De sinusregel

Leerdoelen

•Je kunt hoeken berekenen in een willekeurige driehoek met behulp van de sinusregel.

•Je kunt zijden berekenen in een willekeurige driehoek met behulp van de sinusregel.

•Je kunt de notatie van hoeken en zijden in een driehoek correct toepassen in de sinusregel.

•Je kunt het dubbelzinnige geval van de sinusregel herkennen en de juiste hoek bepalen.

De sinusregel

De sinusregel is een handige wiskundige formule die je kunt gebruiken om onbekende hoeken of zijden te berekenen in elke willekeurige driehoek. Dit betekent dat de driehoek niet per se een rechte hoek hoeft te hebben. Voor rechthoekige driehoeken kun je vaak de goniometrische regels zoals SOS CAS TOA (sinus, cosinus, tangens) gebruiken. De sinusregel komt juist goed van pas wanneer er geen rechte hoek in het spel is.

De formule van de sinusregel luidt:

Binnen de sinusregel, en in de geometrie van driehoeken in het algemeen, is er een specifieke manier om hoeken en zijden aan te duiden:

•De hoofdletters,enstaan voor de hoeken van de driehoek.

•De kleine letters,enstaan voor de zijden van de driehoek. Het is belangrijk te weten dat een kleine letter altijd de zijde aanduidt die tegenover de gelijknamige hoofdletter (hoek) ligt.

•is de zijde tegenover.

•is de zijde tegenover.

•is de zijde tegenover.

De sinusregel toepassen

1.Maak een schets: Als er geen afbeelding van de driehoek is gegeven, teken dan zelf een schets en noteer alle bekende gegevens (zijden en hoeken). Dit helpt je om de overstaande zijden en hoeken correct te identificeren.

2.Noteer de sinusregel: Schrijf de volledige regel op:\frac{a}{\sin(A)}=\frac{b}{\sin(B)}=\frac{c}{\sin(C)}\frac{a}{\sin(A)}=\frac{b}{å\sin(B)}=\frac{c}{\sin(C)}\frac{a}{\sin(A)}=\frac{b}{åç\sin(B)}=\frac{c}{\sin(C)}\frac{a}{\sin(A)}=\frac{b}{å\sin(B)}=\frac{c}{\sin(C)}\frac{a}{\sin(A)}=\frac{b}{\sin(B)}=\frac{c}{\sin(C)}.

3.Vul de bekende gegevens in: Vervang de letters door de waarden die je weet.

4.Selecteer het relevante deel: Omdat je meestal slechts één onbekende hebt, gebruik je maar twee delen van de formule, bijvoorbeeld\frac{a}{\sin(A)}=\frac{b}{\sin(B)}\frac{a}{\sin(A)}=\frac{b}{\sin(B)}=\frac{a}{\sin(A)}=\frac{b}{\sin(B)}=c\frac{a}{\sin(A)}=\frac{b}{\sin(B)}=\frac{c}{}\frac{a}{\sin(A)}=\frac{b}{\sin(B)}=\frac{c}{\sin}\frac{a}{\sin(A)}=\frac{b}{\sin(B)}=\frac{c}{\sin(.}\frac{a}{\sin(A)}=\frac{b}{\sin(B)}=\frac{c}{\sin(C.}\frac{a}{\sin(A)}=\frac{b}{\sin(B)}=\frac{c}{\sin(C)}. Het derde deel gebruik je niet.

5.Los de vergelijking op: Gebruik kruiselings vermenigvuldigen om de onbekende zijde of de sinus van de onbekende hoek te vinden.

6.Bereken de hoek of zijde: Als je de sinus van een hoek hebt gevonden, gebruik dan de inverse sinusfunctie\left(\sin^{-1}\right)\sin^{-1}\left(\right.\sin^{-1}\left(\right.\sin^{-1}\left(\right)\sin^{-1}\left(\right)\left(\right)op je rekenmachine om de hoek te bepalen.

7.Rond af: Rond je antwoord af op het gevraagde aantal decimalen (vaak één decimaal). Rond niet tussentijds af.

Een hoek berekenen

Stel, gegeven is\triangle ABCABCABCABCABCmet,en\angle B=68\degreeB=68\degreeB=68\degreeB=68\degreeB=68\degreeB=68\degreeB=68\degreeB=68\degreehB=68\degreehoB=68\degreehoeB=68\degreehoekB=68\degreehoekB=68hoekB=68hoekB=68hoekB=68hoekB=68hoekB=68hoekB=68ghoekB=68grhoekB=68grahoekB=68gradhoekB=68grade. Bereken\angle CCCCCCen rond af op één decimaal.

Oplossing:

1.Schets maken: Maak een schets van\triangle ABCABCABCABCABCABCABCABCdABCdrABCdriABCdrieABCdriehABCdriehoABCdriehoeABC.

2.Identificeer gegevens:

•Zijdeis de overstaande zijde van, dus.

•Zijdeis de overstaande zijde van, dus.

•\angle B=68\degree\angle=68\degree=68\degree=68\degree=68\degree=68\degree\angl=68\degree=68\degree=68\degree=68\degree=68\degree=68\degree.

•\angle CCCCCCis onbekend.

•De gegevens voor zijdeenzijn niet nodig voor deze berekening, dus dat deel van de formule gebruiken we niet.

3.Relevant deel van de sinusregel: We gebruiken\frac{b}{\sin(B)}=\frac{c}{\sin(C)}a\frac{b}{\sin(B)}=\frac{c}{\sin(C)}\frac{a}{}\frac{b}{\sin(B)}=\frac{c}{\sin(C)}\frac{a}{\sin}\frac{b}{\sin(B)}=\frac{c}{\sin(C)}\frac{a}{\sin(.}\frac{b}{\sin(B)}=\frac{c}{\sin(C)}\frac{a}{\sin(A.}\frac{b}{\sin(B)}=\frac{c}{\sin(C)}\frac{a}{\sin(A)}\frac{b}{\sin(B)}=\frac{c}{\sin(C)}\frac{a}{\sin(A)}=\frac{b}{\sin(B)}=\frac{c}{\sin(C)}.

4.Invullen: \frac{7}{\sin(68\degree)}=\frac{ 5}{ \sin(C)}\frac{7}{\sin(68)}=\frac{ 5}{ \sin(C)}\frac{7}{\sin(68)}=\frac{ 5}{ \sin(C)}\frac{7}{\sin(68)}=\frac{ 5}{ \sin(C)}

5.Kruiselings vermenigvuldigen: 7\cdot\sin(C)=5\cdot\sin(68\degree)

6.Oplossen voor: \sin(C)=\frac{5\cdot\sin(68\degree)}{7}\sin(C)=\frac{5\cdot\sin(68)}{7}\sin(C)=\frac{5\cdot si(68)}{7}\sin(C)=\frac{5\cdot s(68)}{7}\sin(C)=\frac{5\cdot(68)}{7}\sin(C)=\frac{5\cdot s(68)}{7}\sin(C)=\frac{5\cdot si(68)}{7} \sin(C)=0{,}662\ldots\sin(C)=0{,}662..\sin(C)=0{,}662.\sin(C)=0{,}662\sin(C)=0{,}662.\sin(C)=0{,}662..\sin(C)=0{,}662...\sin(C)=0{,}662..\sin(C)=0{,}662..{,}\sin(C)=0{,}662..\sin(C)=0{,}662.\sin(C)=0{,}662\sin(C)=0{,}662.\sin(C)=0{,}662..(gebruik op je rekenmachine het volledige antwoord)

7.berekenen: C=\sin^{-1}(0{,}662\ldots)C=\sin^{-1}(0{,}662..)C=\sin^{-1}(0{,}662.)C=\sin^{-1}(0{,}662)C=\sin^{-1}(0{,}662.)C=\sin^{-1}(0{,}662..)C=\sin^{-1}(0{,}662...)C=\sin^{-1}(0662...)C=\sin^{-1}(0,662...)C=(0,662...) C=41{,}47\ldots\degreeC=41{,}476\ldots\degreeC=41{,}46\ldots\degreeC=41{,}46\ldotsC=41{,}46\ldotsC=41{,}46\ldotsC=41{,}46\ldotsC=41{,}46..C=41{,}46.C=41{,}46C=41{,}46.C=41{,}46..C=41{,}46...C=4146...

8.Afronden: \angle C\thickapprox41{,}5\degree\angle C\thickapprox41{,}5\angle C\thickapprox41{,}5\angle C\thickapprox41{,}5\angle C\thickapprox41{,}5\angle C\thickapprox41{,}5\angle C\thickapprox41{,}5graden\angle C\thickapprox415graden.

Een zijde berekenen

Stel, gegeven is \triangle ABCABCABCABCABCABCmet,\angle A=65\degree\angle A=65\angle A=65\angle A=65\angle A=65\angle A=65\angle A=65g\angle A=65gr\angle A=65gra\angle A=65grad\angle A=65gradeen. Bereken zijdeen rond af op één decimaal.

Oplossing:

1.Schets maken: Maak een schets van.

2.Identificeer gegevens:

•Zijde BC is de overstaande zijde van, dus.

•.

•.

•Zijdeis de overstaande zijde van, dusis onbekend.

•De gegevens voor zijdeenzijn niet relevant voor deze berekening, dus die laten we weg.

3.Relevant deel van de sinusregel: We gebruiken\frac{a}{\sin(A)}=\frac{b}{\sin(B)}a/sin(A)=b/sin(B).

4.Invullen: \frac{11}{\sin(65\degree)}=\frac{AC}{\sin(72\degree)}\frac{11}{\sin(65\degree)}=\frac{AC}{\sin(72)}

5.Oplossen voor: AC=\frac{11\cdot\sin(72\degree)}{\sin(65\degree)}AC=\frac{11\cdot\sin(72\degree)}{\sin(65)} AC=11{,}54\ldotsAC=11{,}5\ldotsAC=11{,}50\ldotsAC=11{,}50..AC=11{,}50.AC=11{,}50AC=11{,}50.AC=11{,}50..

6.Afronden: .

Het dubbelzinnige geval

Soms krijg je bij het berekenen van een hoek met de sinusregel een antwoord van je rekenmachine dat niet lijkt te kloppen met de tekening van de driehoek. Dit komt doordat voor de sinus de volgende regel geldt:. Je rekenmachine geeft altijd de kleinste (scherpe) hoek terug. Dit fenomeen wordt het dubbelzinnige geval genoemd. Het is cruciaal om dit te controleren, vooral als de tekening in de opgave een stompe hoek suggereert.

Een stompe hoek berekenen

Stel, gegeven ismet,en. Berekenen rond af op één decimaal. Op de bijbehorende afbeelding is te zien dateen stompe hoek is.

Oplossing:

1.Identificeer gegevens:

•Zijdeis.

•Zijdeis.

•.

•is onbekend.

2.Relevant deel van de sinusregel: We gebruiken\frac{a}{\sin(A)}=\frac{b}{\sin(B)}.

3.Invullen: \frac{5}{\sin(21\degree)}=\frac{13}{\sin(B)}

4.Kruiselings vermenigvuldigen: 5\cdot\sin(B)=13\cdot\sin(21\degree)

5.Oplossen voor: \sin(B)=\frac{13\cdot\sin(21\degree)}{5} \sin(B)=0{,}931\ldots\sin(B)=0{,}31\ldots\sin(B)=031\ldots\sin(B)=0{,}31\ldots\sin(B)=0{,}931\ldots\sin(B)=0{,}931..\sin(B)=0{,}931.\sin(B)=0{,}931\sin(B)=0{,}931.\sin(B)=0{,}931..(gebruik op je rekenmachine het volledige antwoord)

6.berekenen (rekenmachine): \angle B=\sin^{-1}(0{{,}931\ldots)}\angle B=\sin^{-1}(0{1{,}931\ldots)}\angle B=\sin^{-1}(0{1{,}31\ldots)}\angle B=\sin^{-1}(0{131\ldots)}\angle B=\sin^{-1}(0{31\ldots)}\angle B=\sin^{-1}(0{,31\ldots)}\angle B=\sin^{-1}(0{31\ldots)}\angle B=\sin^{-1}(0{,31\ldots)}\angle B=\sin^{-1}(0{,931\ldots)}\angle B=\sin^{-1}(0{,31\ldots)}\angle B=\sin^{-1}(0{31\ldots)}\angle B=\sin^{-1}(0{{,}31\ldots)}\angle B=\sin^{-1}(0{{,}931\ldots)}B=\sin^{-1}(0{{,}931\ldots)}B=\sin^{-1}(0{{,}931\ldots)}B=\sin^{-1}(0{{,}931\ldots)}B=\sin^{-1}(0{{,}931\ldots)}B=\sin^{-1}(0{{,}931\ldots)}B=\sin^{-1}(0{{,}931\ldots)}B=\sin^{-1}(0{{,}931\ldots)}\anglk B=\sin^{-1}(0{{,}931\ldots)}B=\sin^{-1}(0{{,}931\ldots)}B=\sin^{-1}(0{{,}931\ldots)}B=\sin^{-1}(0{{,}931\ldots)}B=\sin^{-1}(0{{,}931\ldots)}B=\sin^{-1}(0{{,}931\ldots)}B=\sin^{-1}(0{{,}931..)}B=\sin^{-1}(0{{,}931.)}B=\sin^{-1}(0{{,}931)}B=\sin^{-1}(0{{,}931.)}B=\sin^{-1}(0{{,}931..)}B=\sin^{-1}(0{{,}931...)}B=\sin^{-1}(0{1{,}931...)}B=\sin^{-1}(0{1931...)}B=\sin^{-1}(0{931...)}B=\sin^{-1}(0{,931...)}B=\sin^{-1}(0{931...)}B=\sin^{-1}(0{,931...)}B=\sin^{-1}(0{,31...)}B=\sin^{-1}(0{31...)}B=\sin^{-1}(0{,31...)}B=\sin^{-1}(0{,931...)}B=\sin^{-1}(0{931...)}B=\sin^{-1}(0{,931...)B=(0{,931...)B=s(0{,931...)B=si(0{,931...)B=sin(0{,931...)B=sin^{}(0{,931...)B=sin^{-}(0{,931...) \angle B=68{,}71\ldots\degree\angle B=68{,}71..\degree\angle B=68{,}71.\degree\angle B=68{,}71\degreeB=68{,}71\degreeB=68{,}71B=68{,}71B=68{,}71B=68{,}71B=68{,}71B=68{,}71.B=68{,}71..B=68{,}71...

Controleren met de tekening: Je rekenmachine geeft68{,}71\ldots\degree68{,}1\ldots\degree681\ldots\degree68{,}1\ldots\degree68{,}{}1\ldots\degree68{,}{}71\ldots\degree68{,}{}71..\degree68{,}{}71.\degree68{,}{}71\degree68{,}{}7\degree68{}7\degree68.{}7\degree68{}7\degree6.8{}7\degree68{}7\degree68{},7\degree68{}7\degree, wat een scherpe hoek is. Echter, de gegeven tekening toont een stompe. Dit is het dubbelzinnige geval.

De correcte, stompe hoek bereken je door de uitkomst van de rekenmachine af te trekken van: \angle B=180-68{,}71\ldots\angle B=180-68{,}71..\angle B=180-68{,}71.\angle B=180-68{,}71\angle B=180-68{,}71.\angle B=180-68{,}71..\angle B=180-68{,}71...\angle B=180-6871... \angle B\approx111{,}28\ldots\angle B\approx111{,}28..\angle B\approx111{,}28.\angle B\approx111{,}28\angle B\approx111{,}28.\angle B\approx111{,}28..\angle B\approx111{,}28...\angle B\approx11128...\angle B\approx111,28...\angle B111,28...\angle B111,28...\angle B111,28...\angle B111,28...\angle B111,28... Afronden: \angle B\thickapprox111{,}3\degree\angle B\thickapprox1113\degree.

Soms wordt er in een vraag expliciet gevraagd naar "twee mogelijke opties voor hoek B". In zo'n geval geef je zowel de scherpe als de stompe hoek op.