Vergelijkingen bij gelijkvormigheid

Leerdoelen

•Je kunt in vlakke figuren afmetingen berekenen met behulp van gelijkvormigheid.

Wat is gelijkvormigheid?

Gelijkvormigheid treedt op wanneer twee vlakke figuren, bijvoorbeeld driehoeken, dezelfde vorm hebben, maar een verschillende grootte. Dit betekent dat de overeenkomstige hoeken van de figuren aan elkaar gelijk zijn. Als twee hoeken in twee driehoeken gelijk zijn, is de derde hoek automatisch ook gelijk, waardoor de driehoeken gelijkvormig zijn. Het correct noteren van de gelijkvormigheid, bijvoorbeeld "driehoekis gelijkvormig met driehoek", is belangrijk. Hierbij moet de volgorde van de hoekpunten overeenkomen met de gelijke hoeken.

Hoe toon je gelijkvormigheid aan?

Er zijn verschillende manieren om aan te tonen dat hoeken gelijk zijn en figuren dus gelijkvormig zijn:

•F\text{\textbf{-hoeken:}{}}F\text{\textbf{-hoeken}{}}FFFFFFFFFFFFFFFFFF\text{-hoeken}FFFFFFFFFFFFFFFFFF\textbf{-hoeken}F\textbf{-hoeken:}zijn gelijke hoeken die ontstaan wanneer een lijn twee evenwijdige lijnen snijdt en eenF\text{-vorm}FFFFFFFFFFFFFFF-F-vF-voF-vorcreëert. Evenwijdige lijnen zijn lijnen die nooit snijden en altijd dezelfde afstand van elkaar hebben.

•Overstaande hoeken: Overstaande hoeken zijn hoeken die recht tegenover elkaar liggen bij het snijpunt van twee lijnen en altijd aan elkaar gelijk zijn.

•Gemeenschappelijke hoek: Een hoek die door beide figuren wordt gedeeld, is uiteraard gelijk in beide figuren.

•Gelijk aangraden: Als twee hoeken beidegraden zijn, zijn ze aan elkaar gelijk.

Hoe gebruik je een verhoudingstabel bij gelijkvormigheid?

Nadat gelijkvormigheid is aangetoond, kun je een verhoudingstabel opstellen. Dit is een tabel waarin de verhoudingen van overeenkomstige zijden van gelijkvormige figuren worden weergegeven. In deze tabel noteer je de lengtes van de overeenkomstige zijden onder elkaar. Als een zijde onbekend is, kun je deze een variabele toekennen (bijvoorbeeldx).Met behulp van deze tabel kun je een vergelijking opstellen.

Hoe los je een vergelijking op uit een verhoudingstabel?

Om de onbekende afmeting te berekenen, gebruik je de methode van kruislings vermenigvuldigen. Kruislings vermenigvuldigen is een methode om een vergelijking op te lossen waarbij twee breuken aan elkaar gelijk zijn, door de teller van de ene breuk met de noemer van de andere te vermenigvuldigen. Dit resulteert in een lineaire vergelijking, een algebraïsche vergelijking van de eerste graad waarbij de hoogste macht van de variabele één is. Deze vergelijking los je vervolgens op om de waarde van de onbekende variabele (de afmeting) te vinden.

Voorbeeldberekening 1: Driehoeken met evenwijdige lijnen

Gegeven is driehoekmetOp de zijdenenliggen de puntenenwaarbijevenwijdig is aanVerder isCE=3{,}2CE=3{,}CE=3CE=3,enDe vraag is: bereken

Stap 1: Gelijkvormigheid aantonen

•is evenwijdig aan

•Hoekis gelijk aan hoekD\ (F\text{-hoeken}).D\ (F).D\ (F).D\ (F).D\ (F).D\ (F).D\ (F).D\ (F).D\ (F).D\ (F).D\ (F).D\ (F).D\ (F).D\ (F).D\ (F).D\ (F).D\ (F).D\ (F).D\ (F-).D\ (F-h).D\ (F-ho).D\ (F-hoe).D\ (F-hoek).D\ (F-hoeke).D\ (F-hoeken).D(F-hoeken).D(F-hoeken).

•Hoekis gelijk aan hoekE\ (F\text{-hoeken}).

•Hoekis gelijk aan hoek(gemeenschappelijke hoek).

•Hieruit volgt: driehoekis gelijkvormig met driehoek

Stap 2: Verhoudingstabel opstellen We definiërenDan isBC=BE+CE=x+3{,}2.BC=BE+CE=x+32.

Bekende gegevens invullen:

Stap 3: Vergelijking oplossen Door kruislings te vermenigvuldigen, ontstaat de vergelijking: De lengte vanis

Voorbeeldberekening 2: Driehoeken met overstaande hoeken

Gegeven is een figuur met hoekhoekgraden. Verder isAB=5,\ DE=3AB=5,DE=3AB=5,DE=3enDe vraag is: bereken

Stap 1: Gelijkvormigheid aantonen

•Hoekin de kleine driehoek is gelijk aan hoekin de grote driehoek (overstaande hoeken).

•Hoekis gelijk aan hoek(beidegraden).

•Hieruit volgt: driehoekis gelijkvormig met driehoek

Stap 2: Verhoudingstabel opstellen We definiërenAangezienis

Bekende gegevens invullen:

Stap 3: Vergelijking oplossen Door kruislings te vermenigvuldigen, ontstaat de vergelijking: De lengte vanis