Oplossen van een exponentiële vergelijking

Leerdoelen

•Je kunt exponentiële vergelijkingen oplossen door deze te herleiden tot hetzelfde grondtal.

•Je kunt exponentiële vergelijkingen oplossen met behulp van logaritmes.

•Je kunt een logaritmische vergelijking omschrijven naar een exponentiële vergelijking.

Rekenregels van machten

•a^1=aa^1=aa^1=a^1=qa^1=a^1a

•a^{p}\cdot a^{q}=a^{p+q}a^{p}a^{p}a^{p}a^{p}a^{p}a^{p}a^{p}a^{p}a^{p}a^{p}a^{p}a^{p}a^{p}a^{p}a^{p}a^{p}a^{p}a^{p}a^{p}a^{}a^{P}a

•\frac{a^p}{a^q}=a^{p-q}\frac{a^p}{a^q}=a^{p-q}\frac{a^p}{a^q}=a^{p\cdot q}\frac{a^p}{a^q}=a^{p\cdot q}\frac{a^p}{a^q}=a^{p\cdot}\frac{a^p}{a^q}=a^{p}\frac{a^p}{a^q}=a^{p}\frac{a^p}{a^q}=a^{p}\frac{a^p}{a^q}=a^{p}\frac{a^p}{a^q}=a^{p}\frac{a^p}{a^q}=a^{p}\frac{a^p}{a^q}=a^{p}\frac{a^p}{a^q}=a^{p}\frac{a^p}{a^q}=a^{p}\frac{a^p}{a^q}=a^{p}\frac{a^p}{a^q}=a^{p}\frac{a^p}{a^q}=a^{p}\frac{a^p}{a^q}=a^{p}\frac{a^p}{a^q}=a^{p}\frac{a^p}{a^q} = a^{p\cdotq}

•\left(a^{p}\right)^{q}=a^{pq}\left(a^{p}\right)^{q}=a^{p}\left(a^{p}\right)^{q}=a\left(a^{p}\right)^{q}=\left(a^{p}\right)^{q}\left(a^{p}\right)\left(a^{p}\right)\left(a\right)\left(\right)\cdot\cdot a\cdot

•\left(a\cdot b\right)^{r}=a^{r}\cdot b^{r}\left(a\cdot b\right)^{r}=a^{r}\cdot b\left(a\cdot b\right)^{r}=a^{r}\cdot\left(a\cdot b\right)^{r}=a^{r}\left(a\cdot b\right)^{r}=a\left(a\cdot b\right)^{r}=\left(a\cdot b\right)^{r}\left(a\cdot b\right)\left(a\cdot b\right)\left(a\cdot\right)\left(a\right)\left(\right)a^0=1a^0=1a^0=a^0a

•\left(\frac{a}{b}\right)^{r}=\frac{a^{r}}{b^{r}}\left(\frac{a}{b}\right)^{r}=\frac{a^{r}}{b}\left(\frac{a}{b}\right)^{r}=\frac{a^{r}}{\placeholder{}}\left(\frac{a}{b}\right)^{r}=\frac{a}{\placeholder{}}\left(\frac{a}{b}\right)^{r}=\frac{\placeholder{}}{\placeholder{}}\left(\frac{a}{b}\right)^{r}=\left(\frac{a}{b}\right)^{r}\left(\frac{a}{b}\right)\left(\frac{a}{b}\right)\left(\frac{a}{\placeholder{}}\right)\left(a\right)\left(\right)

•a^{\left(\frac{p}{r}\right)}=\sqrt[r]{a^{p}}a^{\left(\frac{p}{r}\right)}=a^{\left(\frac{p}{r}\right)}=a^{\left(\frac{p}{r}\right)}=a^{\left(\frac{p}{r}\right)}=a^{\left(\frac{p}{r}\right)}=a^{\left(\frac{p}{r}\right)}=a^{\left(\frac{p}{r}\right)}=a^{\left(\frac{p}{r}\right)}=a^{\left(\frac{p}{r}\right)}=a^{\left(\frac{p}{r}\right)}=a^{\left(\frac{p}{r}\right)}=a^{\left(\frac{p}{r}\right)}=a^{\left(\frac{p}{r}\right)}=a^{\left(\frac{p}{r}\right)}=a^{\left(\frac{p}{r}\right)}=a^{\left(\frac{p}{r}\right)}=a^{\left(\frac{p}{r}\right)}=a^{\left(\frac{p}{r}\right)}=a^{\left(\frac{p}{r}\right)}=a^{\left(\frac{p}{r}\right)}=a^{\left(\frac{p}{r}\right)}=a^{\left(\frac{p}{r}\right)}=a^{\left(\frac{p}{r}\right)}=a^{\left(\frac{p}{r}\right)}=a^{\left(\frac{p}{r}\right)}a^{\left(\frac{p}{r}\right)}a^{\frac{p}{r}}a^{\frac{p}{\placeholder{}}}a^{\frac{\placeholder{}}{\placeholder{}}}aa^{\left(\frac{p}{r}\right)=}a^{\left(\frac{p}{r}\right)}a^{\left(\frac{p}{r}\right)}a^{\left(\frac{p}{\placeholder{}}\right)}a^{\left(p\right)}a^{\left(\right)}a

•\frac{1}{a^p}=a^{-p}\frac{1}{a^p}=a^{-p}\frac{1}{a^p}=a^{\left\lbrace-p\right.}\frac{1}{a^p}=a^{\left\lbrace-p\right\rbrace}\frac{1}{a^p}=a^{\left\lbrace-p\right\rbrace}\frac{1}{a^p}=a^{\left\lbrace-p\right\rbrace}\frac{1}{a^p}=a^{\left\lbrace-\right\rbrace}\frac{1}{a^p}=a^{\left\lbrace\right\rbrace}\frac{1}{a^p}=a\frac{1}{a^p}=\frac{1}{a^p}aa^{}a^{\left\lbrace\right.}a^{\left\lbrace-\right.}a^{\left\lbrace-p\right.}a^{\left\lbrace-p\right\rbrace}a^{\left\lbrace-p\right\rbrace=}a^{\left\lbrace-p\right\rbrace}a^{\left\lbrace-p\right\rbrace}a^{\left\lbrace-\right\rbrace}a^{\left\lbrace\right\rbrace}a

•a^0=1a^0=a^0a

Hetzelfde grondtal

Voor het oplossen met hetzelfde grondtal, maken we eerst een 'spiekbriefje'. Dit spiekbriefje is in onderstaande afbeelding te zien. De tabel toont machten van de grondtallen 2, 3, 4 en 5. De eerste kolom geeft de exponent weer, en de daaropvolgende kolommen tonen de uitkomst van het grondtal tot die exponent. Dus in de tweede rij staan de grondtallen tot de macht twee.

Met dit spiekbriefje kunnen we gemakkelijk onderstaande opgaven oplossen.

•Los op32^{x}=25632=256. We zien in de kolom van het getaldat daarenin staan. Dit betekent dat beide getallen als macht vante schrijven zijn. Dus(2^5)^{x}=2^8(2^5)^{x}=2(2^5)^{x}=28(2^5)=28(2^5)x=28(2)x=28. Dit is gelijk aan2^{5x}=2^82^{5x}=22^{5x}=282^5=282^5x=282^5=282=2825=28. Dit betekent daten dusx=\frac{8}{5}x\frac{8}{5}\frac{8}{5}s\frac{8}{5}\frac{8}{5}\large{\frac{8}{5}}.

•Los op81^{\left(x+2\right)}=72981^{\left(x+2\right)}=72981^{\left(x+\right)}=72981^{\left(x\right)}=72981^{\left(\right)}=72981=72981(=72981(x=72981(x+=72981(x+2=729. We zien in de kolom van het getaldat daarenin staan. Dusis ook te schrijven als(3^4)^{\left(x+2\right)}=3^6(3^4)^{\left(x+2\right)}=3(3^4)^{\left(x+2\right)}=36(3^4)^{\left(x+2\right)}=36(3^4)^{\left(x+\right)}=36(3^4)^{\left(x\right)}=36(3^4)^{\left(\right)}=36(3^4)=36(3^4)(=36(3^4)(x=36(3^4)(x+=36(3^4)(x+2=36(3^4)(x+2)=36(3)(x+2)=36. Dit is gelijk aan3^{\left(4x+8\right)}=3^63^{\left(4x+8\right)}=33^{\left(4x+8\right)}=363^{\left(4x+8\right)}(=363^{\left(4x+8\right)}(4=363^{\left(4x+8\right)}(4x=363^{\left(4x+8\right)}(4x+=363^{\left(4x+8\right)}(4x+8=363^{\left(4x+8\right)}(4x+8)=363^{\left(4x+8\right)}(4x+8)=363^{\left(4x+\right)}(4x+8)=363^{\left(4x\right)}(4x+8)=363^{\left(4\right)}(4x+8)=363^{\left(\right)}(4x+8)=36. Dit betekent daten dusx=-\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}x\frac{1}{2}\frac{1}{2}\large{\frac{1}{2}}.

Exponentiële en logaritmische vergelijkingen

Een logaritmische vergelijking is in feite omgekeerd aan een exponentiële vergelijking. We hebben de formuleg^{a}=mg=men kunnen dit omzetten naar\log_{g}{m}=a\log_{g}{m}=\log_{g}{m}.

Voorbeelden

•3^{c}=813=81, dusc=\log_3{81}c\log_3{81}\log_{3}{81}, dit is gelijk aan, dus.

•\log_4{m}=5\log_4{m}=\log_{4}{m}, dusm=4^5=1024m=4^5=102m=4^5=10m=4^5=1m=4^5=m=4^5m=4m=45m45, dus.

Onthoud dat het grondtal groter moet zijn danen dat het grondtal geenmag zijn.

Een rekenregel voor logaritmes is\log_{g}m=\frac{\log m}{\log g}\log_{g}m=\frac{\log m}{\log}\log_{g}m=\frac{\log m}{}\log_{g}m=\frac{\log m}{}\log_{g}m=\frac{\log m}{}\log_{g}m=\frac{\log m}{}\log_{g}m=\frac{\log m}{}\log_{g}m=\frac{\log m}{l}\log_{g}m=\frac{\log m}{lo}\log_{g}m=\frac{\log m}{log}\log_{g}m=\frac{\log m}{}\log_{g}m=\frac{\log m}{}\log_{g}m=\frac{\log m}{}\log_{g}m=\frac{\log m}{}\log_{g}m=\frac{\log m}{\placeholder{}}\log_{g}m=\frac{\log}{\placeholder{}}\log_{g}m=\frac{}{\placeholder{}}\log_{g}m=\frac{}{\placeholder{}}\log_{g}m=\frac{}{\placeholder{}}\log_{g}m=\frac{}{\placeholder{}}\log_{g}m=\frac{}{\placeholder{}}\log_{g}m=\frac{}{\placeholder{}}\log_{g}m=\frac{}{\placeholder{}}\log_{g}m=\frac{l}{\placeholder{}}\log_{g}m=\frac{lo}{\placeholder{}}\log_{g}m=\frac{log}{\placeholder{}}\log_{g}m=\frac{}{\placeholder{}}\log_{g}m=\frac{}{\placeholder{}}\log_{g}m=\frac{}{\placeholder{}}\log_{g}m=\frac{}{\placeholder{}}\log_{g}m=\frac{\placeholder{}}{\placeholder{}}\log_{g}m=\log_{g}m\log_{g}\log.

Voorbeelden

•Los op30^{x}=20030^{x}=2030^{x}=230^{x}=30^{x}303. We schrijven dit eerst om totx=\log_{30}200x=\log_{30}20x=\log_{30}2x=\log_{30}x=\log_{30}0x=\log_{30}02x=\log_{30}022x=\log_{30}02x=\log_{30}02x=\log_{30}x=\log_3x=\logx=x=x=x=x=x. Dan maken we gebruik van de bovengenoemde rekenregel,x=\frac{\log200}{\log30}x=\frac{\log200}{\log3}x=\frac{\log200}{\log}x=\frac{\log200}{}x=\frac{\log200}{}x=\frac{\log200}{}x=\frac{\log200}{}x=\frac{\log200}{}x=\frac{\log200}{}x=\frac{\log200}{}x=\frac{\log200}{\placeholder{}}x=\frac{\log20}{\placeholder{}}x=\frac{\log2}{\placeholder{}}x=\frac{\log}{\placeholder{}}x=\frac{}{\placeholder{}}x=\frac{}{\placeholder{}}x=\frac{}{\placeholder{}}x=\frac{}{\placeholder{}}x=\frac{}{\placeholder{}}x=\frac{}{\placeholder{}}x=\frac{}{\placeholder{}}x=\frac{}{\placeholder{}}x=\frac{}{\placeholder{}}x=\frac{}{\placeholder{}}x=\frac{}{\placeholder{}}x=\frac{\placeholder{}}{\placeholder{}}x=x, dit is ongeveer gelijk aan1{,}5581{,}551{,}51{,}1, dusx\approx1{,}558x\approx1{,}55x\approx1{,}5x\approx1{,}x\approx1x\approxxxxxxx=x.

•Los op7^{\left(x+4\right)}=3157^{\left(x+4\right)}=317^{\left(x+4\right)}=37^{\left(x+4\right)}=7^{\left(x+4\right)}7^{\left(x+4\right)}7^{\left(x+\right)}7^{\left(x\right)}7^{\left(\right)}7. Omschrijven geeftx+4=\log_7\left(315\right)x+4=\log_7\left(315\right)x+4=\log_7\left(31\right)x+4=\log_7\left(3\right)x+4=\log_7\left(\right)x+4=\log_7x+4=\logx+4=x+4=x+4=x+4=x+4=x+4x+xz. Het toepassen van de rekenregel geeftx+4=\frac{\log315}{\log7}x+4=\frac{\log315}{\log}x+4=\frac{\log315}{}x+4=\frac{\log315}{}x+4=\frac{\log315}{}x+4=\frac{\log315}{}x+4=\frac{\log315}{}x+4=\frac{\log315}{\placeholder{}}x+4=\frac{\log31}{\placeholder{}}x+4=\frac{\log3}{\placeholder{}}x+4=\frac{\log}{\placeholder{}}x+4=\frac{}{\placeholder{}}x+4=\frac{}{\placeholder{}}x+4=\frac{}{\placeholder{}}x+4=\frac{}{\placeholder{}}x+4=\frac{}{\placeholder{}}x+4=\frac{}{\placeholder{}}x+4=\frac{}{\placeholder{}}x+4=\frac{\placeholder{}}{\placeholder{}}x+4=x+4x+x. Dit is ongeveer gelijk aan2{,}9562{,}952{,}92{,}2, dusx+4=2{,}956\rightarrow x=-1{,}044x+4=2{,}956\rightarrow x=-1{,}04x+4=2{,}956\rightarrow x=-1{,}0x+4=2{,}956\rightarrow x=-1{,}x+4=2{,}956\rightarrow x=-1x+4=2{,}956\rightarrow x=-x+4=2{,}956\rightarrow x=x+4=2{,}956\rightarrow xx+4=2{,}956\rightarrowx+4=2{,}956x+4=2{,}956x+4=2{,}956x+4=2{,}956x+4=2{,}956x+4=2{,}956x+4=2{,}956x+4=2{,}95x+4=2{,}9x+4=2{,}x+4=2x+4=x+4x+xx=x.