Los onderstaande vergelijking algebraïsch op.
\frac{1}{16}x^3-19=13\frac{1}{16}x^3-19=1\frac{1}{16}x^3-19=\frac{1}{16}x^3-19\frac{1}{16}x^3-1\frac{1}{16}x^3-\frac{1}{16}x^3\frac{1}{16}x\frac{1}{16}
Leerdoelen
•Je kunt uitleggen wat hogeremachtswortels zijn.
•Je kunt uitleggen wat hogeregraadsvergelijkingen zijn.
•Je kunt hogeregraadsvergelijkingen oplossen met hogeremachtswortels.
Wat zijn hogeremachtswortels?
Een machtswortel is een getal dat, wanneer het een bepaald aantal keren met zichzelf wordt vermenigvuldigd, een gegeven getal oplevert. De meest bekende machtswortel is de tweede machtswortel, vaak simpelweg de wortel genoemd. Bijvoorbeeld, de wortel vanisomdatkeergelijk is aanDeze wortel wordt ook wel de tweede machtswortel genoemd, hoewel demeestal niet wordt geschreven.
Oplossen van vergelijkingen met machtswortels
Wanneer je een vergelijking zoalsx^2=9x=9x^=9wilt oplossen, zoek je naar de punten waar de grafiek van de functiey=x^2y=xy=x^de lijnsnijdt. Dit levert twee oplossingen op:x=3\vee x=-3.x=3\vee x=-3x=3\vee x=-x=3\vee x=x=3\vee xx=3\veex=3x=3x=3x=3Dit komt omdat de exponenteven is, wat betekent dat er zowel een positieve als een negatieve oplossing is.
Derde machtswortel
De derde machtswortel van een getal is het getal dat, wanneer het drie keer met zichzelf wordt vermenigvuldigd, het oorspronkelijke getal oplevert. Bijvoorbeeld, de derde machtswortel vanisomdatkeerkeergelijk is aanBij een vergelijking zoalsx^3=8{,}x^3=8x=8x{3}=8is er slechts één oplossing, namelijkomdat de exponentoneven is.
Voorbeelden van hogeregraadsvergelijkingen:
Opdracht 1: Oplossen van3x^5+18=63x+18=63x^+18=6
Begin met de vergelijking:3x^5+18=6.3x^5+18=63x+18=63x^+18=6
Verwijder de constante term doorvan beide zijden af te trekken:3x^5=-12.3x^5=-123x^{}=-123x^{^{}}=-123x^{^5}=-123x^{}=-12
Deel beide zijden dooromx^5xx^x⁵te isoleren:x^5=-4.x^{}=-4.x^{^{}}=-4.x^{^5}=-4.x^{^5}=-4x^{}=-4
Neem de vijfde machtswortel vanOmdat de exponentoneven is, is er een oplossing: x\thickapprox-1,32.x\thickapprox-1,32x\thickapprox-1,32{,}
Opdracht 2: Oplossen van\frac18(2x-1)^{^4}+9=41\frac18(2x-1)^{}+9=41\frac18(2x-1)^{4}+9=41\frac{1}{\placeholder{}}(2x-1)^{4}+9=411(2x-1)^{4}+9=41(2x-1)^{4}+9=411(2x-1)^{4}+9=411/(2x-1)^{4}+9=41
Begin met de vergelijking:\frac18(2x-1)^4+9=41.\frac18(2x-1)^4+9=41\frac18(2x-1)^4+9=\frac{41}{\placeholder{}}\frac18(2x-1)^{4}+9=41\frac{1}{\placeholder{}}(2x-1)^{4}+9=411(2x-1)^{4}+9=41
Verwijder de constante term doorvan beide zijden af te trekken:\frac18(2x-1)^4=32.\frac18(2x-1)^{4}=32\frac{1}{\placeholder{}}(2x-1)^{4}=321(2x-1)^{4}=32(2x-1)^{4}=321(2x-1)^{4}=321/(2x-1)^{4}=32
Vermenigvuldig beide zijden metom de breuk te verwijderen:(2x-1)^4=256.(2x-1)^4=256(2x-1)=256(2x-1)^=256
Neem de vierde machtswortel vanOmdat de exponenteven is, zijn er twee oplossingen:en2x-1=-4.
Los de lineaire vergelijkingen op:x=2,5\vee x=-1{,}5.x=2,5\vee x=-1{,}5x=2,5\vee x=-1{,}x=2,5\vee x=-1x=2,5\vee x=-x=2,5\vee x=x=2,5\vee xx=2,5\veex=2,5x=2,5x=2,5x=2,5
