Goniometrie bij natuurkunde

Leerdoelen

•Je kunt wiskundige basisvaardigheden zoals het rekenen met oppervlakte en volume toepassen.

•Je kunt de stelling van Pythagoras gebruiken om zijden van een rechthoekige driehoek te berekenen.

•Je kunt goniometrie toepassen met sinus, cosinus en tangens (SOS, CAS, TOA) op rechthoekige driehoeken.

Welke formules gebruik je voor oppervlakte en volume?

Voor het vak natuurkunde is het belangrijk om basisvaardigheden in wiskunde te beheersen, waaronder het berekenen van oppervlaktes en volumes van verschillende geometrische vormen. Deze formules zijn ook te vinden in Binas-tabel 36B.

Hoe bereken je oppervlakte en omtrek van 2D-figuren?

Hieronder staan de formules voor de oppervlakte (A) en omtrek van tweedimensionale figuren. De omtrek is de totale lengte van de buitenste rand van een 2D-figuur.

•Rechthoek

•Oppervlakte: A = breedte × hoogte (b × h)

•Omtrek: 2 × breedte + 2 × hoogte

•Driehoek

•Oppervlakte: A = ½ × hoogte × breedte (½ × h × b)

•Omtrek: breedte + hoogte + schuine zijde

•De schuine zijde kan berekend worden met goniometrie of de stelling van Pythagoras.

•Cirkel

•Oppervlakte: A=\pi r^2A=\pi rA=\pi r^ of A=\frac{1}{4}\pi d^2A=\frac{1}{4}\pi dA=\frac{1}{4}\pi d^

•Straal (R) is de afstand van het midden naar de zijkant van de cirkel.

•Diameter (D) is de afstand van de ene kant naar de andere kant van de cirkel, door het midden (d = 2r).

•Omtrek:

Hoe bereken je oppervlakte en volume van 3D-figuren?

Hieronder staan de formules voor het volume (V) en de oppervlakte van driedimensionale figuren. Volume is de inhoud van een 3D-figuur.

•Kubus of balk

•Volume: V = lengte × breedte × hoogte

•Oppervlakte (buitenmantel): 2 × (lengte × breedte) + 2 × (lengte × hoogte) + 2 × (breedte × hoogte)

•Bol

•Oppervlakte: A=4\pi r^2A=4\pi rA=4\pi r^

•Volume: V=\frac43\pi r^3V=\frac43\pi rV=\frac43\pi r^V=\frac43\pi r^{3}V=\frac{4}{\placeholder{}}\pi r^{3}V=4\pi r^{3}V=\pi r^{3}V=^{4}⁄\_{}\pi r^{3}

•Cilinder

•Volume: V=\pi r^2\times hoogteV=\pi r\times hoogteV=\pi r^{}\times hoogte (oppervlakte van de cirkel × hoogte)

•Oppervlakte (buitenmantel): A=2\pi rh+2\pi r^2A=2\pi rh+2\pi rA=2\pi rh+2\pi r^ (omtrek van de cirkel × hoogte + 2 × oppervlakte van de cirkel)

Wanneer en hoe pas je de stelling van Pythagoras toe?

De stelling van Pythagoras beschrijft de relatie tussen de zijden van een rechthoekige driehoek, een driehoek met één hoek van 90 graden. Je past de stelling van Pythagoras toe wanneer twee zijden van een rechthoekige driehoek bekend zijn en de derde zijde berekend moet worden.

De formule van Pythagoras is: s^2=a^2+h^2s^2=a^2+hs^2=a^2+h^s^2=a^2+h^{2}s^2=a+h^{2}s^2=a^+h^{2}s^2=a^{2}+h^{2}s=a^{2}+h^{2}s^{}=a^{2}+h^{2}

Hierin is:

•: de schuine zijde (ook wel hypotenusa genoemd), de langste zijde van de driehoek, die tegenover de rechte hoek ligt.

•: een aanliggende zijde (korte zijde).

•: de andere aanliggende zijde (korte zijde).

Voorbeeld: Om de hoogte () uit te rekenen, als s en a bekend zijn, gebruik je: h=\sqrt{s^2-a^2}h=\surd\sqrt{s^2-a^2}h=\surd(\sqrt{s^2-a^2}h=\surd(s\sqrt{s^2-a^2}h=\surd(s^\sqrt{s^2-a^2}h=\surd(s^{2}\sqrt{s^2-a^2}h=\surd(s^{2}-\sqrt{s^2-a^2}h=\surd(s^{2}-a\sqrt{s^2-a^2}h=\surd(s^{2}-a^\sqrt{s^2-a^2}h=\surd(s^{2}-a^{2}\sqrt{s^2-a^2}h=\surd(s^{2}-a^{2})\sqrt{s^2-a^2}h=\surd(s^{2}-a^{2})\sqrt{s^2-a^2}-h=\surd(s^{2}-a^{2})\sqrt{s^2-a^2}-ah=\surd(s^{2}-a^{2})\sqrt{s^2-a^2}-a^{}h=\surd(s^{2}-a^{2})\sqrt{s^2-a^2}-a^2h=\surd(s^{2}-a^{2})\sqrt{s^2-a}-a^2h=\surd(s^{2}-a^{2})\sqrt{s^2-}-a^2h=\surd(s^{2}-a^{2})\sqrt{s^2}-a^2h=\surd(s^{2}-a^{2})\sqrt{s^2}--a^2h=\surd(s^{2}-a^{2})\sqrt{s^2}-a^2h=\surd(s^{2}-a^{2})\sqrt{s^2}-ah=\surd(s^{2}-a^{2})\sqrt{s^2}-h=\surd(s^{2}-a^{2})\sqrt{s^2}h=\surd(s^{2}-a^{2})\sqrt{s}h=\surd(s^{2}-a^{2})\sqrt{\placeholder{}}

Hoe gebruik je goniometrie in een rechthoekige driehoek?

Goniometrie is een tak van de wiskunde die de relaties tussen hoeken en zijden van driehoeken bestudeert. Je gebruikt goniometrie in een rechthoekige driehoek wanneer:

1.Een zijde en een hoek gegeven zijn en een andere zijde berekend moet worden.

2.Twee zijden gegeven zijn en een hoek berekend moet worden.

De goniometrische functies sinus (sin), cosinus (cos) en tangens (tan) worden toegepast met het ezelsbruggetje "SOS, CAS, TOA".

Wat betekenen SOS, CAS en TOA?

Voor een specifieke hoek (bijvoorbeeld hoek alfa) in een rechthoekige driehoek definieer je de volgende zijden:

•De overstaande zijde (O) is de zijde die tegenover de hoek alfa ligt.

•De aanliggende zijde (A) is de zijde die naast de hoek alfa ligt, maar niet de schuine zijde.

•De schuine zijde (S) is de langste zijde tegenover de rechte hoek.

De afkortingen "SOS, CAS, TOA" staan voor:

•SOS: Sinus(hoek \alpha) = Overstaande zijde / Schuine zijde

•CAS: Cosinus(hoek ) = Aanliggende zijde / Schuine zijde

•TOA: Tangens(hoek ) = Overstaande zijde / Aanliggende zijde

Hoe bereken je een hoek met goniometrie?

Als twee zijden bekend zijn en je een hoek wilt berekenen, deel je de betreffende zijden op elkaar volgens de SOS-, CAS- of TOA-regel . Vervolgens gebruik je de inverse functie op je rekenmachine. Bijvoorbeeld, als cosinus(hoek alfa) = (aanliggende zijde / schuine zijde) bekend is, dan bereken je hoek alfa met de inverse cosinus (cos⁻¹): hoek alfa = cos⁻¹(aanliggende zijde / schuine zijde)

De inverse cosinus (cos⁻¹) is een knop op je rekenmachine. Zorg ervoor dat je rekenmachine is ingesteld op graden en niet op radialen om correcte antwoorden te krijgen.

Voorbeeldberekening met goniometrie

Stel, twee krachten, kracht 1 en kracht 2, werken op een balletje. Deze krachten resulteren in een resulterende kracht (Fres) naar rechtsboven. De hoek tussen de resulterende kracht en F2 is 43 graden. F2 is 6 centimeter lang. De vraag is wat de lengte is van de resulterende kracht.

1.Identificeer de rechthoekige driehoek: De krachten vormen een rechthoekige driehoek. In deze driehoek is de resulterende kracht (Fres) de schuine zijde (S) en F2 de aanliggende zijde (A) ten opzichte van de hoek van 43 graden.

2.Kies de juiste goniometrische functie: Gegeven zijn de aanliggende zijde (A) en de hoek. Gevraagd wordt naar de schuine zijde (S). Volgens "SOS, CAS, TOA" is "CAS" (Cosinus = Aanliggende / Schuine) de juiste keuze.

1.cos(hoek alfa) = aanliggende zijde / schuine zijde

3.Herschrijf de formule om de schuine zijde te vinden:

1.schuine zijde = aanliggende zijde / cos(hoek alfa)

4.Vul de waarden in en bereken:

1.Fres = 6 / cos(43°)

2.Fres = 6 / 0.731

3.Fres ≈ 8,2 Newton