Vraag 13

Een vulkaan kan op verschillende manieren tot uitbarsting komen. Bij een zogenoemde plinische uitbarsting wordt de druk binnen de vulkaan steeds groter totdat de vulkaan met groot geweld tot uitbarsting komt. Bij de uitbarsting worden brokken gesmolten steen weggeslingerd die lavabommen worden genoemd.

In een model van de baan van een lavabom wordt ervan uitgegaan dat op het moment van de uitbarsting alle lavabommen een snelheid hebben van210\text{ meter per seconde}. Een tweede uitgangspunt is dat elke lavabom een parabolische baan beschrijft. De hoogte van de vulkaan ten opzichte van de grond is2000\text{ meter}.

In figuur 1 zie je de banen van een aantal lavabommen die in het vlak door dex\text{-as}en dey\text{-as}bewegen.

De bewegingsvergelijkingen van een lavabom hangen af van de richting waarin de lavabom tijdens de uitbarsting wordt weggeslingerd. In het model worden de volgende bewegingsvergelijkingen als uitgangspunt genomen:

\left\{\begin{array}{l}x(t)=210\cos(\alpha)\cdot t\\ y(t)=2000+210\sin(\alpha)\cdot t-4{,}9t^2\end{array}\right.(1)

Hierbij is\alphade hoek die de baan van de lavabom op het moment van wegslingeren maakt met een horizontale lijn, waarbij0<\alpha<\pi.

Verder istde tijd in seconden (waarbijt=0het moment van wegslingeren is) en zijnx(t)eny(t)in meters.

Uitgaande van stelsel 1 kan dey-coördinaat van de baan worden uitgedrukt inxena. Er geldt (voora\ne\frac12\pi):

y=2000+\tan\left(\alpha\right)\cdot x-\frac{1}{9000\cos^2\left(\alpha\right)}\cdot x^2(2)