Differentiëren 1

Machtsfunctie differentiëren

Een machtsfunctie f(x) wordt gedefinieerd als ax^b, waarin a een constante is en x tot de macht een exponent b heeft. Wanneer we deze functie differentiëren, brengen we de exponent naar voren, zodat we b keer a krijgen en dan vermenigvuldigen we dit met x tot de macht van een minder dan b, oftewel b - 1.

Als de functie f(x) is gedifferentieerd, wordt dat aangegeven met een accentje na de f, dus we hebben eerst f(x) (de gewone functie) en na differentiatie krijgen we f'(x) (de afgeleide functie).

Laten we een voorbeeld bekijken: als we f(x) = 3x⁴ hebben. Als we deze functie differentiëren, doen we eerst dus de waarde van de exponent keer de constante voor de x. In dit geval doen we dus 3 · 4, wat gelijk aan 12 is. Vervolgens halen we van de exponent 1 af, dus 4 -1 = 3. De afgeleide van de functie f(x) is dan f'(x) = 12x³.

Somregel en verschilregel

Laten we nu eens kijken naar de somregel en de verschilregel bij differentiëren. Als we de som van twee functies hebben, bijvoorbeeld f(x) = g(x) + h(x), wordt de afgeleide f'(x) = g'(x) + h'(x). Dit werkt op een soortgelijke manier voor de verschilfunctie waarbij als y(x) = g(x) - h(x), de afgeleide y'(x) = g'(x) - h'(x) is.

Bijvoorbeeld, bij de functie f(x) = 4x⁵ + 3x⁴, de afgeleide f'(x) = 20x⁴ + 12x³.

Productregel

De productregel wordt gebruikt wanneer we het product van twee functies differentiëren. Hier is de formule iets ingewikkelder: de afgeleide van f(x) = g(x) · h(x) is f'(x) = g'(x) · h(x) + g(x) · h'(x).

Voorbeeld: bij de functie, f(x) = 3x⁶(5x² - 4x), Hier is 3x⁶ de functie g(x) en (5x² - 4x) de functie h(x). Als we dan dus de afgeleide van f(x) nemen, krijgen we f'(x) = 18x⁵(5x² - 4x) + 3x⁶(10x - 4). Dit kunnen we nog vereenvoudigen door de haakjes weg te werken. Dan krijgen we f'(x) = 90x⁷ - 72x⁶ + 30x⁷ - 12x⁶. De getallen die dezelfde exponent hebben, kunnen bij elkaar opgeteld worden. Hierdoor krijgen we uiteindelijk f'(x) = 120x⁷ - 84x⁶.

Quotientregel

Een quotiënt is het resultaat van een deling. De quotiëntregel bij differentiëren, gedefinieerd als de afgeleide vanf\left(x\right)=\frac{g(x)}{h(x)}f\left(x\right)\frac{g(x)}{h(x)}f\left(x\frac{g(x)}{h(x)}\right)f\left(\frac{g(x)}{h(x)}\right)f\frac{g(x)}{h(x)}\frac{g(x)}{h(x)}\large{\frac{g(x)}{h(x)}}\frac{g(x)}{h(x)}\large{\frac{g(x)}{h(x)}}\large{\frac{g(x)}{h(x)}}\large{\frac{g(x)}{h(x)}}\large{\frac{g(x)}{h(x)}}\large{\frac{g(x)}{h(x)}}\large{\frac{g(x)}{h(x)}}\large{\frac{g(x)}{h(x)}}\large{\frac{g(x)}{h(x)}}\large{\frac{g(x)}{h(x)}}\large{\frac{g(x)}{h(x)}}\large{\frac{g(x)}{h(x)}}\large{\frac{g(x)}{h(x)}}\large{\frac{g(x)}{h(x)}}\large{\frac{g(x)}{h(x)}}\large{\frac{g(x)}{h(x)}}\large{\frac{g(x)}{h(x)}}\large{\frac{g(x)}{h(x)}}\large{\frac{g(x)}{h(x)}}\large{\frac{g(x)}{h(x)}}\large{\frac{g(x)}{h(x)}}wordt gegeven doorf^{\prime}\left(x\right)=\frac{h\left(x\right)\cdot g^{\prime}\left(x\right)-g\left(x\right)\cdot h^{\prime}\left(x\right)}{h(x)^2}f^{\prime}\left(x\right)=\frac{h\left(x\right)\cdot g^{\prime}\left(x\right)-g\left(x\right)\cdot h\left(x\right)}{h(x)^2}f^{\prime}\left(x\right)\frac{h\left(x\right)\cdot g^{\prime}\left(x\right)-g\left(x\right)\cdot h\left(x\right)}{h(x)^2}f^{\prime}\left(x\frac{h\left(x\right)\cdot g^{\prime}\left(x\right)-g\left(x\right)\cdot h\left(x\right)}{h(x)^2}\right)f^{\prime}\left(\frac{h\left(x\right)\cdot g^{\prime}\left(x\right)-g\left(x\right)\cdot h\left(x\right)}{h(x)^2}\right)f^{\prime}\frac{h\left(x\right)\cdot g^{\prime}\left(x\right)-g\left(x\right)\cdot h\left(x\right)}{h(x)^2}f\frac{h\left(x\right)\cdot g^{\prime}\left(x\right)-g\left(x\right)\cdot h\left(x\right)}{h(x)^2}\frac{h\left(x\right)\cdot g^{\prime}\left(x\right)-g\left(x\right)\cdot h\left(x\right)}{h(x)^2}h\left(x\right)\cdot g^{\prime}\left(x\right)-g\left(x\right)\cdot h\left(x\right)h\left(x\right)\cdot g^{\prime}\left(x\right)-g\left(x\right)\cdot h\left(x\right)h\left(x\right)\cdot g^{\prime}\left(x\right)-g\left(x\right)\cdot h\left(x\right)h\left(x\right)\cdot g^{\prime}\left(x\right)-g\left(x\right)\cdot h\left(\right)h\left(x\right)\cdot g^{\prime}\left(x\right)-g\left(x\right)\cdot hh\left(x\right)\cdot g^{\prime}\left(x\right)-g\left(x\right)\cdoth\left(x\right)\cdot g^{\prime}\left(x\right)-g\left(x\right)h\left(x\right)\cdot g^{\prime}\left(x\right)-g\left(x\right)h\left(x\right)\cdot g^{\prime}\left(x\right)-g\left(x\right)h\left(x\right)\cdot g^{\prime}\left(x\right)-g\left(x\right)h\left(x\right)\cdot g^{\prime}\left(x\right)-g\left(x\right)h\left(x\right)\cdot g^{\prime}\left(x\right)-g\left(x\right)h\left(x\right)\cdot g^{\prime}\left(x\right)-g\left(x\right)h\left(x\right)\cdot g^{\prime}\left(x\right)-g\left(\right)h\left(x\right)\cdot g^{\prime}\left(x\right)-gh\left(x\right)\cdot g^{\prime}\left(x\right)-h\left(x\right)\cdot g^{\prime}\left(x\right)h\left(x\right)\cdot g^{\prime}\left(x\right)h\left(x\right)\cdot g^{\prime}\left(\right)h\left(x\right)\cdot g^{\prime}h\left(x\right)\cdot gh\left(x\right)\cdoth\left(x\right)h\left(x\right)h\left(x\right)h\left(x\right)h\left(x\right)h\left(x\right)h\left(x\right)h\left(\right)h. Dit is een ingewikkelde formule, dus hier is een ezelsbruggetje voor! Namelijk\frac{NAT-TAN}{N^2}\large{\frac{NAT - TAN}{N^{2}}}\frac{NAT-TAN}{N^2}\large{\frac{NAT - TAN}{N^{2}}}\large{\frac{NAT - TAN}{N^{2}}}\large{\frac{NAT - TAN}{N^{2}}}\large{\frac{NAT - TAN}{N^{2}}}\large{\frac{NAT - TAN}{N^{2}}}\large{\frac{NAT - TAN}{N^{2}}}\large{\frac{NAT - TAN}{N^{2}}}\large{\frac{NAT - TAN}{N^{2}}}\large{\frac{NAT - TAN}{N^{2}}}\large{\frac{NAT - TAN}{N^{2}}}\large{\frac{NAT - TAN}{N^{2}}}\large{\frac{NAT - TAN}{N^{2}}}\large{\frac{NAT - TAN}{N^{2}}}\large{\frac{NAT - TAN}{N^{2}}}\large{\frac{NAT - TAN}{N^{2}}}\large{\frac{NAT - TAN}{N^{2}}}\large{\frac{NAT - TAN}{N^{2}}}\large{\frac{NAT - TAN}{N^{2}}}\large{\frac{NAT - TAN}{N^{2}}}\large{\frac{NAT - TAN}{N^{2}}}. NAT staat voor noemer keer de afgeleide van de teller en TAN staat voor teller keer de afgeleide van de noemer. Dit deel je dan door N² wat de noemer in het kwadraat is.

Voorbeeld: voor de functiek\left(x\right)=\frac{x^2-4x}{4x^2+2}k\left(x\right)\frac{x^2-4x}{4x^2+2}k\left(x\frac{x^2-4x}{4x^2+2}\right)k\left(\frac{x^2-4x}{4x^2+2}\right)k\frac{x^2-4x}{4x^2+2}\frac{x^2-4x}{4x^2+2}\frac{x^2-4x}{4x^2+2}\large{\frac{x^{2} - 4x}{4x^{2} + 2}}\frac{x^2-4x}{4x^2+2}\large{\frac{x^{2} - 4x}{4x^{2} + 2}}\large{\frac{x^{2} - 4x}{4x^{2} + 2}}\large{\frac{x^{2} - 4x}{4x^{2} + 2}}\large{\frac{x^{2} - 4x}{4x^{2} + 2}}\large{\frac{x^{2} - 4x}{4x^{2} + 2}}\large{\frac{x^{2} - 4x}{4x^{2} + 2}}\large{\frac{x^{2} - 4x}{4x^{2} + 2}}\large{\frac{x^{2} - 4x}{4x^{2} + 2}}\large{\frac{x^{2} - 4x}{4x^{2} + 2}}\large{\frac{x^{2} - 4x}{4x^{2} + 2}}\large{\frac{x^{2} - 4x}{4x^{2} + 2}}\large{\frac{x^{2} - 4x}{4x^{2} + 2}}\large{\frac{x^{2} - 4x}{4x^{2} + 2}}\large{\frac{x^{2} - 4x}{4x^{2} + 2}}\large{\frac{x^{2} - 4x}{4x^{2} + 2}}\large{\frac{x^{2} - 4x}{4x^{2} + 2}}\large{\frac{x^{2} - 4x}{4x^{2} + 2}}\large{\frac{x^{2} - 4x}{4x^{2} + 2}}\large{\frac{x^{2} - 4x}{4x^{2} + 2}}\large{\frac{x^{2} - 4x}{4x^{2} + 2}}\large{\frac{x^{2} - 4x}{4x^{2} + 2}}\large{\frac{x^{2} - 4x}{4x^{2} + 2}}\large{\frac{x^{2} - 4x}{4x^{2} + 2}}\large{\frac{x^{2} - 4x}{4x^{2} + 2}}\large{\frac{x^{2} - 4x}{4x^{2} + 2}}\large{\frac{x^{2} - 4x}{4x^{2} + 2}}\large{\frac{x^{2} - 4x}{4x^{2} + 2}}\large{\frac{x^{2} - 4x}{4x^{2} + 2}}. De afgeleide is dank^{\prime}\left(x\right)=\frac{(4x^2+2_)(2x-4)-(x^2-4x)(8x)}{(4x^2+2)^2}k^{\prime}\left(x\right)\frac{(4x^2+2_)(2x-4)-(x^2-4x)(8x)}{(4x^2+2)^2}k^{\prime}\left(x\frac{(4x^2+2_)(2x-4)-(x^2-4x)(8x)}{(4x^2+2)^2}\right)k^{\prime}\left(\frac{(4x^2+2_)(2x-4)-(x^2-4x)(8x)}{(4x^2+2)^2}\right)k^{\prime}\frac{(4x^2+2_)(2x-4)-(x^2-4x)(8x)}{(4x^2+2)^2}k\frac{(4x^2+2_)(2x-4)-(x^2-4x)(8x)}{(4x^2+2)^2}\frac{(4x^2+2_)(2x-4)-(x^2-4x)(8x)}{(4x^2+2)^2}. Als we de haakjes uitwerken, krijgen wek^{\prime}\left(x\right)=\frac{8x^3-16x^2+4x - 8-8x^3-32x^2}{(4x^2+2)(4x^2+2)}k^{\prime}\left(x\right)=k^{\prime}\left(x\right)=k^{\prime}\left(x\right)=k^{\prime}\left(x\right)=k^{\prime}\left(x\right)=k^{\prime}\left(x\right)=k^{\prime}\left(x\right)k^{\prime}\left(x\right)k^{\prime}\left(\right)k^{\prime}k. Als we dit vereenvoudigen komen we uiteindelijk uit op k^{\prime}\left(x\right)=\frac{-48x^2 +4x-8}{16x^4+16x^2+4}k^{\prime}\left(x\right)=k^{\prime}\left(x\right)k^{\prime}\left(x\right)k^{\prime}\left(\right)k^{\prime}k\frac{-48x^2 +4x-8}{16x^4+16x^2+4}.

Toepassingen van differentiatie

Differentiatie is niet enkel een theoretisch concept, er zijn ook praktische toepassingen. Bijvoorbeeld, we kunnen de richtingscoëfficiënt van een raaklijn op een specifiek punt op een kromme berekenen. De afgeleide is eigenlijk niets anders dan de helling van de grafiek. Verder kunnen we, door het nemen van de tweede afgeleide, een soort dubbele differentiatie, de x-coördinaat vinden waarbij een functie haar maximum of minimum bereikt.