Stel de formule op van het exponentieel verband door de punten (5,17) en (11,38)
Exponentiële groei is een interessant concept als je begrijpt hoe het werkt. Een dagelijks voorbeeld van dit fenomeen is het vouwen van een vel papier. Je bent misschien geneigd te denken dat je een vel papier talloze keren kunt vouwen, zeg maar honderd keer. Maar eigenlijk, wanneer je een vel papier één keer dubbel vouwt, creëer je een dikte van twee. Als je dit nog een keer doet, krijg je een dikte van vier. Na het vijf keer te hebben gevouwen, bereikt je een dikte van 32. Wanneer je probeert het nog een zevende keer te vouwen, bereik je een dikte van 128. Het lukt je waarschijnlijk niet om het nog een keer te vouwen. Dit is in feite een toepassing van exponentiële groei.
Het opstellen van een exponentiële formule
Elke keer dat je een vel papier vouwt, volg je een exponentiële formule. Het aantal vellen papier (de dikte) na het vouwen is 2 tot de macht van het aantal keren dat je het vouwt. Dus bijvoorbeeld, als je het één keer vouwt, wordt 21 = 2, een tweede keer vouwen wordt 22 = 4, enzovoort.
Evenzo neemt het oppervlak van het papier af elke keer dat je het vouwt. Als je het bijvoorbeeld zeven keer vouwt, is het oppervlak een 128ste (27 = 128) van het oorspronkelijke vel. Als je het uitvouwt, wordt het oppervlak groter. Dit tegenovergestelde effect wordt ook gevolgd door een exponentiële formule, waarbij het oppervlak gelijk is aan. Hier is n het aantal keer dat je het papier uitvouwt.
Verdubbelingstijd en halveringstijd
Er zijn twee belangrijke concepten in exponentiële groei, genaamd de verdubbelingstijd en de halveringstijd. De verdubbelingstijd is de tijd die nodig is voor een hoeveelheid om te verdubbelen bij een constante groeisnelheid. Aan de andere kant is de halveringstijd de tijd die nodig is om de hoeveelheid te halveren bij een constante groeisnelheid. Verdubbelingstijd en halveringstijd hebben een belangrijke rol gespeeld in onderzoeken naar populatiegroei, radioactieve verval en vele andere wetenschappelijke en financiële scenario's.
De basisformule voor een exponentieel verband is y = b · gx, waarbij b het begingetal en g de groeifactor is. Om de formule op te stellen, moeten we de waarden van b en g vinden. Beschouw bijvoorbeeld het punt (1 , 4) en het punt (4 ; 5,8). In drie stappen gaat het van 4 naar 5,8. Dus g3 == 1,45. Door het vinden van de derdemachtswortel van 1.45 (d.w.z. \small{1,45}^{\frac{1}{3}}), krijgen we g = 1,13. Om b te vinden, moeten we teruggaan naar x = 0. We doen dit door 4 gedeeld door 1,13 te doen, want dan gaan we van x = 1 terug naar x. = 0. Dit geeft ons b = 3,53. Zo hebben we dus onze exponentiële formule y = 3,53 · 1,13x.
Hoe grafiek van een exponentiële functie eruit ziet
De grafiek van een exponentiële functie stijgt steeds sneller naarmate de x-waarde toeneemt. De grafiek benadert nooit de x-as en toont aan dat de hoeveelheid nooit nul wordt. Dit komt doordat een getal met een macht nooit gelijk kan zijn aan 0.
