Goniometrie bij natuurkunde

Leerdoelen

•Je kunt rekenen met oppervlakte en volume van verschillende 2D- en 3D-figuren.

•Je kunt de stelling van Pythagoras toepassen in een rechthoekige driehoek.

•Je kunt goniometrische verhoudingen (sinus, cosinus, tangens) toepassen om zijden of hoeken in een rechthoekige driehoek te berekenen.

Hoe bereken je oppervlakte en omtrek van 2D-figuren?

De oppervlakte is de grootte van een tweedimensionaal vlak. De omtrek is de lengte van de buitenrand van een tweedimensionaal figuur.

•Rechthoek:

•Oppervlakte (A): A=b\cdot hA=bhA=b*h (breedte * hoogte)

•Omtrek: 2\cdot b+2\cdot h2\cdot b+2h2\cdot b+2*h2b+2*h

•Driehoek:

•Oppervlakte (A): A=0.5\cdot h\cdot bA=0.5\cdot hbA=0.5\cdot h*bA=0.5h*b (half * hoogte * breedte)

•Omtrek: (breedte + hoogte + schuine zijde)

•De schuine zijde is de zijde die tegenover de rechte hoek ligt in een rechthoekige driehoek, en is de langste zijde. Deze zijde kan worden berekend met goniometrie of de stelling van Pythagoras.

•Cirkel:

•De straal (r) is de afstand van het middelpunt naar de zijkant van de cirkel. De diameter (d) is de afstand van de ene kant helemaal naar de andere kant van de cirkel, door het middelpunt d=2\cdot rd=2r.

•Oppervlakte (A): A=\pi\cdot r^2A=\pi\cdot rA=\pi\cdot r^A=\pi\cdot r^{2}A=\pi r^{2} of A=0,25\cdot\pi\cdot d^2A=0,25\cdot\pi\cdot dA=0,25\cdot\pi\cdot d^A=0,25\cdot\pi\cdot d^{2}A=0,25\cdot\pi d^{2}A=0,25\cdot\pi *d^{2}A=0,25\pi *d^{2}

•Omtrek: 2\cdot\pi\cdot r2\cdot\pi r2\cdot\pi *r2\pi *r

(Staat ook allemaal in Binas-tabel 36B)

Hoe bereken je oppervlakte en volume van 3D-figuren?

Het volume is de grootte van een driedimensionale ruimte.

•Kubus of balk:

•Volume (V): V=l\cdot b\cdot hV=l\cdot bhV=l\cdot b*hV=lb*h (lengte * breedte * hoogte)

•Oppervlakte: De oppervlakte van een kubus of balk bestaat uit de oppervlaktes van de zes zijden, één langwerpige zijde (lengte * breedte) die vier keer voorkomt en de kopse kanten (breedte * hoogte) die twee keer voorkomen.

•Bol:

•Oppervlakte (A): A=4\cdot\pi\cdot r^2A=4\cdot\pi\cdot rA=4\cdot\pi\cdot r^A=4\cdot\pi\cdot r^{2}A=4\cdot\pi r^{2}A=4\cdot\pi *r^{2}A=4\pi *r^{2}

•Volume (V): V=(\frac43)\cdot\pi\cdot r^2V(\frac43)\cdot\pi\cdot r^2(\frac43)\cdot\pi\cdot r^2v(\frac43)\cdot\pi\cdot r^2(\frac43)\cdot\pi\cdot r^2(\frac{4}{\placeholder{}})\cdot\pi\cdot r^2(4)\cdot\pi\cdot r^2()\cdot\pi\cdot r^2(3)\cdot\pi\cdot r^2(\frac{3}{})\cdot\pi\cdot r^2(\frac34)\cdot\pi\cdot r^2(\frac34)\cdot\pi\cdot r(\frac34)\cdot\pi\cdot r^(\frac34)\cdot\pi\cdot r^{2}(\frac34)\cdot\pi r^{2}(\frac34)\cdot\pi *r^{2}(\frac34)\pi *r^{2}(\frac34)*\pi *r^{2}(\frac{3}{\placeholder{}})*\pi *r^{2}(3)*\pi *r^{2}()*\pi *r^{2}(4)*\pi *r^{2}(4/)*\pi *r^{2}

•Cilinder:

•Volume (V): V=\pi\cdot r^2\cdot hV=\pi\cdot r^2hV=\pi\cdot r^2*hV=\pi\cdot r*hV=\pi\cdot r^*hV=\pi\cdot r^{2}*hV=\pi r^{2}*h (oppervlakte van de cirkel * hoogte)

•Oppervlakte (A): A=2\cdot\pi\cdot r\cdot h+2\cdot\pi\cdot r^2A=2\cdot\pi\cdot r\cdot h+2\cdot\pi\cdot rA=2\cdot\pi\cdot r\cdot h+2\cdot\pi\cdot r^A=2\cdot\pi\cdot r\cdot h+2\cdot\pi\cdot r^{2}A=2\cdot\pi\cdot r\cdot h+2\cdot\pi r^{2}A=2\cdot\pi\cdot r\cdot h+2\cdot\pi *r^{2}A=2\cdot\pi\cdot r\cdot h+2\pi *r^{2}A=2\cdot\pi\cdot r\cdot h+2*\pi *r^{2}A=2\cdot\pi\cdot rh+2*\pi *r^{2}A=2\cdot\pi\cdot r*h+2*\pi *r^{2}A=2\cdot\pi r*h+2*\pi *r^{2}A=2\cdot\pi *r*h+2*\pi *r^{2}A=2\pi *r*h+2*\pi *r^{2} (omtrek van de cirkel * hoogte plus twee keer de oppervlakte van de cirkel

(Staat ook allemaal in Binas-tabel 36B)

Hoe pas je de stelling van Pythagoras toe?

De stelling van Pythagoras is een wiskundige stelling die de relatie beschrijft tussen de zijden van een rechthoekige driehoek. Je past de stelling van Pythagoras toe in een rechthoekige driehoek (een driehoek met één hoek van 90 graden) als twee zijden zijn gegeven en je de derde zijde wilt berekenen.

De formule van Pythagoras luidt: s^2=a^2+h^2s^2=a^2+hs^2=a^2+h^s^2=a^2+h^{2}s^2=a+h^{2}s^2=a^+h^{2}s^2=a^{2}+h^{2}s=a^{2}+h^{2}s^=a^{2}+h^{2}, waarbij:

• = de schuine zijde

• = een aanliggende zijde van de rechte hoek

• = de andere aanliggende zijde van de rechte hoek

Als je bijvoorbeeld h wilt uitrekenen, dan is de formule: h=\sqrt{s^2-a^2}h=\sqrt{s^2-a^2}(h=\sqrt{s^2-a^2}(sh=\sqrt{s^2-a^2}(s^h=\sqrt{s^2-a^2}(s^{2}h=\sqrt{s^2-a^2}(s^{2}-h=\sqrt{s^2-a^2}(s^{2}-ah=\sqrt{s^2-a^2}(s^{2}-a^h=\sqrt{s^2-a^2}(s^{2}-a^{2}h=\sqrt{s^2-a^2}(s^{2}-a^{2})h=\sqrt{s^2-a^2}(s^{2}-a^{2}).h=\sqrt{s^2-a}(s^{2}-a^{2}).h=\sqrt{s^2-}(s^{2}-a^{2}).h=\sqrt{s^2}(s^{2}-a^{2}).h=\sqrt{s^2}-(s^{2}-a^{2}).h=\sqrt{s^2}(s^{2}-a^{2}).h=\sqrt{s}(s^{2}-a^{2}).h=\sqrt{\placeholder{}}(s^{2}-a^{2}).h=(s^{2}-a^{2}).h=w(s^{2}-a^{2}).h=wo(s^{2}-a^{2}).h=wor(s^{2}-a^{2}).h=wort(s^{2}-a^{2}).h=worte(s^{2}-a^{2}).

Wat is goniometrie en hoe gebruik je het?

Goniometrie is een onderdeel van de wiskunde dat zich bezighoudt met hoeken en de lengtes van zijden in driehoeken. Je gebruikt goniometrie bij een rechthoekige driehoek.

Vanuit een hoek alfa (α) in een rechthoekige driehoek definieer je de zijden als volgt:

•De overstaande zijde (O) ligt tegenover hoek alfa.

•De aanliggende zijde (A) ligt naast hoek alfa en is niet de schuine zijde.

•De schuine zijde (S) ligt tegenover de rechte hoek en is altijd de langste zijde.

Wanneer gebruik je goniometrie?

Je gebruikt goniometrie in twee situaties:

•Een zijde en een hoek zijn gegeven en je moet een andere zijde berekenen.

•Twee zijden zijn gegeven en je moet een hoek berekenen.

Welk ezelsbruggetje helpt bij goniometrische verhoudingen?

Het ezelsbruggetje SOS CAS TOA helpt je de goniometrische verhoudingen te onthouden. Deze verhoudingen zijn:

Hoe bereken je een hoek met goniometrie?

Als twee zijden zijn gegeven en je een hoek wilt berekenen, gebruik je de inverse cosinus (cos⁻¹), inverse sinus (sin⁻¹) of inverse tangens (tan⁻¹). Dit zijn knopjes op je rekenmachine.

Belangrijk: controleer altijd of je rekenmachine op graden staat en niet op radialen. Anders krijg je verkeerde antwoorden. Graden is een eenheid voor het meten van hoeken, waarbij een volledige cirkel 360 graden is.

Voorbeeldberekening met de cosinus

Stel, je hebt een helling met een hoek van 43 graden. De breedte van de helling (aanliggende zijde A) is 6 meter. Je wilt de lengte van de helling (schuine zijde S) berekenen.

1.Identificeer de rechthoekige driehoek: teken of herken de rechthoekige driehoek. De breedte is de aanliggende zijde (A) ten opzichte van de hoek van 43 graden. De lengte van de helling is de schuine zijde (S).

2.Kies de juiste goniometrische verhouding: Je kent de aanliggende zijde (A) en zoekt de schuine zijde (S). Volgens SOS CAS TOA gebruik je CAS, dus de cosinus.

1.cos(\alpha)=\frac{A}{S}cos(\alpha)=\frac{A}{\placeholder{}}cos(\alpha)=Acos(\alpha)=A/

3.Vul de bekende waarden in:

1.cos(43\degree)=\frac{6}{S}cos(43\degree)=\frac{6}{\placeholder{}}cos(43\degree)=6cos(43\degree)=6/cos(43\degree)=6/Scos(43\degree)=6/S

4.Bereken de onbekende zijde:

1.S=\frac{6}{cos(43\degree)}S=\frac{6}{\placeholder{}}S=6S=6/

2.S=8,2meter