Resonantie

Leerdoelen

•Je kunt uitleggen wat een massa-veersysteem is en dat daarvoor geldt:

• T=2\pi\sqrt{\frac{m}{c}}T=2\pi\sqrt{\frac{m}{\placeholder{}}}T=2\pi\sqrt{m}T=2\pi\sqrt{}T=2\pi\sqrt{m}T=2\pi\sqrt{\placeholder{}}T=2\piT=2\pi\surdT=2\pi\surd(T=2\pi\surd(MT=2\pi\surd(M/T=2\pi\surd(M/C .

•Je kunt rekenen met eigentrillingen en eigenfrequenties.

•Je kunt uitleggen hoe resonantie werkt.

Het massa-veersysteem

Een massa-veersysteem is, zoals de naam al zegt, een systeem dat bestaat uit een massa en een veer. Stel je voor dat je een gewichtje aan een veer hangt. Als je dit gewichtje naar beneden trekt en vervolgens loslaat, zal het op en neer gaan trillen. De tijd die nodig is voor één volledige trilling noemen we de trillingstijd (T).

Voor de trillingstijd T van een massa-veersysteem bestaat een belangrijke formule: T=2\pi\sqrt{\frac{m}{c}}T=2\pi\sqrt{\frac{m}{\placeholder{}}}T=2\pi\sqrt{m}T=2\pi\sqrt{\placeholder{}}T=2\piT=2\pi\surd

Hierin staat:

• voor de trillingstijd in seconden (s)

• voor de massa in kilogram (kg)

• voor de veerconstante in newton per meter (N/m). De veerconstante geeft de stugheid van de veer aan: een hoge C betekent een stugge veer, een lage C een slappe veer.

Voorbeelden van massa-veersystemen zijn een slinger of een dobber in het water.

Rekenvoorbeeld: trillingstijd bepalen

Een veer heeft zonder de massa een lengte van 11,0 cm. Met de massa (m = 440 g) eraan rekt de veer tot 17,7 cm uit. Bereken de trillingstijd van de trilling wanneer de massa omlaag trekt en dan loslaat. Om dit te doen, zetten we eerst de gegevens om naar de juiste eenheden en berekenen we de veerconstante C.

•Massa (m): 440 gram = 0,44 kg

•Uitrekking (u): 17,7 cm - 11 cm = 6,7 cm = 0,067 m (of 6,7 × 10⁻² m)

We weten dat de kracht die op de veer werkt de zwaartekracht is (Fz=m\cdot gFz=\cdot gFz=M\cdot gFz=Mg) en dat F=C\cdot uF=C\cdotF=C\cdot UF=CU. Hieruit volgt C=\frac{F}{u}C=\frac{F}{}C=\frac{F}{U}C=\frac{F}{\placeholder{}}C=FC=F/. De valversnelling (g) nemen we als 9,8 m/s².

1.Bereken de kracht (Fz): Fz=m\times g=0,44\cdot9,8=4,312\text{ N}Fz=\times g=0,44\cdot9,8=4,312\text{ N}Fz=M\times g=0,44\cdot9,8=4,312\text{ N}Fz=M\times g=0,44\cdot9,8=4,312\text{ }Fz=M\times g=0,44\cdot9,8=4,312Fz=M\times g=0,44\cdot9,8=4,312NFz=M\times g=0,44\cdot9,8m=4,312NFz=M\times g=0,44\cdot9,8m/=4,312NFz=M\times g=0,44\cdot9,8m/s=4,312NFz=M\times g=0,44\cdot9,8m/s^{}=4,312NFz=M\times g=0,44\cdot9,8m/s^2=4,312NFz=M\times g=0,44k\cdot9,8m/s^2=4,312NFz=M\times g=0,44kg\cdot9,8m/s^{2}=4,312NFz=M\times g=0,44kg9,8m/s^{2}=4,312N

2.Bereken de veerconstante (C): C=\frac{Fz}{u}=\frac{4{,}312}{0,067}\thickapprox64,4\text{ N/m}C=\frac{Fz}{u}=\frac{4{,}312}{0,067}\thickapprox64,4\text{ Nm}C=\frac{Fz}{u}=\frac{4{,}312}{0,067}\thickapprox64,4\text{ m}C=\frac{Fz}{u}=\frac{4{,}312}{0,067}\thickapprox64,4\text{ m}C=\frac{Fz}{u}=\frac{4{,}312}{0,067}\thickapprox64,4\text{m}C=\frac{Fz}{u}=\frac{4{,}312}{0,067}\thickapprox64,\text{m}C=\frac{Fz}{u}=\frac{4{,}312}{0,067}\thickapprox64,3\text{m}C=\frac{Fz}{u}=\frac{4{,}312}{0,067}\thickapprox64,36\text{m}C=\frac{Fz}{u}=\frac{4{,}312}{0,067}\thickapprox64,36\text{ m}C=\frac{Fz}{u}=\frac{4{,}312}{0,067}\thickapprox64,36\text{ Nm}C=\frac{Fz}{u}=\frac{4{,}312}{0,067}\thickapprox64,36\text{ N/m}C=\frac{Fz}{u}=\frac{4312}{0,067}\thickapprox64,36\text{ N/m}C=\frac{Fz}{u}=\frac{312}{0,067}\thickapprox64,36\text{ N/m}C=\frac{Fz}{u}=4\frac{312}{0,067}\thickapprox64,36\text{ N/m}C=\frac{Fz}{u}=4,\frac{312}{0,067}\thickapprox64,36\text{ N/m}C=\frac{Fz}{u}=4,\frac{312}{0,067}\thickapprox64,36\text{ N/m}C=\frac{Fz}{u}=4,\frac{312}{0,067}\thickapprox64,36\text{N/m}C=\frac{Fz}{u}=4,\frac{312}{0,067}\thickapprox64,36\text{N/}C=\frac{Fz}{u}=4,\frac{312}{0,067}\thickapprox64,36\text{N}C=\frac{Fz}{u}=4,\frac{312}{0,067}\thickapprox64,36C=\frac{Fz}{u}=4,\frac{312}{0,067}\thickapprox64,36NC=\frac{Fz}{u}=4,\frac{312}{0,067}\thickapprox64,36N/C=\frac{Fz}{u}=4,\frac{312}{0,067}\thickapprox64,36N/mC=\frac{Fz}{u}=4,\frac{312}{0,067}\thickapprox64,36N/m(C=\frac{Fz}{u}=4,\frac{312}{0,067}\thickapprox64,36N/m()C=\frac{Fz}{u}=4,\frac{312}{0,067}\thickapprox64,36N/m(afgerond64,4N/m)C=\frac{Fz}{u}=4,\frac{312}{\placeholder{}}\thickapprox64,36N/m(afgerond64,4N/m)C=\frac{Fz}{u}=4,\frac{312}{\placeholder{}}0,067\thickapprox64,36N/m(afgerond64,4N/m)C=\frac{Fz}{u}=4,3120,067\thickapprox64,36N/m(afgerond64,4N/m)C=\frac{Fz}{u}=4,312/0,067\thickapprox64,36N/m(afgerond64,4N/m)C=\frac{Fz}{u}=4,312/0,067m\thickapprox64,36N/m(afgerond64,4N/m)C=\frac{Fz}{u}=4,312N/0,067m\thickapprox64,36N/m(afgerond64,4N/m)C=\frac{Fz}{\placeholder{}}=4,312N/0,067m\thickapprox64,36N/m(afgerond64,4N/m)C=Fz=4,312N/0,067m\thickapprox64,36N/m(afgerond64,4N/m)C=Fz/=4,312N/0,067m\thickapprox64,36N/m(afgerond64,4N/m)

3.Bereken de trillingstijd (T): Nu kunnen we de formule voor de trillingstijd gebruiken: T=2\pi\sqrt{\frac{m}{C}}=2\pi\sqrt{\frac{0{,}44}{64{,}4}}\thickapprox0,52\text{ s}T=2\pi\sqrt{\frac{m}{C}}=2\pi\sqrt{\frac{0{,}44}{64{,}4}}\thickapprox0,52\text{ }T=2\pi\sqrt{\frac{m}{C}}=2\pi\sqrt{\frac{0{,}44}{64{,}4}}\thickapprox0,52T=2\pi\sqrt{\frac{m}{C}}=2\pi\sqrt{\frac{0{,}44}{64{,}4}}\thickapprox0,52sT=2\pi\sqrt{\frac{m}{C}}=2\pi\sqrt{\frac{0{,}44}{64{,}}}\thickapprox0,52sT=2\pi\sqrt{\frac{m}{C}}=2\pi\sqrt{\frac{0{,}44}{64}}\thickapprox0,52sT=2\pi\sqrt{\frac{m}{C}}=2\pi\sqrt{\frac{0{,}44}{6}}\thickapprox0,52sT=2\pi\sqrt{\frac{m}{C}}=2\pi\sqrt{\frac{0{,}44}{\placeholder{}}}\thickapprox0,52sT=2\pi\sqrt{\frac{m}{C}}=2\pi\sqrt{0{,}44}\thickapprox0,52sT=2\pi\sqrt{\frac{m}{C}}=2\pi\sqrt{0{,}4}\thickapprox0,52sT=2\pi\sqrt{\frac{m}{C}}=2\pi\sqrt{0{,}}\thickapprox0,52sT=2\pi\sqrt{\frac{m}{C}}=2\pi\sqrt0\thickapprox0,52sT=2\pi\sqrt{\frac{m}{C}}=2\pi\sqrt{\placeholder{}}\thickapprox0,52sT=2\pi\sqrt{\frac{m}{C}}=2\pi\thickapprox0,52sT=2\pi\sqrt{\frac{m}{C}}=2\pi\surd\thickapprox0,52sT=2\pi\sqrt{\frac{m}{C}}=2\pi\surd(\thickapprox0,52sT=2\pi\sqrt{\frac{m}{C}}=2\pi\surd(0\thickapprox0,52sT=2\pi\sqrt{\frac{m}{C}}=2\pi\surd(0,\thickapprox0,52sT=2\pi\sqrt{\frac{m}{C}}=2\pi\surd(0,4\thickapprox0,52sT=2\pi\sqrt{\frac{m}{C}}=2\pi\surd(0,44kg/64,4N/m)\thickapprox0,52sT=2\pi\sqrt{\frac{m}{\placeholder{}}}=2\pi\surd(0,44kg/64,4N/m)\thickapprox0,52sT=2\pi\sqrt{m}=2\pi\surd(0,44kg/64,4N/m)\thickapprox0,52sT=2\pi\sqrt{\placeholder{}}=2\pi\surd(0,44kg/64,4N/m)\thickapprox0,52sT=2\pi=2\pi\surd(0,44kg/64,4N/m)\thickapprox0,52sT=2\pi\surd=2\pi\surd(0,44kg/64,4N/m)\thickapprox0,52sT=2\pi\surd m=2\pi\surd(0,44kg/64,4N/m)\thickapprox0,52sT=\frac{2\pi\surd m}{\placeholder{}}=2\pi\surd(0,44kg/64,4N/m)\thickapprox0,52sT=2\pi\surd m=2\pi\surd(0,44kg/64,4N/m)\thickapprox0,52sT=2\pi\surd=2\pi\surd(0,44kg/64,4N/m)\thickapprox0,52sT=2\pi\surd(=2\pi\surd(0,44kg/64,4N/m)\thickapprox0,52sT=2\pi\surd(M=2\pi\surd(0,44kg/64,4N/m)\thickapprox0,52sT=2\pi\surd(M/=2\pi\surd(0,44kg/64,4N/m)\thickapprox0,52sT=2\pi\surd(M/C=2\pi\surd(0,44kg/64,4N/m)\thickapprox0,52s

De trillingstijd van dit massa-veersysteem is dus 0,52 seconden. Dit betekent dat na 0,52 seconden de massa één complete trilling heeft uitgevoerd.

Eigentrilling en eigenfrequentie

Wanneer je een voorwerp een zetje geeft en het vervolgens uit zichzelf laat trillen, spreken we van een eigentrilling. Elk voorwerp heeft een of meer frequenties waarmee het bij voorkeur trilt. Deze frequentie noemen we de eigenfrequentie (f_{eigen}f_{eige}f_{eig}f_{ei}f_{e}f_{}f_{w}f_{wi}f_{wiw}f_{wi}f_{w}f_{\placeholder{}}f).

Systemen met één eigentrilling zijn bijvoorbeeld een slingerklok, een stemvork of, zoals we net zagen, een massa-veersysteem. Er zijn ook systemen met meerdere eigen trillingen tegelijk, zoals gitaarsnaren, luchtkolommen in blaasinstrumenten, of klankkasten van andere instrumenten.

Gedwongen trillingen

Soms wordt een voorwerp niet alleen door een initiële zet in beweging gebracht, maar wordt het ook van buitenaf voortdurend aangedreven. Dit noemen we een gedwongen trilling. De externe aandrijving heeft een specifieke frequentie, de bronfrequentie (ook wel aandrijffrequentie genoemd), en een bijbehorende bronamplitude (of aandrijfamplitude).

Voorbeeld massa-veersysteem

Stel je een massa-veersysteem voor met een eigen frequentie van 0,41 hertz (Hz). Als dit systeem wordt aangedreven door een bron met dezelfde bronfrequentie van 0,41 Hz, dan zie je in een grafiek hoe de trillingsuitwijking van het massa-veersysteem (de paarse lijn) veel groter wordt dan die van de bron (de groene lijn). De bronamplitude was bijvoorbeeld 1 meter, maar de amplitude van het massa-veersysteem wordt wel 3,88 meter!

Resonantie: het effect van gelijke frequenties

Een bijzonder fenomeen bij gedwongen trillingen is resonantie. Resonantie treedt op wanneer de bronfrequentie van de aandrijving precies gelijk is aan de eigenfrequentie van het voorwerp (f_{bron}=f_{eigen}f_{bron}=f_{eige}f_{bron}=f_{eig}f_{bron}=f_{ei}f_{bron}=f_{e}f_{bron}=f_{\placeholder{}}f_{bron}=ff_{bron}=fef_{bron}=feigenf_{bro}=feigenf_{br}=feigenf_{b}=feigenf_{\placeholder{}}=feigenf=feigenfbron=feigenfbron=feigefbron=feigfbron=feifbron=fefbron=ffbron=fbronfbrofbrfb). Het gevolg hiervan is een enorme toename van de amplitude van de trilling van het voorwerp, veel groter dan de amplitude van de bron zelf. Dit komt doordat er op het juiste moment energie wordt overgedragen aan het systeem. Dit is te vergelijken met het duwen van iemand op een schommel. Als je precies op het juiste moment een zetje geeft (dus met de eigen frequentie van de schommel), zal de schommel steeds hoger gaan.

Resonantie kan gewenst zijn, zoals bij een schommel, maar kan ook ongewenst en zelfs gevaarlijk zijn, bijvoorbeeld bij het instorten van bruggen of een pieptoon bij een microfoon.

Wat gebeurt er als de frequenties niet gelijk zijn?

Niet altijd is de bronfrequentie gelijk aan de eigen frequentie. Wat gebeurt er dan met de amplitude van de gedwongen trilling?

Bronfrequentie veel kleiner dan eigenfrequentie

Als de bronfrequentie veel kleiner is dan de eigen frequentie van het massa-veersysteem, bijvoorbeeld een bronfrequentie van 0,26 Hz bij een eigen frequentie van 0,41 Hz, dan wordt de amplitude van het massa-veersysteem wel iets groter dan die van de bron (bijvoorbeeld 1,61 meter bij een bronamplitude van 1 meter), maar niet zo substantieel als bij resonantie.

Bronfrequentie veel groter dan eigen frequentie

Is de bronfrequentie juist veel groter dan de eigen frequentie, bijvoorbeeld een bronfrequentie van 0,7 Hz bij een eigen frequentie van 0,41 Hz, dan werkt de aandrijving eigenlijk elke keer een beetje tegen het systeem in. Het gevolg is dat de amplitude van het massa-veersysteem veel kleiner wordt dan de bronamplitude (bijvoorbeeld 0,51 meter bij 1 meter bronamplitude).

Een instortende brug: een noodlottig voorbeeld van resonantie

De Tacoma Narrows Bridge (een brug) stortte in 1940 in. De oorzaak hiervan was resonantie. De wind oefende een periodieke kracht uit op de brug, met een frequentie die precies overeenkwam met de eigen frequentie van de brug. Dit leidde tot steeds grotere trillingsamplitudes, totdat de brug de krachten niet meer aankon en bezweek. Dit is een tragisch, maar duidelijk voorbeeld van de destructieve kracht van ongewenste resonantie.