Staande golven

Leerdoelen

•Je kunt uitleggen wat een staande golf is en hoe deze zich onderscheidt van een lopende golf.

•Je kunt de begrippen buik en knoop definiëren en hun rol in een staande golf benoemen.

•Je kunt interferentie beschrijven, inclusief de begrippen constructieve en destructieve interferentie.

•Je kunt het verschil tussen een grondtoon en boventonen uitleggen en herkennen.

•Je kunt de vorming van staande golven bij snaarinstrumenten en blaasinstrumenten verklaren, inclusief de relatie tussen snaarlengte/luchtkolomlengte en golflengte.

•Je kunt de werking van noise-cancelling koptelefoons verklaren aan de hand van destructieve interferentie.

Wat zijn staande golven?

Staande golven zijn golven die op een vaste plek in een medium stil lijken te staan, in tegenstelling tot lopende golven die zich echt voortplanten. Je vindt ze bijvoorbeeld in een gespannen koord of in een luchtkolom. Staande golven ontstaan door de superpositie van een heengaande en een teruggaande golf.

Superpositie

Superpositie is het natuurkundige principe waarbij twee of meer golven (of tonen) bij elkaar worden opgeteld. Wanneer golven elkaar ontmoeten in een medium, is de resulterende uitwijking op elk punt en op elk moment de algebraïsche som van de individuele uitwijkingen van de golven. Dit betekent dat de golven elkaar beïnvloeden en een nieuwe, gecombineerde golfvorm creëren. Je oor ontvangt bijvoorbeeld een superpositie van meerdere tonen, waarna je hersenen de verschillende tonen daarin ontrafelen.

Interferentie

Wanneer een golf een vast uiteinde bereikt (bijvoorbeeld een touw dat vastgeknoopt is aan een muur), wordt deze teruggekaatst. Een golfdal wordt dan teruggekaatst als een golfberg, terwijl een golfberg terugkaatst als een golfdal (vergelijkbaar met een spiegel die licht terugkaatst). De optelsom van deze heengaande en teruggaande golf wordt interferentie genoemd. Bij interferentie worden sommige punten in de golf versterkt en andere verzwakt.

•Constructieve interferentie treedt op wanneer golven elkaar versterken. Dit gebeurt als de golven precies in fase zijn (het faseverschil is een geheel getal). Hierbij kunnen de uitwijkingen van de totale staande golf groter zijn dan die van de individuele golven.

•Destructieve interferentie treedt op wanneer golven elkaar verzwakken of zelfs uitdoven. Dit gebeurt als de golven precies in tegenfase zijn (het faseverschil is een geheel getal plus een half). Als de amplitudes van de golven bovendien gelijk zijn, doven ze elkaar volledig uit, waardoor de uitwijking nul wordt.

Knopen en buiken

Bij een staande golf kun je duidelijk twee soorten punten onderscheiden:

•Knopen zijn de punten in een staande golf waar de uitwijking van de golf altijd nul is. Op deze plekken is er geen of heel zacht geluid, omdat hier destructieve interferentie optreedt.

•Buiken zijn de punten waar de uitwijking van de golf maximaal is. Op deze plekken is het geluid het hardst, omdat hier constructieve interferentie optreedt.

Staande golven in de praktijk

Snaarinstrumenten

Bij snaarinstrumenten, zoals een gitaar of viool, is een snaar aan twee kanten ingeklemd. Deze ingeklemde punten vormen altijd knopen, omdat de snaar daar niet kan bewegen. Tussen deze knopen ontstaat een staande golf. De trillende snaar brengt de omringende luchtkolom in het instrument aan het trillen, wat het hoorbare geluid produceert.

Grondtonen en boventonen bij snaren

De eenvoudigste staande golf die in een snaar kan ontstaan, waarbij de snaar één buik in het midden en twee knopen aan de uiteinden heeft, wordt de grondtoon genoemd. De frequentie van deze grondtoon noemen we de grondfrequentie. Naast de grondtoon kunnen ook boventonen ontstaan. Dit zijn complexere staande golven met meer knopen en buiken:

•De eerste boventoon heeft drie knopen (twee aan de uiteinden en één in het midden) en twee buiken. De frequentie is dan twee keer de grondfrequentie.

•De tweede boventoon heeft vier knopen en drie buiken. De frequentie is dan drie keer de grondfrequentie. Een snaar kan, wanneer deze wordt aangeslagen, meerdere eigen trillingen (de grondtoon en verschillende boventonen) tegelijkertijd uitvoeren, waardoor het instrument een rijker geluid produceert.

De golflengte van staande golven op snaren

Het verband tussen de lengte l van de snaar en de golflengte\lambdavan de staande golf wordt gegeven door de formule:l=n\cdot\frac12\lambdal=n\cdot\frac12l=n\cdot\frac12\lambdal=n\frac12\lambdal=n\frac12l=n\frac12l=n\frac12l=n\frac12l=n\frac12l=n\frac12l=\frac12l=\frac{n1}{2}l=\frac{n1}{\placeholder{}}l=n1l=nl=l.

Hierbij iseen geheel getal (voor de grondtoon,voor de eerste boventoon, enzovoort). Voor de grondtoon is de lengte van de snaar dus precies een halve golflengte.

Stemmen van snaarinstrumenten

Om een snaarinstrument te stemmen, pas je de spankracht\left(F_{s}\right)F_{s}FF)Fvan de snaar aan. Door de snaar strakker te spannen, vergroot je de spankracht. De golfsnelheid\left(v\right)hangt af van de spankracht\left(F_{s}\right)en de massa per lengte-eenheid. De formule uit Binas-tabel 35B isv=\sqrt{\frac{F_{s}l}{m}}v=\sqrt{\frac{F_{s}}{m}}v=\sqrt{\frac{F_{s}}{\placeholder{}}}v=\sqrt{F_{s}}v=\sqrt{F}v=\sqrt{}v=v=v=v=v=Fv=Fsv=Fsl.

Hierbij isde golfsnelheid,F_{s}Fde spankracht,de lengte van de snaar ende massa van de snaar. Als de spankracht toeneemt, wordt de golfsnelheidgroter. De relatie tussen golfsnelheid, frequentie\left(f\right)en golflengte\left(\lambda\right)\left(\right)\left(\lambda\right)isv=\lambda\cdot fv=\cdot fv=\lambda\cdot fv=\lambda f. Aangezien de golflengte (die afhangt van de snaarlengte en de boventoon) bij het stemmen doorgaans niet verandert, zal een hogere golfsnelheid leiden tot een hogere frequentie. Een hogere frequentie betekent een hogere toonhoogte, waardoor de snaar hoger gestemd wordt.

Blaasinstrumenten

Bij blaasinstrumenten trilt een kolom lucht, in plaats van een snaar. De temperatuur van de lucht heeft invloed op de geluidssnelheid en daarmee op de toonhoogte die het instrument produceert. Daarom spelen muzikanten hun instrument soms warm. Bij blaasinstrumenten ontstaan buiken op plaatsen waar de lucht maximaal kan bewegen, zoals bij een mondstuk (waar de lucht wordt ingeblazen) of bij een open uiteinde van het instrument. Knopen ontstaan op plaatsen waar de luchtbeweging minimaal is, zoals bij een vast uiteinde (een dichte wand, bijvoorbeeld onderin een panfluitbuisje) of bij een rietje (zoals bij een klarinet), dat de luchtbeweging beperkt.

Open-open systemen

Een blaasinstrument met twee open uiteinden, zoals een dwarsfluit of een orgelpijp, wordt een open-open systeem genoemd. Bij de grondtoon van een dergelijk systeem bevinden zich buiken aan beide open uiteinden van de luchtkolom en een knoop in het midden. De formule voor de relatie tussen de lengtevan de luchtkolom en de golflengte\lambdavan de staande golf is hetzelfde als bij snaarinstrumenten:l=n\cdot\frac{1}{2}\lambdal=n\cdot\frac{1}{2}l=n\cdot\frac{1}{2}\lambdal=n\frac{1}{2}\lambda=n\frac{1}{2}\lambdaL=n\frac{1}{2}\lambdaL=\frac{1}{2}\lambdaL=N\frac{1}{2}\lambdaL=N\times\frac{1}{2}\lambda.

Hierbij iseen geheel getal. Opmerkelijk is dat de buiken vaak net iets buiten de fysieke uiteinden van het instrument liggen, omdat de lucht daar nog steeds maximaal kan trillen.

Open-gesloten systemen

Een blaasinstrument met één open uiteinde en één gesloten uiteinde, zoals een klarinet (met een rietje aan de mondstukzijde en een open klankbeker) of een panfluit (met buisjes die onderaan dicht zijn), wordt een open-gesloten systeem genoemd. Bij de grondtoon van dit systeem bevindt zich een buik aan het open uiteinde en een knoop aan het gesloten uiteinde. De lengte van de luchtkolomis dan een kwart van de golflengte\lambda.

Bij open-gesloten systemen zijn de frequenties oneven veelvouden van de grondfrequentie. Voor de eerste boventoon is de lengte van de luchtkolom gelijk aan driekwart golflengte\left(l=\frac34\lambda\right)\left(l=\frac34\right)\left(l=\frac34\lambda\right)\left(l=\frac{3}{\placeholder{}}\lambda\right)\left(l=3\lambda\right)\left(l=3/\lambda\right)\left(l=3/4\lambda\right)l=3/4\lambda\cdot l=3/4\lambda. De formule voor de relatie tussen de lengteen de golflengte\lambdavoor een open-gesloten systeem is:l=(2n-1)\cdot\frac{1}{4}\lambdal=(2n-1)\cdot\frac{1}{4}l=(2n-1)\cdot\frac{1}{4}\lambdal=(2n-1)\cdot\frac{1}{4}\times\lambdal=(2n-1)\frac{1}{4}\times\lambdal=(2n-1)\times\frac{1}{4}\times\lambdal=(2-1)\times\frac{1}{4}\times\lambdal=(2N-1)\times\frac{1}{4}\times\lambda=(2N-1)\times\frac{1}{4}\times\lambda.

Hierbij iseen geheel getal. Voorkrijg jel=\frac14\lambdal=\frac14l=\frac14\lambdal=\frac{1}{\placeholder{}}\lambdal=1\lambdal=1/\lambda(grondtoon), voorkrijg jel=\frac34\lambdal=\frac34l=\frac34\lambdal=\frac{3}{\placeholder{}}\lambdal=3\lambdal=3/\lambda(eerste boventoon), en voorkrijg jel=\frac54\lambdal=\frac54l=\frac54\lambdal=\frac{5}{}\lambdal=\frac55\lambdal=\frac{5}{\placeholder{}}\lambdal=5\lambdal=5/\lambda(tweede boventoon). Hierbij komt er steeds een halve golflengte bij per volgende boventoon.

Stemvorken

Een stemvork kan ook worden beschouwd als een systeem met staande golven. De twee staven van een stemvork zijn aan één kant ingeklemd (bij het handvat) en aan het andere uiteinde vrij om te trillen. Het ingeklemde punt van de staaf is een knoop (geen uitwijking), terwijl het vrije uiteinde een buik is (maximale uitwijking). Dit gedraagt zich als een open-gesloten systeem, waarbij de formulel=(2n-1)\cdot\frac{1}{4}\lambdal=(2n-1)\cdot\frac{1}{4}l=(2n-1)\cdot\frac{1}{4}\lambdal=(2n-1)\cdot\frac{1}{4}l=(2n-1)\cdot\frac{1}{4}l=(2n-1)\cdot\frac{1}{4}l=(2n-1)\cdot\frac{1}{4}l=(2n-1)\cdot\frac{1}{4}\lambdal=(2n-1)\cdot\cdot\frac{1}{4}\lambdavan toepassing is, waarbijhier de lengte van de trillende staaf is.

Interferentie van twee geluidsbronnen

Interferentie kan niet alleen optreden tussen een heengaande en teruggaande golf (die een staande golf vormt), maar ook tussen de golven die afkomstig zijn van twee afzonderlijke geluidsbronnen. Wanneer twee geluidsbronnen naast elkaar staan, beïnvloeden hun geluidsgolven elkaar via superpositie. Op bepaalde locaties zal het geluid hierdoor worden versterkt (constructieve interferentie), terwijl op andere locaties het geluid wordt verzwakt of zelfs volledig uitgedoofd (destructieve interferentie).

Dit principe wordt effectief toegepast in noise-cancelling koptelefoons. Deze koptelefoons zijn uitgerust met microfoons die omgevingsgeluid registreren. Vervolgens genereren en zenden ze een precies tegengesteld geluidssignaal uit. Dit tegengestelde signaal zorgt voor destructieve interferentie met het omgevingsgeluid, waardoor het externe geluid voor de luisteraar vrijwel volledig wordt uitgedoofd.