De afgeleide van f\left(x\right)=ax^{n}
In deze les leer je hoe je de afgeleide van een functie van de vormf(x) = ax^nkunt berekenen, waarbijnpositieve gehele getallen zijn. Je leert de regels voor differentiatie toe te passen in verschillende voorbeelden.
Wat is een afgeleide?
De afgeleide van een functie geeft de helling van de grafiek op een bepaald punt aan. Wanneer we werken met een functie van de vormax^{n},gebruiken we de volgende differentiatieregel:
De afgeleide vanax^nwordt gegeven door:
f'(x) = n \cdot a \cdot x^{n-1}
Hierbij vermenigvuldig je de coëfficiëntamet de exponentnen verlaag je de exponent met1.
Voorbeeld 1: Berekening van de afgeleide
Gegeven de functie:
f(x) = 6x^5 + 3x^4 - 7x + 5 - 9
Laten we deze functie differentiëren:
•De afgeleide van6x^5=5\cdot6x^{5-1}=30x^4.
•Voor3x^4is de afgeleide3\cdot4x^{4-1}=12x^3.
•De afgeleide van-7x=-7.
•De constante\left(+5\right)verdwijnt, omdat de afgeleide van een constante altijd0is.
Daarom is de afgeleide van de functie:
f'(x) = 30x^4 + 12x^3 - 7
Voorbeeld 2: Afgeleide met meerdere variabelen
Gegeven de functie:
g(x)=-4tx^7+x^5-3tx^2+tx-2t
Hierin beschouwen wetals een constante enxals de variabele:
•Voor-4t x^7is de afgeleide-4t\cdot7x^{7-1}=-28tx^6.
•Voorx^5is de afgeleide5x^{5-1}=5x^4.
•De afgeleide van-3tx^2is-3t\cdot2x^{2-1}=-6tx.
•Voortxis de afgeleideten de constante-2tverdwijnt.
Daarom is de afgeleide:
g^{\prime}(x)=-28tx^6+5x^4-6tx+t
Berekenen van hellingen
Voorbeeld 3a: Helling bij een bepaalde waarde
Gegeven de functie:
f(x) = -\frac{1}{3} x^3 + 4x^2 - 13x + 7
Je kunt de helling berekenen voorx = 3door eerst de afgeleide te bepalen en vervolgensx = 3 in te vullen.
f^{\prime}\left(x\right)=-x^2+8x-13
f^{\prime}\left(3\right)=\left(-3\right)^2+8\cdot3-13
f^{\prime}\left(3\right)=2
Voorx=3is de helling gelijk aan2.
Voorbeeld 3b: Helling gelijk aan bepaalde waarde
Nu willen we weten voor welkexde helling vanf(x)gelijk is aan3.
Stel de afgeleide functie gelijk aan3.
f^{\prime}\left(x\right)=-x^3+8x-13
f^{\prime}\left(x\right)=3geeft-x^2+8x-13=3
-x^2+8x-16=0
x^2-8x+16=0
\left(x-4\right)\left(x-4\right)=0
x=4
Voorx=4is de helling van grafiek vanfgelijk aan3.
