Leerdoelen
•Je kunt informatie aflezen en berekenen uit de formule van een sinusoïde van de vorm
•Je kunt eigenschappen van sinusoïden toepassen om vraagstukken op te lossen.
•Je kunt de evenwichtsstand, amplitude, periode en faseverschuiving van een sinusoïde bepalen.
•Je kunt de coördinaten van maxima, minima en de punten waar de grafiek stijgend door de evenwichtsstand gaat, berekenen.
•Je kunt praktische problemen met sinusoïden oplossen, inclusief het interpreteren van de resultaten en het gebruik van de grafische rekenmachine.
•Je kunt de maximale stijgsnelheid van een sinusoïde bepalen en de eenheden correct interpreteren.
De basisformule van een sinusoïde en zijn eigenschappen
De algemene formule die we gebruiken om een sinusoïde te beschrijven, is
De evenwichtsstand\left(a\right)
De letter
De amplitude\left(b\right)
De letter
Met de evenwichtsstand
•
•
De periode\frac{2\pi}{c}
De periode van een sinusoïde is de lengte van één complete golfcyclus. Het is de afstand (op de x-as) die nodig is voordat de grafiek zich precies herhaalt. Je kunt de periode meten van bijvoorbeeld:
•Maximum tot maximum.
•Minimum tot minimum.
•Stijgend door de evenwichtsstand naar opnieuw stijgend door de evenwichtsstand.
•Dalend door de evenwichtsstand naar opnieuw dalend door de evenwichtsstand.
De periode bereken je met behulp van de letter
De faseverschuiving\left(d\right)
De letter
Het beginpunt van een 'standaard' sinusgolf is altijd daar waar deze stijgend door de evenwichtsstand gaat. De coördinaten van dit punt zijn dan
x-coördinaten van maxima en minima
We kunnen de periode opdelen in vier gelijke stukken om de x-coördinaten van de maxima en minima te vinden, uitgaande van de
•Het maximum ligt
•Het minimum ligt
Praktische toepassing
Laten we deze kennis toepassen op een voorbeeld uit de praktijk: de waterhoogte bij een kustplaats. De waterhoogte wordt beïnvloed door eb en vloed. Bij vloed is de waterhoogte maximaal, en bij eb is deze minimaal.
De waterhoogte
Hierbij is
De formule kan ook worden geschreven als
Allereerst identificeren we de waarden van
•Amplitude
•
•
•Evenwichtsstand
Vraag 1: Hoe lang duurt het van eb tot vloed?
Van eb (minimaal water) tot vloed (maximaal water) is precies een halve periode. Om dit te berekenen, moeten we eerst de volledige periode bepalen.
•
•We kunnen
•
De volledige periode is dus 12 uur. Van eb tot vloed duurt de helft van deze periode:
•
Het duurt 6 uur van eb tot vloed.
Vraag 2: Bereken de hoogte van het water als het vloed is.
Als het vloed is, bereiken we de maximale waterhoogte (
•
De waterhoogte bij vloed is 7,5 meter.
Vraag 3: Bereken het eerste tijdstip nat=0 waarop het vloed is.
Vloed correspondeert met het maximum. We zoeken dus de x-coördinaat van het maximum, wat in dit geval de t-coördinaat is (
•
•
Het is voor het eerst vloed om 04:00 uur 's nachts.
Vraag 4: Als de waterhoogte 3 meter is, dan is er sprake van laag water. Bereken de tijdstippen waarop er sprake is van laag water en geef je antwoord in minuten nauwkeurig.
We moeten nu de vergelijking
Dit soort vergelijkingen lossen we op met behulp van de grafische rekenmachine (GR).
1.Voer de formule van de waterhoogte in als
2.Voer de waarde
3.Stel het window in. De vraag geeft aan dat
•
•
•
4.Gebruik de calc-functie (meestal 2nd + trace) en kies de intersect-functie. Selecteer de eerste en tweede grafiek en geef een schatting van het snijpunt door in de buurt van het snijpunt te gaan staan en driemaal op enter te drukken.
De GR zal de volgende snijpunten geven (ongeveer):
•
•
•
•
Nu moeten we deze decimale uren omzetten naar uren en minuten. We trekken het hele uur eraf en vermenigvuldigen het decimale deel met 60 om het aantal minuten te krijgen.
•
•8 hele uren.
•
•Tijdstip: 08:46 uur.
•
•11 hele uren.
•
•Tijdstip: 11:14 uur.
•
•20 hele uren.
•
•Tijdstip: 20:46 uur.
•
•23 hele uren.
•
•Tijdstip: 23:14 uur.
Vraag 5: Wat is de maximale snelheid waarmee de waterhoogte stijgt in één etmaal? Rond af op één decimaal.
De snelheid waarmee de waterhoogte stijgt, is de afgeleide van de waterhoogtefunctie
We gebruiken de GR om de afgeleide op dit punt te bepalen:
1.Zorg dat de formule van de waterhoogte nog steeds in
2.Ga naar calc en kies
3.Voer de x-waarde in waar je de helling wilt weten:
4.De GR toont de waarde van
De GR geeft dan
Nu de eenheid: de waterhoogte
De maximale snelheid waarmee de waterhoogte stijgt, is 1,3 meter per uur.
