Redeneren met formules

Leerdoelen

•Je kunt redeneren zonder getallenvoorbeeld.

•Je kunt redeneren met formules met breuken.

•Je kunt redeneren met formules met machten.

•Je kunt redeneren met formules met wortels.

•Je kunt redeneren met exponentiële formules.

Redeneren met breuken in formules

Een breuk in een formule kan invloed hebben op de waarde van de hele formule. Stel we hebben de formuley=14-\frac{22}{3x}y=14-y=14-y=14-y=14-y=14-y=14-y=14-y=14-y=14-y=14-y=14-y=14-y=14-y=14-y = 14 - \large{\frac{22}{3x}}y=14-y = 14 - \large{\frac{22}{3x}}, en we willen weten wat er gebeurt met y als x toeneemt. Als x toeneemt, neemt de term 3x ook toe, omdat het met x wordt vermenigvuldigd. Omdat 3x de noemer van de breuk is en de teller constant blijft, neemt de waarde van de breuk af naarmate de 3x toeneemt, omdat je deelt door een groter getal. Terwijl de breuk afneemt, wordt er een steeds kleiner getal van 14 afgetrokken, waardoor de waarde van y groter wordt als de waarde van x toeneemt. In dit voorbeeld nadert y naar 14 wanneer x zeer groot wordt.

Redeneren met machten in formules

Net als bij breuken, kunnen machten in formules ook de waarde van de hele formule beïnvloeden. Stel je voor dat we de formuley=25-2x^4y=25-2x^{}y=25-2x^2y=25-2xhebben. Als x toeneemt, neemt ookx^4xtoe. Vervolgens wordt er een steeds groter getal van 25 afgetrokken. Dit zorgt ervoor dat de waarde van y kleiner wordt, als x groter wordt.

Het effect van halvering op formules

Als we kijken naar de formuley=\frac{216}{x^2}y=\large{\frac{216}{x^{2}}}\frac{216}{x^2}y=\large{\frac{216}{x^{2}}}y=\large{\frac{216}{x^{2}}}y=\large{\frac{216}{x^{2}}}y=\large{\frac{216}{x^{2}}}y=\large{\frac{216}{x^{2}}}y=\large{\frac{216}{x^{2}}}y=\large{\frac{216}{x^{2}}}y=\large{\frac{216}{x^{2}}}y=\large{\frac{216}{x^{2}}}y=\large{\frac{216}{x^{2}}}y=\large{\frac{216}{x^{2}}}y=\large{\frac{216}{x^{2}}}y=\large{\frac{216}{x^{2}}}y=\large{\frac{216}{x^{2}}}y=\large{\frac{216}{x^{2}}}y=\large{\frac{216}{x^{2}}}y=\large{\frac{216}{x^{2}}}y = \large{\frac{216}{x^{2}}}en we de waarde van x halveren, wordt het eindresultaat verviervoudigd. Dit komt doordat\left(0{,}5\cdot x\right)^2\left(0{,}5\cdot x\right)\left(0{,}5\cdot x\right)\left(0{,}5\cdot\right)\left(0{,}5\right)\left(0{,}\right)\left(0\right)\left(0.\right)\left(0.5\right)\left(0.\right)\left(0\right)\left(\right)gelijk is aan0{,}25x^20{,}25x0{,}250{,}20{,}00.0Omdat dit getal onder de deelstreep staat, geldt \frac{216}{0{,}25x^2}=\frac{1}{0{,}25}\cdot\frac{216}{x^2}=4\cdot\frac{216}{x^2}y\frac{216}{0{,}25x^2}=\frac{1}{0{,}25}\cdot\frac{216}{x^2}=4\cdot\frac{216}{x^2}y=\frac{216}{0{,}25x^2}=\frac{1}{0{,}25}\cdot\frac{216}{x^2}=4\cdot\frac{216}{x^2}y\frac{216}{0{,}25x^2}=\frac{1}{0{,}25}\cdot\frac{216}{x^2}=4\cdot\frac{216}{x^2}y=\frac{216}{\left(0{,}5x\right)^2}=\frac{216}{0{,}25x^2}=\frac{1}{0{,}25}\cdot\frac{216}{x^2}=4\cdot\frac{216}{x^2}y=\frac{216}{\left(0{,}5x\right)^2}=\frac{216}{0{,}25x^2}=\frac{1}{0{,}25}\cdot\frac{216}{x^2}=4\cdot\frac{216}{x}y=\frac{216}{\left(0{,}5x\right)^2}=\frac{216}{0{,}25x^2}=\frac{1}{0{,}25}\cdot\frac{216}{x^2}=4\cdot\frac{216}{\placeholder{}}y=\frac{216}{\left(0{,}5x\right)^2}=\frac{216}{0{,}25x^2}=\frac{1}{0{,}25}\cdot\frac{216}{x^2}=4\cdot216y=\frac{216}{\left(0{,}5x\right)^2}=\frac{216}{0{,}25x^2}=\frac{1}{0{,}25}\cdot\frac{216}{x^2}=4\cdot x2216y=\frac{216}{\left(0{,}5x\right)^2}=\frac{216}{0{,}25x^2}=\frac{1}{0{,}25}\cdot\frac{216}{x}=4\cdot x2216y=\frac{216}{\left(0{,}5x\right)^2}=\frac{216}{0{,}25x^2}=\frac{1}{0{,}25}\cdot\frac{216}{\placeholder{}}=4\cdot x2216y=\frac{216}{\left(0{,}5x\right)^2}=\frac{216}{0{,}25x^2}=\frac{1}{0{,}25}\cdot216=4\cdot x2216y=\frac{216}{\left(0{,}5x\right)^2}=\frac{216}{0{,}25x^2}=\frac{1}{0{,}25}\cdot x216=4\cdot x2216y=\frac{216}{\left(0{,}5x\right)^2}=\frac{216}{0{,}25x^2}=\frac{1}{0{,}25}\cdot x2216=4\cdot x2216y=\frac{216}{\left(0{,}5x\right)^2}=\frac{216}{0{,}25x^2}=\frac{1}{0{,}2}\cdot x2216=4\cdot x2216y=\frac{216}{\left(0{,}5x\right)^2}=\frac{216}{0{,}25x^2}=\frac{1}{0{,}}\cdot x2216=4\cdot x2216y=\frac{216}{\left(0{,}5x\right)^2}=\frac{216}{0{,}25x^2}=\frac10\cdot x2216=4\cdot x2216y=\frac{216}{\left(0{,}5x\right)^2}=\frac{216}{0{,}25x^2}=\frac{1}{\placeholder{}}\cdot x2216=4\cdot x2216y=\frac{216}{\left(0{,}5x\right)^2}=\frac{216}{0{,}25x^2}=1\cdot x2216=4\cdot x2216y=\frac{216}{\left(0{,}5x\right)^2}=\frac{216}{0{,}25x^2}=\cdot x2216=4\cdot x2216y=\frac{216}{\left(0{,}5x\right)^2}=\frac{216}{0{,}25x^2}=0\cdot x2216=4\cdot x2216y=\frac{216}{\left(0{,}5x\right)^2}=\frac{216}{0{,}25x^2}=0,\cdot x2216=4\cdot x2216y=\frac{216}{\left(0{,}5x\right)^2}=\frac{216}{0{,}25x^2}=0,2\cdot x2216=4\cdot x2216y=\frac{216}{\left(0{,}5x\right)^2}=\frac{216}{0{,}25x^2}=0,25\cdot x2216=4\cdot x2216y=\frac{216}{\left(0{,}5x\right)^2}=\frac{216}{0{,}25x^2}=0,251\cdot x2216=4\cdot x2216y=\frac{216}{\left(0{,}5x\right)^2}=\frac{216}{0{,}25x}=0,251\cdot x2216=4\cdot x2216y=\frac{216}{\left(0{,}5x\right)^2}=\frac{216}{0{,}25}=0,251\cdot x2216=4\cdot x2216y=\frac{216}{\left(0{,}5x\right)^2}=\frac{216}{0{,}2}=0,251\cdot x2216=4\cdot x2216y=\frac{216}{\left(0{,}5x\right)^2}=\frac{216}{0{,}}=0,251\cdot x2216=4\cdot x2216y=\frac{216}{\left(0{,}5x\right)^2}=\frac{216}{0}=0,251\cdot x2216=4\cdot x2216y=\frac{216}{\left(0{,}5x\right)^2}=\frac{216}{\placeholder{}}=0,251\cdot x2216=4\cdot x2216y=\frac{216}{\left(0{,}5x\right)^2}=216=0,251\cdot x2216=4\cdot x2216y=\frac{216}{\left(0{,}5x\right)^2}=0216=0,251\cdot x2216=4\cdot x2216y=\frac{216}{\left(0{,}5x\right)^2}=0,216=0,251\cdot x2216=4\cdot x2216y=\frac{216}{\left(0{,}5x\right)^2}=0,2216=0,251\cdot x2216=4\cdot x2216y=\frac{216}{\left(0{,}5x\right)^2}=0,25216=0,251\cdot x2216=4\cdot x2216y=\frac{216}{\left(0{,}5x\right)^2}=0,25x216=0,251\cdot x2216=4\cdot x2216y=\frac{216}{\left(0{,}5x\right)^2}=0,25x2216=0,251\cdot x2216=4\cdot x2216y=\frac{216}{\left(0{,}5x\right)}=0,25x2216=0,251\cdot x2216=4\cdot x2216y=\frac{216}{\left(0{,}5x\right)}=0,25x2216=0,251\cdot x2216=4\cdot x2216y=\frac{216}{\left(0{,}5\right)}=0,25x2216=0,251\cdot x2216=4\cdot x2216y=\frac{216}{\left(0{,}\right)}=0,25x2216=0,251\cdot x2216=4\cdot x2216y=\frac{216}{\left(0\right)}=0,25x2216=0,251\cdot x2216=4\cdot x2216y=\frac{216}{\left(0.\right)}=0,25x2216=0,251\cdot x2216=4\cdot x2216y=\frac{216}{\left(0\right)}=0,25x2216=0,251\cdot x2216=4\cdot x2216y=\frac{216}{\left(\placeholder{}\right)}=0,25x2216=0,251\cdot x2216=4\cdot x2216y=\frac{216}{\placeholder{}}=0,25x2216=0,251\cdot x2216=4\cdot x2216y=216=0,25x2216=0,251\cdot x2216=4\cdot x2216y=2216=0,25x2216=0,251\cdot x2216=4\cdot x2216y=(2216=0,25x2216=0,251\cdot x2216=4\cdot x2216y=(02216=0,25x2216=0,251\cdot x2216=4\cdot x2216y=(0,2216=0,25x2216=0,251\cdot x2216=4\cdot x2216y=(0,52216=0,25x2216=0,251\cdot x2216=4\cdot x2216y=(0,5x2216=0,25x2216=0,251\cdot x2216=4\cdot x2216. Dit is een verviervoudiging van het eindresultaat.

Redeneren met wortels in formules

Een wortel in formules geeft een specifiek bereik van resultaten. Het getal onder het wortelteken moet groter dan of gelijk aan 0 zijn. In de formuley = 27 + \sqrt{23 - x}, is x maximaal 23. Als x kleiner wordt, wordt het getal onder de wortel groter en dus wordt y groter. Als x groter wordt, wordt het getal onder de wortel maximaal 0, als x gelijk is aan 23. De minimale y-waarde is dus 27, en er bevindt zich een randpunt op het punt (23, 27).

Redeneren met exponentiële formules

Exponentiële formules in de vorm vanN=B\cdot g^{t}N=B\cdot gbevatten een groeifactor g, die het gedrag van de formule bepaalt. Als de groeifactor groter is dan 1, dan neemt de waarde van de formule toe naarmate t toeneemt. Maar als de groeifactor tussen 0 en 1 ligt, zoals bijvoorbeeld, dan neemt de waarde van de formule af naarmate t toeneemt.

Het aantonen van grenswaarden

Het aantonen van de grenswaarde van een formule kan nodig zijn. Dit is de waarde waarnaar de formule neigt. In een formule met een constante teller en een groeifactor groter dan 1 in de noemer, neigt de uitkomst naar 0 wanneer t toeneemt. De teller blijft constant terwijl de noemer oneindig groot wordt, waardoor de breuk naar 0 neigt.

Bij formules waarin zowel de teller als de noemer veranderen, moet eerst apart naar de noemer en teller gekeken worden. In het geval dat de teller toeneemt bij toenemende t en de noemer afneemt, versterken deze elkaar en neemt de breuk in zijn geheel toe.