Lineair programmeren

Leerdoelen

•Je kunt een gebied insluiten door beperkende voorwaarden.

•Je kunt een winstlijn opstellen.

•Je kunt de winstlijn opschuiven (maximaliseren).

Beperkende voorwaarden en ongelijkheden

Bij lineair programmeren is het belangrijk om eerst de beperkende voorwaarden om te zetten in ongelijkheden. Deze ongelijkheden helpen om een gebied te definiëren waarin de optimale oplossing te vinden is. Voor de fabriek Choco-Biscuit zijn de voorwaarden als volgt:

Minimaal100.000\operatorname{\mathrm{kg}}100.000k100.000100.000kchocolade en minimaal200.000\operatorname{\mathrm{kg}}200.000k200.000200.000kkoek moeten worden geproduceerd.

De hoeveelheid chocolade mag maximaal het dubbele zijn van de hoeveelheid koek. En de hoeveelheid chocolade mag niet meer dan600.000\operatorname{\mathrm{kg}}600.000k600.000600.000kbedragen.

De totale opslagruimte is beperkt tot1.200.000\operatorname{\mathrm{kg}}1.200.000k1.200.0001.200.000k1.200.000kk1.200.000kkg1.200.000kk1.200.000kvoor zowel koek als chocolade samen.

De personele capaciteit is beperkt door de ongelijkheid:0,6k+0,3c\le570.0000,6k+0,3c\le570.000,6k+0,3c\le570.00,6k+0,3c\le570.0,6k+0,3c\le5700,6k+0,3c\le570.0,6k+0,3c\le570.00,6k+0,3c\le570.000,6k+0,3c\le570.0000,6k+0,3\le570.0000,6k+0,3C\le570.0000,6+0,3C\le570.000.

Het assenstelsel en halfvlakken

Zet deze ongelijkheden uit in een assenstelsel met de k-as voor het aantal kilogram koek (keer 1000) en de c-as voor het aantal kilogram chocolade (keer 1000).

Hier zijn de stappen:

1.: Dit geeft een horizontale lijn bij c = 100 met een pijltje omhoog.

2.: Dit geeft een verticale lijn bij k = 200 met een pijltje naar rechts.

3.: Dit is een schuine lijn. Door een punt zoals (1,0) te testen, bepalen we dat het halfvlak rechts onder de lijn ligt.

4.: Dit geeft een horizontale lijn bij c = 600 met een pijltje omlaag.

5.: Door punten zoals (0,1200) en (1200,0) te gebruiken, tekenen we een lijn en bepalen we dat het halfvlak links onder de lijn ligt.

6.: Op dezelfde manier tekenen we deze lijn en bepalen we het halfvlak.

De winstlijn en Iso-winstlijnen

Nu het gebied bepaald is, kan de winstlijn worden opgesteld. De winst per kilogram is € 2,30 voor koek en € 6,90 voor chocolade. De winstformule is dus:W=2,3k+6,9cW=2,3k+6,9W=2,3k+6,9CW=2,3+6,9C.

Stel een eerste Iso-winstlijn op door een punt te kiezen, bijvoorbeeld\left(0,200\right)0,200), wat een winst vanoplevert. Door een tweede punt te kiezen, zoals\left(600,0\right)600,0), teken je de eerste winstlijn. Deze lijn kan evenwijdig worden verschoven om de maximale winst te vinden.

Maximale winst berekenen

De maximale winst wordt bereikt bij het punt\left(600,600\right)600,600). Door dit in de winstformule in te vullen, krijg je:

W=2,3\cdot600+6,9\cdot600=5.520W=2,3\cdot600+6,9600=5.520W=2,3\cdot600+6,9\times600=5.520W=2,3600+6,9\times600=5.520

Omdat alles in duizenden is, is de maximale winst € 5.520.000.