Goniometrie
\begin{aligned} & \sin (t+u)=\sin (t) \cos (u)+\cos (t) \sin (u) \\ & \sin (t-u)=\sin (t) \cos (u)-\cos (t) \sin (u) \\ & \cos (t+u)=\cos (t) \cos (u)-\sin (t) \sin (u) \\ & \cos (t-u)=\cos (t) \cos (u)+\sin (t) \sin (u) \\ & \sin (2 t)=2 \sin (t) \cos (t) \\ & \cos (2 t)=\cos ^{2}(t)-\sin ^{2}(t)=2 \cos ^{2}(t)-1=1-2 \sin ^{2}(t) \end{aligned}
De Wet van Titius-Bode 1) is een wet uit de astronomie die door Johann Titius werd opgesteld in de achttiende eeuw. Deze wet legt een verband tussen het rangnummer van een planeet en de afstand van die planeet tot de zon. Met het rangnummer van een planeet wordt bedoeld: 'de zoveelste planeet geteld vanaf de zon'. De planeet die het dichtst bij de zon staat krijgt nummer 1, de volgende 2 enzovoorts.
De wet luidt:
a=0,4+0,3 \cdot 2^{n-2}
Hierin is$ade afstand van de planeet tot de zon uitgedrukt in AE (Astronomische Eenheid, 1 AE = afstand van de aarde tot de zon) en is$nhet rangnummer van de planeet.
noot 1 Er is geen wetenschappelijke onderbouwing voor deze wet en er wordt tegenwoordig aangenomen dat de wet alleen berust op een toevallige overeenkomst met de werkelijke afstanden.
We bekijken de planeten Mars, Venus en de aarde.
We gaan uit van het volgende eenvoudige model:
De drie planeten draaien ieder in een cirkelvormige baan met de zon als middelpunt. De drie banen liggen in één plat vlak.
De afstand van Venus tot de zon is$0{,}7 \mathrm{AE}, de afstand van de aarde tot de zon is1{,}0\mathrm{AE}1{,}\mathrm{AE}1{,}1\mathrm{AE}{,}1\mathrm{AE}0{,}1\mathrm{AE}0{,}\mathrm{AE}$0{,}7 \mathrm{AE}, en de afstand van Mars tot de zon is$1{,}6 \mathrm{AE}.
Het is mogelijk dat de drie planeten op één lijn liggen waarbij Venus precies midden tussen Mars en de aarde in ligt. Deze situatie is weergegeven in figuur 1.
De afstand in AE van de aarde tot Venus is$den hoek$A V Zin graden is$\alpha.
Met behulp van figuur 1 kan het volgende verband tussen$den$\alphaworden gevonden:
\frac{d^{2}-0,51}{\cos (\alpha)}=\frac{d^{2}-2,07}{\cos (180^{\circ}-\alpha)}
Bewijs dat dit verband juist is.
Op deze pagina behandelen we vraag 16 van het centraal examen wiskunde B vwo 2024 – tijdvak 1. Deze vraag is onderdeel van Vereenvoudigde sterrenkunde, en is 3 punten waard.
Je kunt hier zelf het antwoord invullen en vervolgens direct de uitwerking en uitleg bekijken.
Daarnaast kun je:
