\left(t-1\right))h\left(t\right)=2{,}5\cdot\sin(\frac16\pi\left(x-1\right))+5=5+2{,}5\cdot\sin(\frac16\pi\left(tx-1\right))h\left(t\right)=2{,}5\cdot\sin(\frac16\pi\left(x-1\right))+5=5+2{,}5\cdot\sin(\frac16\pi\left(x-1\right))h\left(t\right)=2{,}5\cdot\sin(\frac16\pi\left(x-1\right))+5=5+=2{,}5\cdot\sin(\frac16\pi\left(x-1\right))h\left(t\right)=2{,}5\cdot\sin(\frac16\pi\left(x-1\right))+5=5+h\left(t\right)=2{,}5\cdot\sin(\frac16\pi\left(x-1\right))+5=5h\left(t\right)=2{,}5\cdot\sin(\frac16\pi\left(x-1\right))+5=h\left(t\right)=2{,}5\cdot\sin(\frac16\pi\left(x-1\right))+5h\left(t\right)2{,}5\cdot\sin(\frac16\pi\left(x-1\right))+5h\left(t2{,}5\cdot\sin(\frac16\pi\left(x-1\right))+5\right)h\left(2{,}5\cdot\sin(\frac16\pi\left(x-1\right))+5\right)h2{,}5\cdot\sin(\frac16\pi\left(x-1\right))+5y_1=2{,}5\cdot\sin(\frac16\pi\left(x-1\right))+5h(t)=2{,}5\cdot\sin(\frac{1}{6}\pi\cdot t-1)+5h(t)=25\cdot\sin(\frac{1}{6}\pi\cdot t-1)+5.
Hierbij isde waterhoogte in meters ende tijd in uren na middernacht, metvantot en met. Opis het dus 00:00 uur.
De formule kan ook worden geschreven alsh\left(t\right)=5+2{,}5\cdot\sin(\frac16\pi\left(t-1\right))h\left(t\right)=5+2{,}5\cdot\sin(\frac16\pi\left(t-1\right))+h\left(t\right)=5+2{,}5\cdot\sin(\frac16\pi\left(t-1\right))+5h\left(t\right)=52{,}5\cdot\sin(\frac16\pi\left(t-1\right))+5h\left(t\right)=2{,}5\cdot\sin(\frac16\pi\left(t-1\right))+5. Deze tweede vorm maakt het makkelijker om de evenwichtsstandte herkennen.
Allereerst identificeren we de waarden van,,enin deze formule. Let op: destaat soms achteraan.
•Amplitude\left(b\right):b=2{,}5bB=2{,}5B=2{,}5B=25
•:
•:
•Evenwichtsstand\left(a\right):(want deze staat los van de sinusterm)
Vraag 1: Hoe lang duurt het van eb tot vloed?
Van eb (minimaal water) tot vloed (maximaal water) is precies een halve periode. Om dit te berekenen, moeten we eerst de volledige periode bepalen.
•\text{Periode }=\frac{2\pi}{c}=\frac{2\pi}{\frac{1}{6}\pi}\text{Periode }=\frac{2\pi}{cC}=\frac{2\pi}{\frac{1}{6}\pi}
•We kunnenboven en onder de deelstreep wegstrepen:
•uur (delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde).
De volledige periode is dus 12 uur. Van eb tot vloed duurt de helft van deze periode:
•.
Het duurt 6 uur van eb tot vloed.
Vraag 2: Bereken de hoogte van het water als het vloed is.
Als het vloed is, bereiken we de maximale waterhoogte ().
•h_{max}=a+b=5+2{,}5=7{,}5h_{max}=a+b=5+2{,}5=75h_{max}=a+b=5+2{,}5=7,5h_{max}=a+b=5+25=7,5meter.
De waterhoogte bij vloed is 7,5 meter.
Vraag 3: Bereken het eerste tijdstip nawaarop het vloed is.
Vloed correspondeert met het maximum. We zoeken dus de x-coördinaat van het maximum, wat in dit geval de t-coördinaat is (). We weten dat.
•
•uur.
Het is voor het eerst vloed om 04:00 uur 's nachts.
Vraag 4: Als de waterhoogte 3 meter is, dan is er sprake van laag water. Bereken de tijdstippen waarop er sprake is van laag water en geef je antwoord in minuten nauwkeurig.
We moeten nu de vergelijkingoplossen, dus: 2{,}5\cdot\sin(\frac16\pi\left(t-1\right))+5=32{,}5\cdot\sin(\frac16\pi\left(-1\right))+5=32{,}5\cdot\sin(\frac16\pi\left(x-1\right))+5=3y2{,}5\cdot\sin(\frac16\pi\left(x-1\right))+5=3y_{}2{,}5\cdot\sin(\frac16\pi\left(x-1\right))+5=3y_12{,}5\cdot\sin(\frac16\pi\left(x-1\right))+5=3y_1=2{,}5\cdot\sin(\frac16\pi\left(x-1\right))+5=3=32{,}5\cdot\sin(\frac{1}{6}\pi\cdot t-1)+5=325\cdot\sin(\frac{1}{6}\pi\cdot t-1)+5=3
Dit soort vergelijkingen lossen we op met behulp van de grafische rekenmachine (GR).
1.Voer de formule van de waterhoogte in alsop je GR: y_1=2{,}5\cdot\sin(\frac16\pi\left(x-1\right))+5y_1=2{,}5\cdot\sin(\frac16\pi\left(-1\right))+5y_1=2{,}5\cdot\sin(\frac16\pi\left(t-1\right))+5y_1=2{,}5\cdot\sin(\frac16\pi\left(t-1\right))+5y_1=2{,}5\cdot\sin(\frac16\pi\left(-1\right))+5y_1=2{,}5\cdot\sin(\frac16\pi\left(x-1\right))+5y_1=2{,}5\cdot\sin(\frac16\pi\left(x-1\right))+y_1=2{,}5\cdot\sin(\frac16\pi\left(x-1\right))y_1=2{,}5\cdot\sin(\frac16\pi\left(x-1\right).y_1=2{,}5\cdot\sin(\frac16\pi\left(x-1\right)+.y_1=2{,}5\cdot\sin(\frac16\pi\left(x-1\right)+5.y_1=2{,}5\cdot\sin(\frac16\pi\left(x-1\right)+5)y_1=2{,}5\cdot\sin(\frac16\pi\left(x-1\right)+5y_1=2{,}5\cdot\sin(\frac16\pi x-1)+5y_1=2{,}5\cdot\sin(\frac16\pi\cdot x-1)+5y_1=2{,}5\cdot\sin(\frac16\cdot\pi\cdot x-1)+5y_1=2{,}5\cdot\sin((\frac16\cdot\pi\cdot x-1)+5y_1=2{,}5\cdot\sin((\frac16)\cdot\pi\cdot x-1)+5y_1=2{,}5\cdot\sin((\frac16)\cdot\pi\cdot-1)+5y_1=2{,}5\cdot\sin((\frac16)\cdot\pi-1)+5y_1=2{,}5\cdot\sin((\frac16)\cdot-1)+5y_1=2{,}5\cdot\sin((\frac16)\cdot-1)+5y_1=2{,}5\cdot\sin((\frac16)\cdot-1)+5y_1=2{,}5\cdot\sin((\frac16)\cdot-1)+5y_1=2{,}5\cdot\sin((\frac16)-1)+5y_1=2{,}5\cdot\sin((\frac16)*-1)+5y_1=2{,}5\cdot\sin((\frac16)*p-1)+5y_1=2{,}5\cdot\sin((\frac16)*pi-1)+5y_1=2{,}5\cdot\sin((\frac16)*pi*-1)+5y_1=2{,}5\cdot\sin((\frac16)*pi*X-1)+5y_1=2{,}5\cdot\sin((\frac{1}{\placeholder{}})*pi*X-1)+5y_1=2{,}5\cdot\sin((1)*pi*X-1)+5y_1=2{,}5\cdot\sin((1/)*pi*X-1)+5y_1=2{,}5\cdot\sin((1/6)*pi*X-1)+5y_1=2{,}5\cdot si((1/6)*pi*X-1)+5y_1=2{,}5\cdot s((1/6)*pi*X-1)+5y_1=2{,}5\cdot((1/6)*pi*X-1)+5y_1=2{,}5((1/6)*pi*X-1)+5y_1=2{,}5*((1/6)*pi*X-1)+5y_1=2{,}5*s((1/6)*pi*X-1)+5y_1=2{,}5*si((1/6)*pi*X-1)+5y_1=2{,}5*sin((1/6)*pi*X-1)+5y_1=25*sin((1/6)*pi*X-1)+5y_1=2.5*sin((1/6)*pi*X-1)+5y=2.5*sin((1/6)*pi*X-1)+5=2.5*sin((1/6)*pi*X-1)+5Y=2.5*sin((1/6)*pi*X-1)+5(gebruikvoor)
2.Voer de waardein als:
3.Stel het window in. De vraag geeft aan datloopt vantot en met.
•
•
•en kun je ruim inschatten (vany_{min}=2y_{min}=2{,}y_{min}=2{,}5y_{min}=25toty_{max}=8y_{max}=y_{max}=7y_{max}=7{,}y_{max}=7{,}5y_{max}=75), of gebruik zoomfit (optieonder zoom).
4.Gebruik de calc-functie (meestal 2nd + trace) en kies de intersect-functie. Selecteer de eerste en tweede grafiek en geef een schatting van het snijpunt door in de buurt van het snijpunt te gaan staan en driemaal op enter te drukken.
De GR zal de volgende snijpunten geven (ongeveer):
•x=8{,}771\ldotsx8{,}771\ldotsx\approx8{,}771\ldotsx\approx8{,}771..x\approx8{,}771.x\approx8{,}771x\approx8{,}77x\approx877
•x=11{,}228\ldotsx11{,}228\ldotsx\approx11{,}228\ldotsx\approx11{,}228..x\approx11{,}228.x\approx11{,}228x\approx11{,}22x\approx11{,}2x\approx11{,}23x\approx11{,}2x\approx11{,}22x\approx1122
•x=20{,}771\ldotsx20{,}771\ldotsx\approx20{,}771\ldotsx\approx20{,}771..x\approx20{,}771.x\approx20{,}771x\approx20{,}77x\approx2077
•x=23{,}228\ldotsx23{,}228\ldotsx\approx23{,}228\ldotsx\approx23{,}228..x\approx23{,}228.x\approx23{,}228x\approx23{,}22x\approx23{,}2x\approx23{,}23x\approx23{,}2x\approx23{,}23x\approx23{,}23\ldotsx\approx23{,}23..x\approx23{,}23.x\approx23{,}23x\approx23{,}2x\approx23{,}22x\approx2322
Nu moeten we deze decimale uren omzetten naar uren en minuten. We trekken het hele uur eraf en vermenigvuldigen het decimale deel met 60 om het aantal minuten te krijgen.
•x=8{,}771\ldotsx=8{,}771..x=8{,}771.x=8{,}771x=8{,}77x8{,}77x\approx8{,}77x\approx877uur:
•8 hele uren.
•0{,}771\ldots\cdot60\approx46{,}20{,}771..\cdot60\approx46{,}20{,}771.\cdot60\approx46{,}20{,}771\cdot60\approx46{,}20{,}771.\cdot60\approx46{,}20{,}771..\cdot60\approx46{,}20{,}771...\cdot60\approx46{,}20{,}77...\cdot60\approx46{,}20{,}77...\cdot60\approx4620{,}77...\cdot60\approx46,2077...\cdot60\approx46,2minuten. Afgerond op hele minuten: 46 minuten.
•Tijdstip: 08:46 uur.
•x\approx11{,}23x\approx11{,}2x\approx11{,}22x\approx1122uur:
•11 hele uren.
•0{,}23...\cdot60\approx13{,}70{,}23...\cdot60\approx13{,}0{,}23...\cdot60\approx13{,}80{,}23...\cdot60\approx13{,}0{,}23...\cdot60\approx13{,}40{,}2...\cdot60\approx13{,}40{,}22...\cdot60\approx13{,}40{,}22...\cdot60\approx1340{,}22...\cdot60\approx13,4022...\cdot60\approx13,40\22...\cdot60\approx13,4022...\cdot60\approx13,4022...\cdot60\approx13,4minuten. Afgerond op hele minuten: 14 minuten.
•Tijdstip: 11:14 uur.
•x\approx20{,}77x\approx2077uur:
•20 hele uren.
•0{,}77...\cdot60\approx46{,}20{,}77...\cdot60\approx4620{,}77...\cdot60\approx46,2077...\cdot60\approx46,2minuten. Afgerond op hele minuten: 46 minuten.
•Tijdstip: 20:46 uur.
•x\approx23{,}23x\approx23{,}2x\approx23{,}22x\approx2322x\approx23,22uur:
•23 hele uren.
•0{,}23...\cdot60\approx13{,}70{,}23...\cdot60\approx13{,}0{,}23...\cdot60\approx13{,}80{,}23...\cdot60\approx13{,}0{,}23...\cdot60\approx13{,}40{,}2...\cdot60\approx13{,}40{,}22...\cdot60\approx13{,}40{,}22...\cdot60\approx1340{,}22...\cdot60\approx13,4022...\cdot60\approx13,4minuten. Afgerond op hele minuten: 14 minuten.
•Tijdstip: 23:14 uur.
Vraag 5: Wat is de maximale snelheid waarmee de waterhoogte stijgt in één etmaal? Rond af op één decimaal.
De snelheid waarmee de waterhoogte stijgt, is de afgeleide van de waterhoogtefunctie\left(\frac{\text{d}h}{\text{d}t}\right)\left(\frac{\text{d}h}{t}\right)\left(\frac{\text{d}h}{dt}\right)\left(\frac{h}{dt}\right)\left(\frac{h}{dt}\right)\left(\frac{h}{dt}\right)\left(\frac{h}{dt}\right)\left(\frac{h}{dt}\right)\left(\frac{h}{dt}\right)\left(\frac{h}{dt}\right)\left(\frac{h}{dt}\right)\left(\frac{h}{dt}\right)\left(\frac{dh}{dt}\right). De maximale stijgsnelheid van een sinusoïde treedt op wanneer de grafiek het steilst is en stijgt. Dit is precies op de punten waar de grafiek stijgend door de evenwichtsstand gaat, dus bijen elke periode daarna (, enzovoorts). In ons geval is de eerste keer bij.
We gebruiken de GR om de afgeleide op dit punt te bepalen:
1.Zorg dat de formule van de waterhoogte nog steeds instaat.
2.Ga naar calc en kies\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\frac{\text{d}y}{\text{d}tx}\frac{\text{d}y}{\text{d}t}\frac{\text{d}y}{\text{d}tc}\frac{\text{d}y}{\text{d}t}\frac{\text{d}hy}{\text{d}t}\frac{\text{d}h}{\text{d}t}\left(\frac{\text{d}h}{\text{d}t}\right.\left(\frac{\text{d}h}{\text{d}t}\right)(optie 6).
3.Voer de x-waarde in waar je de helling wilt weten:.
4.De GR toont de waarde van\frac{\text{d}y}{\text{d}x}.
De GR geeft dan\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\approx1{,}30899\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\approx130899\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\approx1,30899. Afgerond op één decimaal is dit1{,}313.
Nu de eenheid: de waterhoogteis in meters en de tijdis in uren. De snelheid, de afgeleide van hoogte naar tijd, is dus in meter per uur (m/uur).
De maximale snelheid waarmee de waterhoogte stijgt, is 1,3 meter per uur.
