Vraag 8

Deze methode om het laagste totale aantal tests te bepalen wordt ook gebruikt bij het testen op andere soorten besmetting. De fractie besmette monsters wordt daarbij steeds voorgesteld door de variabelep(met0 \leq p \leq 1). Voor de eerder genoemde besmetting door teken geldt dat ongeveer20 \%besmet is, dus wordt gerekend metp=0{,}2.

Als er niet1000, maarNmonsters worden getest, dan ziet formule 1 er voor willekeurigepals volgt uit:

\left.T(n)=N\cdot(1+\frac{1}{n}-(1-p)^{n})\text{ (formule }2\text{)}\right.

Hierin isT(n)het verwachte totale aantal tests,nhet aantal monsters dat wordt samengevoegd enpde fractie besmette monsters.

In de praktijk werkt men in een laboratorium niet met de formule, maar met een tabel. Als bekend is welke fractie van de teken\left(p\right)besmet is, dan kan in zo'n tabel worden afgelezen voor welke waarde vannhet verwachte totale aantal tests(T(n))zo laag mogelijk is.

Om die laagste waarde te vinden wordt bepaald bij welke waarde vanpgeldt:T(n)=T(n+1).

Er geldt dan het volgende verband:

n(n+1)\cdot p(1-p)^{n}=1\text{ (formule }3\text{)}

Met behulp van formule 3 kunnen de grenswaarden voorpworden bepaald. Voor een aantal waarden vannstaan de grenswaarden voorpweergegeven in de tabel hiernaast. In de tabel is bijvoorbeeld te zien dat voor waarden vanptussen0{,}0411en0{,}0656bij een keuze vann=5het totale aantal tests zo klein mogelijk is.

Van een bepaalde besmetting is bekend datp=0{,}025. Men wil dat het verwachte totale aantal tests niet groter is dan750. Met behulp van de tabel en formule 2 kan nu worden berekend van maximaal hoeveel monstersNbepaald kan worden of ze besmet zijn of niet.