De cosinusregel

Leerdoelen

•Je kunt met behulp van de cosinusregel een onbekende zijde berekenen in een willekeurige driehoek als twee zijden en de ingesloten hoek gegeven zijn.

•Je kunt met behulp van de cosinusregel een onbekende hoek berekenen in een willekeurige driehoek als alle drie de zijden gegeven zijn.

•Je kunt de cosinusregel toepassen om zijden en hoeken in complexe meetkundige problemen (zoals het berekenen van hoogtes) te vinden.

De cosinusregel

In elke driehoek geldt de cosinusregel. Deze regel verbindt de lengte van een zijde met de lengtes van de andere twee zijden en de cosinus van de tegenoverliggende hoek. Er zijn drie varianten van de cosinusregel, afhankelijk van welke zijde of hoek je wilt berekenen:

•

•

•

Voor het toepassen van de cosinusregel werken we met een willekeurige. Dit betekent dat de driehoek niet per se rechthoekig hoeft te zijn. De hoekpunten van de driehoek worden aangegeven met hoofdletters (,,) en de zijden met kleine letters (,,). Hierbij is het belangrijk om te onthouden dat kleinede overstaande zijde is van,de overstaande zijde van, ende overstaande zijde van.

Wanneer gebruik je de cosinusregel?

De cosinusregel is een krachtig hulpmiddel dat je in twee specifieke situaties gebruikt, vooral wanneer de sinusregel niet toereikend is:

1.Als je twee zijden en de ingesloten hoek weet, en je de derde zijde wilt berekenen (ook wel zijde-hoek-zijde, ZHZ).

2.Als je alle drie de zijden weet, en je een van de hoeken wilt berekenen (ook wel zijde-zijde-zijde, ZZZ).

In situaties waarin je een paar (een zijde en de overstaande hoek) kent, en nog een losse zijde of hoek, is de sinusregel vaak handiger. De cosinusregel komt dus in beeld wanneer je niet zo’n compleet paar hebt.

Een zijde berekenen

Gegeven ismet,en. Berekenen rond af op twee decimalen.

Waarom de sinusregel hier niet werkt

Laten we proberen de sinusregel te gebruiken. De sinusregel stelt:. We kennen zijdeen zijde. Ook kennen we. We willen zijdeberekenen.

Als we de combinatiepakken, willen weberekenen. We hebben, maar als wegelijkstellen aan\frac{a}{\sin(A)}\frac{}{\sin(A)}\frac{b}{\sin(A)}\frac{b}{\sin()}\frac{b}{\sin()a}\frac{b}{\sin()}\frac{b}{\sin(B)}, hebben we twee onbekenden:en. Hetzelfde geldt als we\frac{b}{\sin(B)}gelijkstellen aan\frac{c}{\sin(C)}\frac{}{\sin(C)}\frac{b}{\sin(C)}\frac{b}{\sin()}\frac{b}{\sin(B)}; dan hebben weenonbekend. Daarom werkt de sinusregel hier niet.

Toepassen van de cosinusregel

Omdat weweten en de twee zijden die deze hoek insluiten (en), kiezen we de variant van de cosinusregel diegebruikt:.

Nu vullen we de bekende waarden in:

•

•

•\angle B=72\degree\angle=72\degree=72\degree=72\degree=72\degree=72\degree=72\degree

Dit geeft.

Je kunt de rechterkant van de vergelijking in één keer invoeren in je rekenmachine. Dit geeftb^2=70{,}334\ldots.

Let op: rond tussendoor niet af. Bewaar dit getal op je rekenmachine.

Om(dus) te vinden, nemen we de wortel van dit getal:

•b=\sqrt{70{,}334\ldots}b=\sqrt{70{,}334\ldots}7b=\sqrt{70{,}334\ldots}70b=\sqrt{70{,}334\ldots}70.b=\sqrt{70{,}334\ldots}70,.b=\sqrt{70{,}334\ldots}70,3.b=\sqrt{70{,}334\ldots}70,33.b=\sqrt{70{,}334\ldots}70,334.b=\sqrt{70{,}334\ldots}70,3343.b=\sqrt{70{,}334\ldots}70,33436.b=\sqrt{70{,}334\ldots}70,334368.b=\sqrt{70{,}334\ldots}70,334368..b=\sqrt{70{,}334\ldots}70,334368...b=\sqrt{70{,}334..}70,334368...b=\sqrt{70{,}334.}70,334368...b=\sqrt{70{,}334}70,334368...b=\sqrt{70{,}33}70,334368...b=\sqrt{70{,}3}70,334368...b=\sqrt{70{,}}70,334368...b=\sqrt{70}70,334368...b=\sqrt770,334368...b=\sqrt{}70,334368...b=70,334368...b=70,334368...b=70,334368...b=70,334368...

•

Nu ronden we af op twee decimalen, zoals gevraagd:.

Een hoek berekenen

Gegeven ismet,en. Bereken. Rond af op één decimaal.

We weten alle drie de zijden en willenberekenen. Een handige tip om de juiste variant van de cosinusregel te kiezen: alsgevraagd is (of gegeven), dan staat de overstaande zijde van, namelijk kleine, voor het is-teken. Dus, we gebruiken opnieuw:

Nu vullen we de bekende waarden in:

•

•

•

Dit geeft:

•

•

•

Nu willen we de term metisoleren:

•

•

•Omte isoleren, delen we beide kanten van de vergelijking door:

•

Omte vinden, gebruiken we de inverse cosinus:

•\angle B=\cos^{-1}(-0{,}275)\angle B=\sin^{}\cos^{-1}(-0{,}275)\angle B=\sin^{-}\cos^{-1}(-0{,}275)\angle B=\sin^{-1}\cos^{-1}(-0{,}275)\angle B=\sin^{-1}(-0{,}275)

•\angle B=105{,}96\ldots\degree\angle B=74{,}03\ldots\degree\angle B=74{,}037\ldots\degree\angle B=74{,}037\ldots\angle B=74{,}037\ldots\angle B=74{,}037\ldots\angle B=74{,}037\ldots\angle B=74{,}037\ldots\angle B=74{,}037\ldots\angle B=74{,}037\ldots

Nu ronden we af op één decimaal:.

Een hoogte berekenen

Gegeven ismet,en. Bereken de hoogte. Rond af op één decimaal. De hoogteis de loodlijn vanuit hoekpuntRop zijde. Puntligt op.

Om de hoogtete berekenen, volgen we twee stappen:

1.Bereken eerst een hoek inmet behulp van de cosinusregel.is hier een goede keuze, omdatdeel uitmaakt van de rechthoekige.

2.Gebruik vervolgens SOS CAS TOA in de rechthoekige\triangle PSRPSRPSRPSRPSRPSRomte berekenen.

Berekenen vanmet de cosinusregel

We gebruiken de cosinusregel omte berekenen. De zijde tegenoveris, dus kleine:.

Nu vullen we de bekende waarden in:

•

•

•

Dit geeft:

•

•

•

Isoleer de term met:

•

•

•

•

Bereken:

•\angle P=\cos^{-1}\left(\frac{133}{252}\right)\angle P=\cos^{-1}\frac{133}{252})\angle P=\cos^{-1}(\frac{133}{252})\angle P=\cos^{-1}(\frac{133}{25})\angle P=\cos^{-1}(\frac{133}{2})\angle P=\cos^{-1}(\frac{133}{\placeholder{}})\angle P=\cos^{-1}(133)\angle P=\cos^{-1}(133/)\angle P=\cos^{-1}(133/2)\angle P=\cos^{-1}(133/25)\angle P=\cos^{-1}(133/252)\angle P=\cos^{-1}a(133/252)\angle P=\cos^{-1}ar(133/252)\angle P=\cos^{-1}arc(133/252)\angle P=\cos^{-1}arcc(133/252)\angle P=\cos^{-1}arcco(133/252)\angle P=\cos^{-1}arccos(133/252)

•\angle P=58{,}144\ldots\degree\angle P=58144\ldots\degree

Rond deze waarde nog niet af.

Berekenen van de hoogtemet SOS CAS TOA

Nu bekijken we de rechthoekige.

•\angle P=58{,}144\ldots\degreekennen we.

•PR=9PR=is de schuine zijde.

•is de overstaande zijde van.

Volgens SOS CAS TOA geldt:. Dus:

Vul de waarden in (gebruik de exacte waarde vanvan je rekenmachine):

•RS=9\cdot\sin(58{,}144\ldots\degree)RS=9\cdot\sin(58{,}144..\degree)RS=9\cdot\sin(58{,}144.\degree)RS=9\cdot\sin(58{,}144\degree)RS=9\cdot\sin(58{,}144.\degree)RS=9\cdot\sin(58{,}144..\degree)RS=9\cdot\sin(58{,}144...\degree)RS=9\cdot\sin(58144...\degree)

•RS=7{,}644\ldotsRS=7{,}644..RS=7{,}644.RS=7{,}644RS=7{,}644.RS=7{,}644..

Nu ronden we af op één decimaal:.