Leerdoelen
•Je kunt formules van de vormlog\left(N\right)=at+blog\left(N\right)=a+blog\left(N\right)=aT+bloog\left(N\right)=aT+bloog\left(\right)=aT+bloog\left(n\right)=aT+bloog\left(n=aT+b\right)loog\left(=aT+b\right)loog=aT+bloo=aT+blo=aT+bl=aT+b=aT+b\log_{\placeholder{}}=aT+blo=aT+bl=aT+b=aT+b\log_{\placeholder{}}=aT+blo=aT+bl=aT+b=aT+bl=aT+blo=aT+bomwerken naar de vormN=b\cdot g^{t}=b\cdot g^{t}n=b\cdot g^{t}n=bg^{t}.
•Je kunt formules van de vormlog\left(N\right)=c\cdot log\left(t\right)+dlog\left(N\right)=c\cdot log\left(\right)+dlog\left(N\right)=c\cdot log\left(T\right)+dlog\left(N\right)=c\cdot log\left(T+d\right)log\left(N\right)=c\cdot logT+dlog\left(N\right)=clogT+dlog\left(N\right)=c*logT+dlog\left(N=c*logT+d\right)omwerken naar de vormN=a\cdot t^{b}N=a\cdot t^{b}*N=a\cdot t^{b}*TN=a\cdot t^{b}*T^{}N=a\cdot t^{b}*T^{B}N=a\cdot t*T^{B}N=a\cdot *T^{B}N=a*T^{B}N=*T^{B}.
•Je kunt de rekenregels voor machten en logaritmen correct toepassen bij het omwerken van formules.
•Je kunt een getal omzetten naar een logaritme met een bepaald grondtal.
•Je kunt de benodigde afrondingen uitvoeren zoals gevraagd in een opgave.
Formules met logaritme omwerken
Stel, je krijgt de opdracht om de formulelog\left(N\right)=0{,}025t+1{,}6log\left(N\right)=0{,}025t+16log\left(N\right)=0{,}025t+1,6log\left(N\right)=0{,}025+1,6log\left(N\right)=0{,}025T+1,6log\left(N\right)=0025T+1,6log\left(N\right)=0,025T+1,6log\left(N=0,025T+1,6\right)log\left(=0,025T+1,6\right)log\left(n=0,025T+1,6\right)om te schrijven naar de vormN=b\cdot g^{t}=b\cdot g^{t}n=b\cdot g^{t}n=b\cdot g^{t}*n=b\cdot g^{t}*Gn=b\cdot g^{t}*G^{}n=b\cdot g^{t}*G^{T}n=b\cdot g*G^{T}n=b\cdot *G^{T}n=b*G^{T}n=*G^{T}. Dit is een voorbeeld van het omzetten van een logaritmische formule naar een exponentiële formule.
De logaritme opheffen
De eerste stap is om de logaritme weg te werken. Wanneer het grondtal van een logaritme niet is weergegeven (bijvoorbeeld bij ), wordt standaard een tienlog bedoeld (grondtal 10). Om een logaritme op te heffen, gebruik je de tegengestelde bewerking. De tegengestelde bewerking van log (met grondtal 10) is 10 tot de macht.
We beginnen met de formule:log\left(N\right)=0{,}025t+1{,}6
Om de log aan de linkerkant weg te werken, verheffen we beide kanten van de vergelijking tot de macht 10:10^{log(N)}=10^{0{,}025t+1{,}6}10^{log(N)}=10^{0{,}025t+16}10^{log(N)}=10^{0{,}025t+1,6}10^{log(N)}=10^{0{,}025+1,6}10^{log(N)}=10^{0{,}025T+1,6}10^{log(N)}=10^{0025T+1,6}
Aan de linkerkant heffen 10 tot de macht en log n elkaar op, dus blijft alleenover:N=10^{0{,}025t+1{,}6}N=10^{0{,}025t+16}N=10^{0{,}025t+1,6}N=10^{0{,}025+1,6}N=10^{0{,}025T+1,6}N=10^{0025T+1,6}
Rekenregels voor machten toepassen
Nu hebben weN=10^{0{,}025t+1{,}6}. De exponent0{,}025t+1{,}60{,}025t+160{,}025t+1,60{,}025+1,60{,}025T+1,60025T+1,6moet nog worden opgesplitst, omdat in de gewenste vormN=b\cdot g^{t}N=b\cdot g^{tT}N=b\cdot g^{T}N=b\cdot gG^{T}N=b\cdot G^{T}N=bG^{T}N=G^{T}N=BG^{T}N=B*G^{T}=B*G^{T}de variabelealleen in de exponent van de groeifactormag staan, en de constanteals losse factor. Hiervoor gebruiken we twee belangrijke rekenregels voor machten:
•Regel 1:a^{p+q}=a^{p}\cdot a^{q}a^{p+q}=a^{p}a^{q} Deze regel zegt dat als je een grondtal hebt dat verheven is tot een som van twee termen, je dit kunt schrijven als een product van hetzelfde grondtal verheven tot elk van die termen afzonderlijk. Dus:N=10^{0{,}025t}\cdot10^{1{,}6}N=10^{0{,}025t}\cdot10^{16}N=10^{0{,}025t}\cdot10^{1,6}N=10^{0{,}025t}\cdot *10^{1,6}N=10^{0{,}025t}*10^{1,6}N=10^{0{,}025}*10^{1,6}N=10^{0{,}025T}*10^{1,6}N=10^{0025T}*10^{1,6}N=10^{0,025T}*10^{1,6}=10^{0,025T}*10^{1,6}
•Regel 2:a^{p\cdot q}=\left(a^{p}\right)^{q}a^{p\cdot q}=\left(a^{p}\right)a^{p\cdot q}=\left(a^{p}\right.a^{p\cdot q}=\left(a^{p}\right.a^{p\cdot q}=\left(a^{pq}\right.a^{p\cdot q}=\left(a^{pq}\right)a^{p\cdot q}=\left(a^{p)q}\right)a^{p\cdot q}=\left(a^{pq}\right)a^{p\cdot q}=a^{pq}a^{pq}=a^{pq} Deze regel zegt dat als je een grondtal hebt dat verheven is tot een product van twee termen, je dit kunt schrijven als een macht van een macht. We passen dit toe op10^{0{,}025t}10^{0{,}025}10^{0{,}025T}10^{0025T}om delos te maken:N=\left(10^{0{,}025}\right)^{t}\cdot10^{1{,}6}=\left(10^{0{,}025}\right)^{t}\cdot10^{1{,}6}n=\left(10^{0{,}025}\right)^{t}\cdot10^{1{,}6}n=\left(10^{0{,}025}\right)^{t}\cdot10^{16}n=\left(10^{0{,}025}\right)^{t}\cdot10^{1,6}n=\left(10^{0{,}025}\right)^{t}10^{1,6}n=\left(10^{0{,}025}\right)^{t}*10^{1,6}n=\left(10^{0025}\right)^{t}*10^{1,6}n=\left(10^{0,025}\right)^{t}*10^{1,6}n=\left(10^{0,025}\right)*10^{1,6}n=(10^{0,025}*10^{1,6}n=(10^{0,025)}*10^{1,6}
Constanten berekenen en afronden
Nu kunnen we de constanten10^{1{,}6}10^{1{,}}10^110^1,10^1,610^1,10^110^{}10^{(}10^{(}110^{(}1,10^{(}1,6en10^{0{,}025}10^{0{,}025},10^{0{,}025},010^{0{,}025},0210^{0{,}025},02510^{0{,}02},02510^{0{,}0},02510^{0{,}},025uitrekenen.
•10^{1{,}6}\thickapprox39{,}8107\ldots10^{1{,}6}\thickapprox39{,}8107..10^{1{,}6}\thickapprox39{,}8107.10^{1{,}6}\thickapprox39{,}810710^{1{,}6}\thickapprox39{,}8107.10^{1{,}6}\thickapprox39{,}8107..10^{1{,}6}\thickapprox39{,}8107...10^{1{,}6}\thickapprox398107...10^{1{,}6}\thickapprox39,8107...
•10^{0{,}025}\thickapprox1{,}05925\ldots10^{0{,}025}\thickapprox1{,}05925..10^{0{,}025}\thickapprox1{,}05925.10^{0{,}025}\thickapprox1{,}0592510^{0{,}025}\thickapprox1{,}05925.10^{0{,}025}\thickapprox1{,}05925..10^{0{,}025}\thickapprox1{,}05925...10^{0{,}025}\thickapprox105925...10^{0{,}025}\thickapprox1,05925...
De vraag zal aangeven op hoeveel decimalen je moet afronden. Als richtlijn wordt vaak aangehouden dat de startwaarde\left(b\right)op een geheel getal of tientallen wordt afgerond, en de groeifactor\left(g\right)op drie decimalen. In dit geval ronden we39{,}8107\ldots39{,}8107..39{,}8107.39{,}810739{,}8107.39{,}8107..39{,}8107...398107...af op gehelen, watwordt. We ronden1{,}05925\ldots1{,}05925..1{,}05925.1{,}059251{,}05921{,}05925\frac{1{,}05925}{\placeholder{}}1{,}059251{,}05925.1{,}05925..1{,}05925...105925...af op drie decimalen, wat1{,}0591{,}051{,}0591{,}059\ldots1{,}059\ldots=1{,}059\ldots==1{,}059\ldots=1{,}059\ldots1{,}059..1{,}059.1{,}0591059wordt.
Vergeet niet een "ongeveer-is-teken"\left(\thickapprox\right)te gebruiken wanneer je afrondt:N\thickapprox40\cdot1{,}059^{t}N\thickapprox40\cdot1{,}059^{}N\thickapprox40\cdot1{,}059^{T}N\thickapprox40\cdot1059^{T}N\thickapprox40\cdot1,059^{T}N\thickapprox401,059^{T}N\thickapprox40*1,059^{T}\thickapprox40*1,059^{T}
Hiermee is de formule succesvol omgezet naar de gewenste exponentiële vormN=b\cdot g^{t}N=b\cdot g^{tT}N=b\cdot g^{T}N=b\cdot gG^{T}N=b\cdot G^{T}N=bG^{T}N=G^{T}N=BG^{T}N=B*G^{T}=B*G^{T}.
Formules met logaritme omwerken: van logaritmisch naar een machtsfunctie
Laten we nu kijken naar een ander type omwerking. Stel, je moet de formulelog(N)=5\cdot log(t)+2{,}4log(N)=5\cdot log(t)+24log(N)=5\cdot log(t)+2,4log(N)=5log(t)+2,4omzetten naar de vormN=a\cdot t^{b}N=a\cdot tN=a\cdotN=a\cdot TN=a\cdot T^{}N=a\cdot T^{B}N=\cdot T^{B}N=A\cdot T^{B}N=AT^{B}. Dit is het omzetten naar een machtsfunctie (soms ook een powerfunctie genoemd).
Verschillen met het vorige voorbeeld
Als je deze formule vergelijkt met de vorige, zie je twee belangrijke verschillen:
1.Aan de rechterkant van het is-teken staat nu ook een logaritme\left(log\left(t\right)\right)\left(log\left(\right)\right)\left(log\left(\right)\right)\left(log\right)\left(log\right), naast een losse constante.
2.De doelvorm isN=a\cdot t^{b}N=a\cdot t^{bB}N=a\cdot t^{B}N=at^{B}N=a^{B}N=a*^{B}N=a*T^{B}N=*T^{B}. Hier staat de variabelezelf als grondtal van een macht, en niet in de exponent zoals bij een exponentiële functie\left(g^{t}\right)\left(g\right)\left(\right)\left(\right).
Deze verschillen betekenen dat we een andere aanpak moeten kiezen, waarbij we intensief gebruikmaken van logaritmische rekenregels.
Logaritmische rekenregels toepassen
We beginnen weer met de formule:log(N)=5\cdot log(t)+2{,}4
We willen alle termen aan de rechterkant samenvoegen tot één logaritme.
•Regel 1: Factor voor de logaritme in de macht brengen
•De regel luidt:k\cdot\,^{g}log\left(a\right)=\,^{g}log\left(a^{k}\right)k\cdot\,^{g}log\left(a\right)=\,^{g}log(a^{k}k\cdot\,^{g}log\left(a\right)=\,^{g}log(^{k}k\cdot\,^{g}log\left(a\right)=\,^{g}log(A^{k}k\cdot\,^{g}log\left(a\right)=^{g}log(A^{k}k\cdot\,^{g}log\left(a\right)=^{g}log(A^{k}k\cdot\,^{g}log\left(a\right)=^{g}log(A^{k}k\cdot\,^{g}log\left(a\right)=^{g}\left(log(A^{k}\right.k\cdot\,^{g}log\left(a\right)=\left(log(A^{k}\right.k\cdot\,^{g}log\left(a\right)=\left())=Glog(A^{k}\right.k\cdot\,^{g}log\left(a\right)\left())=Glog(A^{k}\right.k\cdot\,^{g}log\left(\right)\left())=Glog(A^{k}\right.k\cdot\,^{g}log)\left())=Glog(A^{k}\right.k\cdot\,^{g}log\left())=Glog(A^{k}\right.k\cdot\,^{g}log\left())=Glog(A^{k}\right)k\cdot\,^{g}log\left()=Glog(A^{k}\right)k\cdot\,^{g}log\left.)=Glog(A^{k}\right)k\cdot\,^{g}log\left()=Glog(A^{k}\right)k\cdot\,^{g}log\left(=Glog(A^{k}\right)k\cdot\,^{g}log\left(A=Glog(A^{k}\right)k)\cdot\,^{g}log\left(A=Glog(A^{k}\right)k\cdot\,^{g}log\left(A=Glog(A^{k}\right)k\cdot\,^{g}logA=Glog(A^{k})k\cdot\,^{g}GlogA=Glog(A^{k})k\cdot^{g}GlogA=Glog(A^{k})k\cdot^{g}GlogA=Glog(A^{k})k\cdot^{g}GlogA=Glog(A^{k})k\cdot GlogA=Glog(A^{k})kGlogA=Glog(A^{k}). Staat er een factor voor een logaritme, dan kun je die factor in de logaritme brengen als een macht.
•We passen dit toe op5\cdot log\left(t\right)5\cdot log\left(t\right)5\cdot log\left(\right)5\cdot log5log:log\left(N\right)=log\left(t^5\right)+2{,}4log\left(N\right)=log\left(t^5\right)+24log\left(N\right)=log\left(t^5\right)+2,4log\left(N\right)=log(t^5+2,4log\left(N\right)=log(^5+2,4log\left(N\right)=log(T^5+2,4log\left(N\right)log(T^5+2,4log\left(N\right)\left.log(T^5\right)+2,4log\left(N\right)\left.=log(T^5\right)+2,4log\left(N\right)\left.=log(T^5\right)+2,4log\left(N\right)\left.=log(T^5\right)+2,4log\left(N\right)\left.=log(T^5\right)+2,4log\left(N\right)\left.=log(T^5\right)+2,4log\left(N\right)\left.=log(T^5\right)+2,4log\left(N\right)\left.=log(T^5\right)+2,4log\left(N\right)\left(=log(T^5\right)+2,4log\left(N\right)\left()=log(T^5\right)+2,4log\left(\right)\left()=log(T^5\right)+2,4log)\left()=log(T^5\right)+2,4log\left()=log(T^5\right)+2,4log\left.)=log(T^5\right)+2,4log\left.=log(T^5\right)+2,4log\left(=log(T^5\right)+2,4log\left(N=log(T^5\right)+2,4log\left(N)=log(T^5\right)+2,4log\left(N=log(T^5\right)+2,4
•Regel 2: Een getal omzetten naar een logaritme
•De constante2{,}424zetten we ook om naar een logaritme met grondtal. De regel hiervoor is:a=\,^{g}log(g^{a})a=\,^{g}log(g^{})a=\,^{g}log(g^{A})a=\,^{g}log(^{A})a=\,^{g}log(G^{A})a=^{g}log(G^{A})a=^{g}log(G^{A})a=^{g}log(G^{A})a=log(G^{A})a=Glog(G^{A})=Glog(G^{A}).
•Dus:2{,}4=log(10^{2{,}4})2{,}4=log(10^{2{,}4},)2{,}4=log(10^{2{,}4},4)2{,}4=log(10^{2{,}},4)2{,}4=log(10^2,4)24=log(10^2,4)
•Nu kunnen we dit invullen in de formule:log\left(N\right)=log(t^5)+log(10^{2{,}4})log\left(N\right)=log(t^5)+log(10^{2{,}4},)log\left(N\right)=log(t^5)+log(10^{2{,}4},4)log\left(N\right)=log(t^5)+log(10^{2{,}},4)log\left(N\right)=log(t^5)+log(10^2,4)log\left(N\right)=log(^5)+log(10^2,4)log\left(N\right)=log(T^5)+log(10^2,4)logN)=log(T^5)+log(10^2,4)log N = log (T^5) + log (10^2,4)log\left(N=log(T^5\right)+log(10^2,4)
•Regel 3: Logaritmen met hetzelfde grondtal optellen
•De regel luidt:^{g}log\left(m\right)+\,^{g}log\left(n\right)=\,^{g}log\left(m\cdot n\right)^{g}log\left(m\right)+\,^{g}log\left(n\right)=^{g}log\left(m\cdot n\right)^{g}log\left(m\right)+\,^{g}log\left(n\right)=^{g}log\left(m\cdot n\right)^{g}log\left(m\right)+\,^{g}log\left(n\right)=^{g}log\left(m\cdot n\right)^{g}log\left(m\right)+\,^{g}log\left(n\right)=^{g}log\left(m\cdot\right)^{g}log\left(m\right)+\,^{g}log\left(n\right)=^{g}log\left(m\right)^{g}log\left(m\right)+\,^{g}log\left(n\right)=^{g}log\left(m8\right)^{g}log\left(m\right)+\,^{g}log\left(n\right)=^{g}log\left(m\right)^{g}log\left(m\right)+\,^{g}log\left(n\right)=^{g}log\left(m\right)+\,^{g}log\left(n\right)=Glog(M*N)^{g}log\left(m\right)+\,^{g}log\left(\right)=Glog(M*N)^{g}log\left(m\right)+\,^{g}log\left(m\right)=Glog(M*N)^{g}log\left(m\right)+^{g}log\left(m\right)=Glog(M*N)^{g}log\left(m\right)+^{g}log\left(m\right)=Glog(M*N)^{g}log\left(m\right)+^{g}log\left(m\right)=Glog(M*N)^{g}log\left(m\right)+=Glog(M*N)^{g}log\left(m\right)+^{}=Glog(M*N)^{g}log\left(m\right)+^{}l=Glog(M*N)^{g}log\left(m\right)+^{}lo=Glog(M*N)^{g}log\left(m\right)+^{}log=Glog(M*N)^{g}log\left(m\right)+^{}logN=Glog(M*N)^{g}log\left(\right)+^{}logN=Glog(M*N)^{g}log\left(M\right)+^{}logN=Glog(M*N)^{g}logM)+^{}logN=Glog(M*N)^{g}logM+^{}logN=Glog(M*N)^{g}logM+^{g}logN=Glog(M*N)^{g}logM+logN=Glog(M*N)^{g}logM+GlogN=Glog(M*N)logM+GlogN=Glog(M*N). Als twee logaritmen met hetzelfde grondtal bij elkaar worden opgeteld, kun je ze samenvoegen tot één logaritme door de getallen binnen de logaritmen met elkaar te vermenigvuldigen.
•We passen dit toe op de rechterkant van de formule:log\left(N\right)=log(t^5\cdot10^{2{,}4})log\left(N\right)=log(t^5\cdot10^{2{,}4},)log\left(N\right)=log(t^5\cdot10^{2{,}4},4)log\left(N\right)=log(t^5\cdot10^{2{,}},4)log\left(N\right)=log(t^5\cdot10^2,4)log\left(N\right)=log(t^510^2,4)log\left(N\right)=log(t^5*10^2,4)log\left(N\right)=log(^5*10^2,4)log\left(N\right)=log(y^5*10^2,4)log\left(N\right)=log(^5*10^2,4)log\left(N\right)=log(T^5*10^2,4)logN)=log(T^5*10^2,4)
De logaritme opheffen en afronden
Nu staat er aan beide kanten van het is-teken één logaritme met hetzelfde grondtal:log\left(N\right)=log(t^5\cdot10^{2{,}4})log\left(N\right)=log(t^5\cdot10^{2{,}4},)log\left(N\right)=log(t^5\cdot10^{2{,}4},4)log\left(N\right)=log(t^5\cdot10^{2{,}},4)log\left(N\right)=log(t^5\cdot10^2,4)log\left(N\right)=log(t^510^2,4)log\left(N\right)=log(t^5*10^2,4)log\left(N\right)=log(^5*10^2,4)log\left(N\right)=log(T^5*10^2,4)logN)=log(T^5*10^2,4)
Wanneer dit het geval is, moeten de argumenten van de logaritmen (datgene wat binnen de haakjes staat) gelijk zijn aan elkaar. De regel is: als^{g}log\left(A\right)=\,^{g}log\left(B\right)^{g}log\left(A\right)=\,^{g}log\left(\right)^{g}log\left(A\right)=\,^{g}log\left(A\right)^{g}log\left(A\right)=^{g}log\left(A\right)^{g}log\left(A\right)=^{g}log\left(A\right)^{g}log\left(A\right)=^{g}log\left(A\right)^{g}log\left(A\right)=GlogB^{g}log\left(\right)=GlogB^{g}log\left(a\right)=GlogB^{g}log\left(\right)=GlogB^{g}log\left(A\right)=GlogB^{g}log\left(A=GlogB\right)^{g}logA=GlogBlogA=GlogB, dan. Dus de log kan als het ware worden weggelaten:N=t^5\cdot10^{2{,}4}N=t^5\cdot10^{2{,}4},N=t^5\cdot10^{2{,}4},4N=t^5\cdot10^{24},4N=t^5\cdot10^{2m4},4N=t^5\cdot10^{2m},4N=t^5\cdot10^2,4N=t^510^2,4N=t^5*10^2,4N=^5*10^2,4
Als laatste stap berekenen we de constante:10^{2,4}\thickapprox251{,}1886\ldots10^{2,4}\thickapprox251{,}1886..10^{2,4}\thickapprox251{,}1886.10^{2,4}\thickapprox251{,}188610^{2,4}\thickapprox251{,}1886.10^{2,4}\thickapprox251{,}1886..10^{2,4}\thickapprox251{,}1886...10^{2,4}\thickapprox2511886...
Afhankelijk van de opdracht ronden we dit getal af. Als er geen specifieke instructie is, wordtavaak afgerond op gehelen. In dit geval wordt251{,}1886...2511886...afgerond op.
De uiteindelijke formule is:N\thickapprox251\cdot t^5N\thickapprox251\cdot^5N\thickapprox251\cdot T^5N\thickapprox251T^5
Ook hier gebruik je het "ongeveer-is-teken"om aan te geven dat je hebt afgerond. Je hebt de formule succesvol omgezet naar de gewenste machtsfunctieN=a\cdot t^{b}N=at^{b}N=a*t^{b}N=a*t^{bB}N=a*t^{B}N=a*^{B}N=a*T^{B}N=*T^{B}.
