Afgeleide van f(x)=\sqrt{x}
Laten we beginnen met de functief(x)=\sqrt{x}.Op het eerste gezicht lijkt deze functie niet van de vorm ax^{n},maar we kunnen\sqrt{x}herschrijven alsx^{\frac12}.
Stappen voor differentiatie:
•Herschrijven:f(x)=x^{\frac12}
•Differentiëren:f^{\prime}\left(x\right)=\left(\frac12\right)\cdot x^{\left(\right.\frac12-1)}=\frac12x^{-\frac12}
•Omzetten naar breuken: dit wordtf^{\prime}(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
Hieruit volgt dat de afgeleide van\sqrt{x}gelijk is aan\frac{1}{2\sqrt{x}}
Voorbeeld 1:f(x)=4x^3\cdot\sqrt{x}
Voor deze functie passen we dezelfde technieken toe.
Stappen voor differentiatie:
•Herschrijven:f(x)=4x^3\cdot x^{\frac12}=4x^{\left(^{}3+\frac12\right)}=4x^{3\frac12}
•Differentiëren:f^{\prime}(x)=4\cdot3\frac12x^{3\frac12-1}=14x^{2\frac12}
•Herschrijven van de exponent:f^{\prime}(x)=14x^2\cdot\sqrt{x}
Hieruit volgt dat de afgeleide van4x^3\cdot\sqrt{x}gelijk is aan14x^2\cdot\sqrt{x}
Voorbeeld 2:g(x)=2x^5\cdot\sqrt[5]{x}
In dit voorbeeld moeten we de functie ook weer naar de juiste vorm brengen.
Stappen voor differentiatie:
•Herschrijven:g(x)=2x^5\cdot x^{\frac15}=2x^{5+\frac15}=2x^{5\frac15}
•Differentiëren:g^{\prime}(x)=2\cdot5\frac15\cdot x^{5\frac15-1}=10\frac25x^{4\frac15}
•Herschrijven van de exponent:g^{\prime}(x)=10\frac25x^4\cdot\sqrt[5]{x}
Hieruit volgt dat de afgeleide van2x^5\cdot\sqrt[5]{x}gelijk is aan10\frac25x^4\cdot\sqrt[5]{x}.
Voorbeeld 3: h(x)=\frac{6x-x^2}{2\sqrt[3]{x}}
Dit voorbeeld vereist enige extra stappen, omdat we te maken hebben met een breuk.
Stappen voor differentiatie:
•Herschrijven van de noemer:\sqrt[3]{x}=x^{\frac{^1}{3}}
•Afzonderen van termen: we verdelen elke term in de teller door de noemer. \frac{6x-x^2}{2\sqrt[3]{x}}=\frac{6x}{2x^{\frac13}}-\frac{x^2}{2x^{\frac13}}=3x^{\frac23}-\frac12x^{1\frac23}
•Differentiëren:h^{\prime}\left(x\right)=2x^{-\frac13}-\frac56x^{\frac23}=\frac{2}{\sqrt[3]{x}}-\frac56\sqrt[3]{x^2}
Hieruit volgt dat de afgeleide vanh(x)=\frac{6x-x^2}{2\sqrt[3]{x}}gelijk is aanh^{\prime}\left(x\right)=\frac{2}{\sqrt[3]{x}}-\frac56\sqrt[3]{x^2}.
