Leerdoelen
•Je kunt een beslissingsvoorschrift opstellen.
•Je kunt een beslissingsvoorschrift gebruiken om een conclusie te trekken.
•Je kunt de nulhypothese en de alternatieve hypothese formuleren.
•Je kunt een conclusie trekken over het aannemen of verwerpen van de nulhypothese.
•Je kunt binomiale kansberekeningen uitvoeren voor discrete variabelen.
•Je kunt de verwachtingswaarde berekenen en interpreteren.
•Je kunt het significantieniveau interpreteren en gebruiken.
•Je kunt het kritieke gebied bepalen.
De nulhypothese en de alternatieve hypothese
Stel je voor dat je met vrienden een spel speelt waarbij je veel gooit met een dobbelsteen. Het valt je op dat je wel erg vaak een zes gooit. Zou de dobbelsteen wel eerlijk zijn, of is hij 'vals'? Als je een vermoeden hebt, zoals "een dobbelsteen is vals", begin je in de wiskunde met een neutrale aanname. Dit noemen we de nulhypothese
•
Daarnaast formuleer je de alternatieve hypothese
•
Je doel is om op basis van waarnemingen te beslissen of je voldoende bewijs hebt om de nulhypothese te verwerpen ten gunste van de alternatieve hypothese.
De binomiale kansverdeling
Waarom is dit een geval van binomiale kansrekening? Omdat elke worp van de dobbelsteen maar twee mogelijke uitkomsten heeft waar we in geïnteresseerd zijn: of je gooit een zes (succes) of je gooit geen zes (mislukking). Dit herhaal je een vast aantal keer.
Stochast, aantal worpen en kans op succes
Laten we uitgaan van het voorbeeld waarin je twaalf keer met de dobbelsteen gooit.
•De stochast
•Het aantal herhalingen (worpen) is
•Als de dobbelsteen zuiver is, is de kans op succes (een zes gooien) per worp
De verwachtingswaarde
Als je twaalf keer met een zuivere dobbelsteen gooit, hoe vaak zou je dan verwachten een zes te gooien? Dit is de verwachtingswaarde
•
Je verwacht dus twee keer een zes te gooien. Natuurlijk is dit een gemiddelde; het kan best zijn dat je één, drie of zelfs nul keer een zes gooit bij twaalf worpen. Dit is normaal.
Kansberekening met de binomiale PDF
Om de exacte kans te berekenen dat je een specifiek aantal keren zes gooit (bijvoorbeeld drie keer), gebruik je de binomiale kansrekening. Je grafische rekenmachine heeft hiervoor de functie binompdf.
Stel dat
•
•Uitkomst:
Dit betekent dat de kans om precies drie keer een zes te gooien bij twaalf worpen ongeveer 19,74% is. Dit is geen hele kleine kans, dus drie keer zes gooien is zeker mogelijk, ook al is het iets meer dan de verwachtingswaarde van twee.
Het beslissingsvoorschrift
Wanneer is het aantal zessen nu zo uitzonderlijk dat je zegt: "De dobbelsteen is echt niet zuiver; ik verwerp
Het significantieniveau
Om te bepalen wanneer een uitkomst 'te uitzonderlijk' is, gebruiken we het significantieniveau
•
•Uitkomst:
Deze kans is extreem klein. Als je dit observeert, is de kans dat de dobbelsteen zuiver is (
De grafische rekenmachine als hulpmiddel
De grafische rekenmachine (GR) kan je helpen om de kansen voor alle mogelijke uitkomsten snel te overzien.
Je kunt de binompdf-functie invoeren in
Het kritieke gebied
Stel dat het significantieniveau
We kijken in de tabel van de GR, beginnend bij de meest extreme waarden (hoogste aantallen zessen), en zoeken naar de X-waarden die een kans hebben die kleiner is dan
•Bij
•Bij
Dus, vanaf vijf keer zes gooien
Rekenvoorbeeld
Rasha twijfelt aan de zuiverheid van een dobbelsteen. Ze besluit hem
Stap 1: Hypothesen formuleren
•
•
Stap 2: Gegevens noteren
•Aantal worpen
•Kans op zes
•Waargenomen aantal successen:
•Significantieniveau
Stap 3: Kansverdeling instellen in de GR
Rasha voert de functie in haar GR in:
Stap 4: Kritieke gebied bepalen
We zoeken naar de X-waarden waarbij
•Bij
•Bij
Het kritieke gebied voor het verwerpen van
Stap 5: Conclusie trekken
Rasha heeft elf keer een zes gegooid. Omdat de waarneming
