Leerdoelen
•Je kunt met behulp van de afgeleide extreme waarden aantonen.
Aantonen van extreme waarden met de afgeleide
Voorbeeld 1: Functie f(x)
We beginnen met de functief(x)=x^5-2x^3+x-8f(x)=x^5-2x^3+x-8.f(x)=x^5-2x^3+x-8).. Het doel is om aan te tonen dat de afgeleide, genoteerd alsf^{\prime}(x),(f^{\prime}(x),gelijk is aanvoorx=-1x=-1.(x=-1..
Eerst berekenen we de afgeleide van elk component:
•De afgeleide vanis5x^45x^4.(5x^4..
•De afgeleide vanis-6x^2-6x^2.-6x^2)..
•De afgeleide vanis1.
•De afgeleide van een constante, zoalsis0.
Dus, de afgeleide functie is:.
Dan vullen wein de afgeleide in:
Reken dit uit:
•
•
•
Dus de helling isbijx=-1,(x=-1,wat betekent dat er een extreme waarde is. In de grafiek vanzien we dat dit een maximum is.
Voorbeeld 2: Functie g(x)
Nu bekijken we de functieg(x)=\frac{1}{7}x^7-1{,}5x^4-16x+12g(x)=\frac{1}{7}x^7-1{,}5x^4-16x+12.g(x)=\frac{1}{7}x^7-15x^4-16x+12.g(x)=\frac{1}{7}x^7-1.5x^4-16x+12.g(x)=\frac{1}{7}x^7-1.5x^4-16x+12).. We willen aantonen dat er een extreme waarde is voorx=2x=2.(x=2..
Eerst berekenen we de afgeleide van elk component:
•De afgeleide vanisx^6x^6.(x^6..
•De afgeleide van-1{,}5x^4-15x^4is-6x^3-6x^3.(-6x^3..
•De afgeleide vanis-16.
•De afgeleide vanis0.
Dus, de afgeleide functie is:.
Dan vullen wein de afgeleide in:g^{\prime}(2)=2^6-6\cdot2^3-16g^{\prime}(2)=2^6-62^3-16g^{\prime}(2)=2^6-62^3-16g^{\prime}(2)=2^6-62^3-16g^{\prime}(2)=2^6-62^3-16g^{\prime}(2)=2^6-62^3-16g^{\prime}(2)=2^6-62^3-16g^{\prime}(2)=2^6-62^3-16g^{\prime}(2)=2^6-62^3-16g^{\prime}(2)=2^6-62^3-16g^{\prime}(2)=2^6-62^3-16
Reken dit uit:
•
•6\cdot2^3=6\cdot8=486\cdot2^3=6\cdot=486\cdot2^3=6=486\cdot2^3==486\cdot2^3=4862^3=4862^3=4862^3=4862^3=4862^3=4862^3=48
•
Dus de helling isbijx=2,(x=2,wat betekent dat er een extreme waarde is. In de grafiek vanzien we dat dit een minimum is.
