Leerdoelen
•Je leert hoe je logaritmische vergelijkingen moet oplossen met behulp van logaritmische rekenregels.
Opdracht 1: Oplossen van een^3\log
Opdracht: Los exact op:^3\log(5x)+^3\log(6)=4
Omdat beide logaritmes dezelfde^3\logzijn, kunnen we ze samenvoegen. Dit doen we door de argumenten te vermenigvuldigen:
^3\log(5x\cdot6)=^3\log(30x)=4
Nu kunnen we de logaritme weghalen door elke zijde als exponent van de basis (hier3)te nemen:
30x = 3^4
We weten 3^4=81,dus:
30x = 81
Deel beide zijden door30:
x=\frac{81}{30}\text{ of }x=2\frac{7}{10}
Controleer de oplossing door deze terug in de oorspronkelijke vergelijking te zetten.
Opdracht 2: Logaritmes samenvoegen
Opdracht: Los exact op:\log(4x+60)+\log(x)=3
Combineer de logaritmes:
\log(\left(4x+60)\cdot x\right))=3
Dit resulteert in:
4x^2+60x=10^3
(Hier geldt dat het grondtal 10 is, aangezien dit niet expliciet vermeld stond).
Dus,4x^2+60x=1000.Herschrijf naar:
4x^2+60x-1000=0
Deel alles door 4 om eenvoudiger te kunnen werken:
x^2+15x-250=0
Gebruik de som-product-methode:
We willen twee getallen vinden die optellen tot15en vermenigvuldigen tot-250.Geef de resultaten:
(x + 25)(x - 10) = 0
Oplossingen zijn x = 10 enx=-25.Controleer welke voldoet; de negatieve waarde kan niet, omdat je geen negatieve argumenten in logaritmes kunt hebben.
Opdracht 3: Halve logaritmes
Opdracht: Los exact op:^{\frac12}\log(x-6)+4+^{\frac12}\log(x)=0
Breng 4 naar de andere kant:
^{\frac12}\log(x-6)+^{\frac12}\log(x)=-4
Combineer de logaritmen:
^{\frac12}\log(x^2-6x)=-4
Verwijder de halve logaritme door van beide zijden als exponent te schrijven:
x^2-6x=\left(\frac12\right)^{-4}=\frac{1}{\frac{1}{2^4}}=16
Dit leidt tot een kwadratische vergelijking die je weer kan oplossen met de som-product-methode.
Probeer dit zelf! Als antwoord hoor jex=8enx=-2te krijgen. Alleen de eerste oplossing voldoet, omdat je geen negatieve argumenten in logaritmes kan hebben.
Opdracht 4: Oplossen met minlogaritmes
Opdracht: Los exact op:^5\log\left(x-4_{}\right)+2=^5\log(3x)
Breng5\log(3x)naar de andere kant:
^5\log\left(x-4\right)-^5\log\left(3x\right)=-2
Gebruik de rekenregels om de logaritmes als één logaritme te schrijven:
^5\log\left(\frac{x-4}{3x}\right)=-2
Werkt de logaritme weg met behulp van exponenten:
\frac{x-4}{3x}=5^{-2}=\frac{1}{25}
Doe beide kanten keer3xen25om de breuken weg te werken:
25x-100=3x
Dit lost verder op tot:
22x=100
x=\frac{100}{22}=4\frac{6}{11}
