Differentieerf\left(x\right)=-\frac12x^2-2x^5+\frac13x^3-7x+1f\left(x\right)=-\frac12x^2-2x^5+\frac13x^3-7x+f\left(x\right)=-\frac12x^2-2x^5+\frac13x^3-7xf\left(x\right)=-\frac12x^2-2x^5+\frac13x^3-7f\left(x\right)=-\frac12x^2-2x^5+\frac13x^3-f\left(x\right)=-\frac12x^2-2x^5+\frac13x^3f\left(x\right)=-\frac12x^2-2x^5+\frac13xf\left(x\right)=-\frac12x^2-2x^5+\frac13f\left(x\right)=-\frac12x^2-2x^5+\frac{1}{\placeholder{}}f\left(x\right)=-\frac12x^2-2x^5+1f\left(x\right)=-\frac12x^2-2x^5+f\left(x\right)=-\frac12x^2-2x^5f\left(x\right)=-\frac12x^2-2xf\left(x\right)=-\frac12x^2-2f\left(x\right)=-\frac12x^2-f\left(x\right)=-\frac12x^2f\left(x\right)=-\frac12xf\left(x\right)=-\frac12f\left(x\right)=-\frac{1}{\placeholder{}}f\left(x\right)=-1f\left(x\right)=-f\left(x\right)=f\left(x\right)f\left(x-\right)f\left(x\right)f\left(\right)f\left(c\right)f\left(\right)f\left(\right.\left(\right)\left(\right)f\left(\right?^{}^{\prime}^{\prime}f'
De afgeleide van f\left(x\right)=ax^{n}f\left(x\right)=axf\left(x\right)=af\left(x\right)=f\left(x\right)f\left(\right)ff=f
In deze les leer je hoe je de afgeleide van een functie van de vorm kunt berekenen, waarbij positieve gehele getallen zijn. Je leert de regels voor differentiatie toe te passen in verschillende voorbeelden.
Wat is een afgeleide?
De afgeleide van een functie geeft de helling van de grafiek op een bepaald punt aan. Wanneer we werken met een functie van de vorm , gebruiken we de volgende differentiatieregel:
De afgeleide van wordt gegeven door:
Hierbij vermenigvuldig je de coëfficiënt met de exponent en verlaag je de exponent met .
Voorbeeld 1: Berekening van de afgeleide
Gegeven de functie:
Laten we deze functie differentiëren:
•De afgeleide van (6x^5)=5\cdot6x^{5-1}=30x^4(6x^5)=5\cdot x^{5-1}=30x^4(6x^5)=5\cdot5x^{5-1}=30x^4(6x^5)=\cdot5x^{5-1}=30x^4(6x^5)=6\cdot5x^{5-1}=30x^4(6x^5)=65x^{5-1}=30x^4(6x^5)=6\times5x^{5-1}=30x^4(6x^5)=(6\times5x^{5-1}=30x^4(6x^5)(6\times5x^{5-1}=30x^4(6x^5)i(6\times5x^{5-1}=30x^4.
•Voor is de afgeleide 3\cdot4x^{4-1}=12x^334x^{4-1}=12x^3.
•De afgeleide van -7x=-7-7x=(-7-7x)=(-7-7x)(-7-7x)i(-7.
•De constante\left(+5\right)+5) verdwijnt, omdat de afgeleide van een constante altijd is.
Daarom is de afgeleide van de functie:
Voorbeeld 2: Afgeleide met meerdere variabelen
Gegeven de functie:
g(x)=-4tx^7+x^5-3tx^2+tx-2tg(x)=-4tx^7+x^5-3tx^2+x-2t
Hierin beschouwen we \left(t\right)\left(\right)t\left(\right? als een constante en \left(x\right)x) als de variabele:
•Voor is de afgeleide(-4t\cdot7x^{7-1}=-28tx^6).(-4t7x^{7-1}=-28tx^6).
•Voor is de afgeleide
•De afgeleide van is -3t\cdot2x^{2-1}=-6tx-3t2x^{2-1}=-6tx.
•Voor txxis de afgeleide t en de constante verdwijnt.
Daarom is de afgeleide:
g^{\prime}(x)=-28tx^6+5x^4-6tx+tg^{\prime}(x)=-28tx^6+5x^4-6tx+
.
Berekenen van hellingen
Voorbeeld 3a Helling bij een bepaalde waarde
Gegeven de functie:
Je kunt de helling berekenen voor door eerst de afgeleide te bepalen en vervolgens in te vullen.
f^{\prime}\left(x\right)=-x^2+8x-13f^{\prime}\left(x\right)=-x^2+8x-1f^{\prime}\left(x\right)=-x^2+8x-f^{\prime}\left(x\right)=-x^2+8xf^{\prime}\left(x\right)=-x^2+8f^{\prime}\left(x\right)=-x^2+f^{\prime}\left(x\right)=-x^2f^{\prime}\left(x\right)=-xf^{\prime}\left(x\right)=-f^{\prime}\left(x\right)=-2f^{\prime}\left(x\right)=-f^{\prime}\left(x\right)=f^{\prime}\left(x\right)f^{\prime}\left(\right)f^{\prime}fF
f^{\prime}\left(3\right)=\left(-3\right)^2+8\cdot3-13f^{\prime}\left(3\right)=\left(-3\right)^2+8\cdot3-1f^{\prime}\left(3\right)=\left(-3\right)^2+8\cdot3-f^{\prime}\left(3\right)=\left(-3\right)^2+8\cdot3f^{\prime}\left(3\right)=\left(-3\right)^2+8\cdotf^{\prime}\left(3\right)=\left(-3\right)^2+8f^{\prime}\left(3\right)=\left(-3\right)^2+f^{\prime}\left(3\right)=\left(-3\right)^2f^{\prime}\left(3\right)=\left(-3\right)f^{\prime}\left(3\right)=\left(-\right)f^{\prime}\left(3\right)=\left(\right)f^{\prime}\left(3\right)=f^{\prime}\left(3\right)=-f^{\prime}\left(3\right)=f^{\prime}\left(3\right)f^{\prime}\left(\right)f^{\prime}f
f^{\prime}\left(3\right)=2f^{\prime}\left(3\right)=f^{\prime}\left(3\right)f^{\prime}\left(\right)f^{\prime}f^{}^{f}^{f^{}}^{f^{\prime}}^{f}^{}'ff\text{''}ff\text{''}f\text{'' }f\text{''}f
Voor x=3x=xis de helling gelijk aan 2.
Voorbeeld 3b: Helling gelijk aan bepaalde waarde
Nu willen we weten voor welke de helling van gelijk is aan .
Stel de afgeleide functie gelijk aan .
f^{\prime}\left(x\right)=-x^3+8x-13f^{\prime}\left(x\right)=-x^3+8x-1f^{\prime}\left(x\right)=-x^3+8x-f^{\prime}\left(x\right)=-x^3+8xf^{\prime}\left(x\right)=-x^3+8f^{\prime}\left(x\right)=-x^3+f^{\prime}\left(x\right)=-x^3f^{\prime}\left(x\right)=-xf^{\prime}\left(x\right)=-f^{\prime}\left(x\right)=f^{\prime}\left(x\right)f^{\prime}\left(\right)f^{\prime}f
f^{\prime}\left(x\right)=3f^{\prime}\left(x\right)=f^{\prime}\left(x\right)f^{\prime}\left(\right)f^{\prime}f geeft -x^2+8x-13=3-x^2+8x-13=-x^2+8x-13-x^2+8x-1-x^2+8x--x^2+8x-x^2+8-x^2+-x^2-x^{}-x^3-x^{32}-x^3-x-
-x^2+8x-16=0-x^2+8x-16=-x^2+8x-16-x^2+8x-1-x^2+8x--x^2+8x-x^2+8-x^2+-x^2-x-
x^2-8x+16=0x^2-8x+16=x^2-8x+16x^2-8x+1x^2-8x+x^2-8xx^2-8x^2-x^2x
\left(x-4\right)\left(x-4\right)=0\left(x-4\right)\left(x-4\right)=\left(x-4\right)\left(x-4\right)\left(x-4\right)\left(x-\right)\left(x-4\right)\left(x\right)\left(x-4\right)\left(\right)\left(x-4\right)\left(\right)x-4\left(\right)x-\left(\right)x\left(\right?
x=4x=x
Voor is de helling van grafiek van gelijk aan
