Resonantie

Leerdoelen

•Je kunt rekenen met trillingsenergie.

•Je kunt de drie verschillende diagrammen bij een harmonische trilling herkennen en tekenen.

•Je kunt rekenen met de eigentrillingen en eigenfrequenties.

•Je kunt uitleggen hoe resonantie werkt.

Het massa-veersysteem

Een massa-veersysteem bestaat uit een massa die aan een veer is bevestigd. Wanneer je de massa uitrekt of indrukt en vervolgens loslaat, zal de veer met de massa op en neer bewegen (trillen). Deze beweging is de basis voor veel natuurkundige concepten.

De wet van Hooke

Voor een veer geldt de wet van Hooke, die de veerkracht F relateert aan de uitrekking u: F=-C\cdot u

Hierin staat:

•F voor de veerkracht (in newton, N). Het pijltje boven F geeft aan dat het een vector is, dus het heeft een grootte én een richting.

•C voor de veerconstante (in newton per meter, N/m). Dit is een maat voor de stijfheid van de veer: hoe groter C, hoe stijver de veer.

•u voor de uitrekking of indrukking van de veer ten opzichte van de rustlengte (in meter (m)). Ook u is een vector.

Het minteken in de formule is belangrijk: het geeft aan dat de veerkracht altijd tegengesteld gericht is aan de uitrekking. Als je de veer uitrekt, trekt de veer terug; als je de veer indrukt, duwt de veer terug. De resulterende kracht werkt de beweging tegen.

Trillingstijd van een massa-veersysteem

De trillingstijd (T) is de tijd die nodig is voor één volledige trilling. Voor een massa-veersysteem kan de trillingstijd worden berekend met de volgende formule: T=2\pi\sqrt{\frac{m}{C}}

Hierin is:

•T de trillingstijd (in seconden (s)).

•m de massa van het voorwerp (in kilogram (kg)).

•C de veerconstante (in newton per meter (N/m)).

Rekenvoorbeeld massa-veersysteem

Stel, een veer heeft zonder massa een rustlengte van 11 centimeter. Wanneer er een massa van 440 gram aan wordt gehangen, rekt de veer uit tot 17,7 centimeter. We willen de trillingstijd berekenen wanneer we deze massa omlaag trekken en loslaten.

Gegevens:

•Massa (m) = 440 gram = 0,44 kg

•Rustlengte veer = 11 cm

•Lengte met massa = 17,7 cm

•Uitrekking (u) = 17,7 cm - 11 cm = 6,7 cm = 0,067 m

Gevraagd:

•trillingstijd (T)

Stappen:

1.Bereken de veerconstante C. De massa van 0,44 kg oefent door de zwaartekracht (Fz=m\cdot g) een kracht uit op de veer. Deze kracht zorgt voor de uitrekking u. De veerkracht is dan gelijk aan de zwaartekracht: F=C\cdot u, dus C=\frac{F}{u}. We gebruiken g = 9,8 m/s² (valversnelling). Fz=0,44\cdot9,8{}=4,312\text{ N} C=\frac{4{,}312}{0{,}067}=64,4\text{ N/m} Dit betekent dat je 64,4 newton nodig hebt om de veer één meter uit te rekken.

2.Bereken de trillingstijd T. Nu we C weten, kunnen we T berekenen: T=2\pi\sqrt{\frac{m}{C}} T=2\pi\sqrt{\frac{0{,}44}{64{,}4}} T\thickapprox0,52\text{ s}

De trillingstijd van dit massa-veersysteem is ongeveer 0,52 seconde.

Trillingsenergie en energieomzetting

Wanneer een massa-veersysteem trilt, vindt er voortdurend een energieomzetting plaats tussen verschillende vormen van energie. De totale energie van de trilling, de trillingsenergie, blijft constant als er geen energieverliezen zijn (door wrijving bijvoorbeeld).

Er zijn twee belangrijke vormen van energie bij een trillend massa-veersysteem:

1.Kinetische energie (E_k): dit is de bewegingsenergie van de massa. Ek=\frac{1}{2}mv^2

2.Veerenergie (E_v): Dit is de potentiële energie die is opgeslagen in de veer door uitrekking of indrukking. Ev=\frac{1}{2}Cu^2

De totale trillingsenergie (E_{tril}) is de som van deze twee: E_{tril}=E_{k}+E_{v}=\frac{1}{2}mv^2{}+\frac{1}{2}Cu^2{}

Kijkend naar de uiterste posities van de trilling:

•Maximale uitwijking (u = A of u = -A): De massa staat hier even stil (v = 0), dus de kinetische energie is nul (E_k = 0). Alle trillingsenergie is opgeslagen als veerenergie (Ev=\frac{1}{2}CA^2).

•Ruststand (u = 0): De massa beweegt hier met maximale snelheid (v = v_max), dus de veerenergie is nul (E_v = 0). Alle trillingsenergie is omgezet in kinetische energie (E_{k}=\frac{1}{2}mv_{\max}^2).

Afleiding van de maximale snelheid (v_max)

Aangezien de trillingsenergie constant blijft (in een ideaal systeem zonder verliezen), kunnen we de energie op de twee uiterste posities aan elkaar gelijkstellen: E_tril (bij u=A) = E_tril (bij u=0) \frac{1}{2}CA^2=\frac{1}{2}mv_{\max^{}}^2

Door deze vergelijking om te vormen, kunnen we een formule voor de maximale snelheid v_max afleiden: CA^2=mv_{\max}^2 v_{\max}^2=\frac{CA^2}{m} v_{\max}=A\sqrt{\frac{C}{m}}_{}

We weten ook dat de trillingstijd T=2\pi\sqrt{\frac{m}{C}}. Hieruit volgt dat \sqrt{\frac{m}{C}}=\frac{T}{2\pi} . Door dit te substitueren in de formule voor v_max krijgen we: v_{\max}=A\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi A}{T}

Deze formule laat zien dat de maximale snelheid afhangt van de amplitude en de trillingstijd. Deze relatie tussen maximale snelheid, amplitude en trillingstijd is ook terug te zien bij een eenparige cirkelbeweging, waar een harmonische trilling veel overeenkomsten mee heeft.

Harmonische trillingen in diagrammen

Een harmonische trilling kan op verschillende manieren in diagrammen worden weergegeven:

•(u,t)-diagram (uitwijking-tijddiagram): Hierin wordt de uitwijking (u) van de massa weergegeven als functie van de tijd (t). Deze grafiek heeft een sinusvorm. De formule hiervoor is u\left(t\right)=Asin\left(\frac{2\pi}{T}t\right), waarbij A de amplitude is.

•(v,t)-diagram (snelheid-tijddiagram): Dit diagram toont de snelheid (v) van de massa als functie van de tijd (t). De snelheid is de afgeleide van de uitwijking. De afgeleide van een sinus is een cosinus, dus deze grafiek heeft een cosinusvorm v=Acos(\frac{2\pi}{T}t). Je ziet dat wanneer de uitwijking (u) nul is (massa in ruststand), de snelheid (v) maximaal is.

•(a,t)-diagram (versnelling-tijddiagram): Dit diagram geeft de versnelling (a) van de massa weer als functie van de tijd (t). De versnelling is de afgeleide van de snelheid. De afgeleide van een cosinus is min de sinus, dus deze grafiek heeft een min-sinusvorm. a\left(t\right)=-Asin\left(\frac{2\pi}{T}t\right). Hier valt op dat wanneer de snelheid (v) nul is (massa in een uiterste uitwijking), de versnelling (a) maximaal is (en tegengesteld gericht aan de uitwijking).

Eigentrillingen en gedwongen trillingen

Eigentrilling

Een eigentrilling is de trilling die een voorwerp gaat uitvoeren nadat je het eenmalig een zetje geeft. Denk aan:

•Een slingerklok die je een duwtje geeft.

•Een auto die over een hobbel rijdt en daarna even na veert.

•Een stemvork die je aanslaat.

•Gitaarsnaren of luchtkolommen in blaasinstrumenten, die meerdere eigen trillingen tegelijk kunnen hebben, wat zorgt voor een rijker geluid.

De frequentie waarmee een voorwerp een eigen trilling uitvoert, noemen we de eigenfrequentie (f_{eigen}).

Gedwongen trilling

Een gedwongen trilling ontstaat wanneer een voorwerp in trilling wordt gehouden door een externe kracht of aandrijving. Het voorwerp wordt dus van buitenaf continu 'aangedreven'.

Bij een gedwongen trilling spreken we van:

•De bronfrequentie (f_{bron}): Dit is de frequentie waarmee de externe aandrijving het systeem beïnvloedt.

•De bronamplitude: Dit is de amplitude van de externe aandrijving.

Resonantie

Resonantie treedt op wanneer de bronfrequentie (f_{bron}) van de externe aandrijving precies gelijk is aan de eigenfrequentie (f_{eigen}) van het trillende systeem. Als dit gebeurt, wordt de amplitude van het trillende voorwerp veel groter dan de amplitude van de aandrijvende bron. Het systeem gaat 'extra wild' of 'extra groot' trillen. Dit komt doordat er op het juiste moment energie wordt overgedragen van de bron naar het systeem, wat de trilling versterkt. Uiteindelijk stabiliseert de amplitude op een (veel) hogere constante waarde.

Voorbeeld resonantie

Stel, een grijs balletje aan een veer heeft een eigen frequentie van 0,41 Hz. Als we dit systeem aandrijven met een bronfrequentie van exact 0,41 Hz en een bronamplitude van 1 meter, dan zal de amplitude van het balletje veel groter worden, bijvoorbeeld 3,88 meter. Dit is een direct gevolg van resonantie.

Gewenste en ongewenste resonantie

Resonantie kan zowel gewenst als ongewenst zijn:

•Gewenst: Denk aan het duwen van iemand op een schommel. Door op het juiste moment (de eigen frequentie van de schommel) te duwen, kun je de schommel steeds hoger laten gaan met weinig kracht.

•Ongewenst: Een berucht voorbeeld is de Tacoma Narrows Bridge (1940), die instortte doordat windvlagen een periodieke kracht uitoefenden met een frequentie die exact overeenkwam met de eigen frequentie van de brug. Dit leidde tot enorme uitslagen en uiteindelijk de destructie van de brug. Ook een pieptoon in een microfoon (feedback) is een vorm van ongewenste resonantie.

Effect van bronfrequentie op amplitude

Wat gebeurt er bij een gedwongen trilling als de bronfrequentie niet gelijk is aan de eigenfrequentie?

•f_{bron}: Als de bronfrequentie kleiner is dan de eigen frequentie, zal het systeem wel trillen met een amplitude die groter kan zijn dan de bronamplitude, maar niet zo extreem als bij resonantie. Als de bronfrequentie 0,26 Hz is en de eigen frequentie 0,41 Hz (met bronamplitude 1 m), kan de amplitude van het balletje bijvoorbeeld 1,61 meter worden.

•f_{bron}>f_{eigen}: Als de bronfrequentie groter is dan de eigen frequentie, wordt de amplitude van het systeem doorgaans kleiner dan de bronamplitude. Het systeem kan de snelle aandrijving niet goed volgen en lijkt 'stilgehouden' te worden. Als de bronfrequentie 0,7 Hz is en de eigen frequentie 0,41 Hz (met bronamplitude 1 m), kan de amplitude van het balletje bijvoorbeeld slechts 0,51 meter worden.

Belangrijkste formules

Hieronder vind je een overzicht van de belangrijkste formules die bij dit onderwerp horen:

•Relatie frequentie en trillingstijd: f=\frac{1}{T}

•Wet van Hooke: F=-C\cdot u

•Uitwijking harmonische trilling: u=Asin\left(\frac{2\pi}{T}t\right)

•Trillingstijd massa-veersysteem: T=2\pi\sqrt{\frac{m}{C}}

•Totale trillingsenergie: E_{tril}=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}Cu^2

•Maximale snelheid harmonische trilling: v_{\max}=\frac{2\pi A}{T}