Energiebalans

Leerdoelen

•Je kunt de wet van behoud van energie toepassen op diverse situaties in de natuurkunde.

•Je kunt een energiebalans opstellen voor:

•een voorwerp dat omhoog beweegt en afremt onder invloed van zwaartekracht en wrijving (zoals een fietser op een helling).

•een afremmende beweging waarbij wrijvingsarbeid de kinetische energie vermindert (zoals een auto die afremt).

•een vrije val zonder wrijving (bijvoorbeeld een skater in een halfpipe).

•een valbeweging met wrijving.

•een verticale worp waarbij zwaartekracht en wrijving een rol spelen.

•Je kunt de formules voor kinetische energie, zwaarte-energie en warmte correct gebruiken in berekeningen.

•Je kunt ontbrekende grootheden zoals warmte, wrijvingskracht of snelheden berekenen aan de hand van een energiebalans.

•Je kunt snelheden van kilometer per uur omzetten naar meter per seconde.

•Je kunt complexe berekeningen correct invoeren op je rekenmachine.

De wet van behoud van energie

De wet van behoud van energie is een fundamenteel principe in de natuurkunde. Het stelt dat de totale hoeveelheid energie in een geïsoleerd systeem constant blijft. Energie kan niet worden gecreëerd of vernietigd, maar kan wel worden omgezet van de ene vorm naar de andere. Dit betekent dat de totale som (Σ) van de energie die een systeem ingaat, gelijk is aan de totale som van de energie die eruit gaat.

Een andere belangrijke formulering van de wet van behoud van energie is dat de som van de arbeid die op een voorwerp wordt verricht, gelijk is aan het verschil in kinetische energie van dat voorwerp (ΣW = ΔEk). Deze formulering is vooral handig bij situaties waarin krachten arbeid verrichten.

Energiebalans opstellen

Het opstellen van een energiebalans is vaak lastig, maar met oefening wordt het makkelijker. Je vergelijkt de energieën in een beginsituatie (situatie A) met die in een eindsituatie (situatie B). Denk hierbij aan de volgende energievormen:

•Kinetische energie (): Energie door beweging. Formule:

•Zwaarte-energie (): Energie door hoogte. Formule:

•Warmte (): Energie die vrijkomt door wrijving.

Toepassing 1: Fietser op een helling

Een fietser met een fiets heeft een gezamenlijke massa (m) van 95 kg. De fietser rijdt met een snelheid (v) van 25 kilometer per uur en stopt met fietsen als hij een helling van 7 graden oprijdt. Na een afstand (s) van 20 meter komt de fietser tot stilstand. Tijdens het remmen ontstaat er wrijving, wat resulteert in warmte. De vraag is: hoe groot is de warmte die hierbij ontstaat?

De energiebalans

We vergelijken situatie A (fietser begint te remmen onderaan de helling) met situatie B (fietser staat stil bovenaan de helling).

In situatie A:

•Zwaarte-energie (): Nul, want de fietser bevindt zich op het referentievlak (het begin van de helling).

•Kinetische energie (): Maximaal, want de fietser heeft nog snelheid.

•Warmte (): Nul, want de wrijving begint pas op te treden.

In situatie B:

•Zwaarte-energie (): Maximaal, want de fietser heeft een bepaalde hoogte bereikt.

•Kinetische energie (): Nul, want de fietser staat stil.

•Warmte (): De te berekenen warmte die is vrijgekomen.

De energiebalans wordt dan:

Met de formules ingevuld: \frac{1}{2}mv_{A}^2=mgh_{B}+Q\frac{1}{2}mv_{A}=mgh_{B}+Q\frac{1}{2}mv_{A}{2}=mgh_{B}+Q\frac{1}{2}mv_{A}^{2}=mgh_{B}+Q\frac{1}{2}mv_{A}^{2}=mgh_{B}+Q\frac{1}{2}mv_{A}^{2}=mgh_{B}+Q

De hoogte (h_B) kan berekend worden met de afgelegde afstand (s) en de hoek (α) van de helling:

Berekening van de warmte

Laten we de waarden invullen en de warmte berekenen:

•

•

•

•

• (zwaartekrachtsversnelling)

1.Bereken de hoogte h_B:

2.Vul de waarden in de energiebalansformule in: \frac{1}{2}\cdot95\cdot(25/3.6)^2{}=95\cdot9.81\cdot(20\cdot sin(7\degree))+Q\frac{1}{2}\cdot95\cdot(25/3.6){}=95\cdot9.81\cdot(20\cdot sin(7\degree))+Q\frac{1}{2}\cdot95\cdot(25/3.6)^{2}=95\cdot9.81\cdot(20\cdot sin(7\degree))+Q\frac{1}{2}\cdot95\cdot(25/3.6)^{2}=95\cdot9.81\cdot(20\cdot sin(7\degree))+Q\frac{1}{2}\cdot95\cdot(25/3.6)^{2}=95\cdot9.81\cdot(20\cdot sin(7\degree))+Q

3.Reken de linkerterm uit (Ek_A): \frac{1}{2}\cdot95\cdot(6.944...)^2\thickapprox2289.4J\frac{1}{2}\cdot95\cdot(6.944...)\thickapprox2289.4J\frac{1}{2}\cdot95\cdot(6.944...)^\thickapprox2289.4J

4.Reken de term voor Ez_B uit:

5.Bereken Q:

Toepassing 2: Auto remmen

Een andere toepassing van de wet van behoud van energie betreft arbeid en kinetische energie. De formule die daarbij hoort is:

Hierbij staat voor de totale arbeid die op een voorwerp wordt verricht, en voor het verschil in kinetische energie (Ek_{eind}-Ek_{begin}Ek_{eind}-Ek_{begi}Ek_{eind}-Ek_{beg}Ek_{eind}-Ek_{beg\in}Ek_{eind}-Ek_{begi}Ek_{eind}-Ek_{beg}Ek_{eind}-Ek_{be}Ek_{eind}-Ek_{b}Ek_{eind}-Ek_{b}eEk_{eind}-Ek_{b}egEk_{eind}-Ek_{b}egiEk_{eind}-Ek_{b}eginEk_{ein}-Ek_{b}eginEk_{ei}-Ek_{b}eginEk_{e}-Ek_{b}eginEk_{e\in}-Ek_{b}eginEk_{e\in d}-Ek_{b}eginEk_{e\in}-Ek_{b}eginEk_{ei}-Ek_{b}eginEk_{e}-Ek_{b}eginEk_{e}i-Ek_{b}eginEk_{e}in-Ek_{b}egin). Wanneer een auto remt, is de arbeid die wordt verricht voornamelijk wrijvingsarbeid. Deze arbeid is negatief, omdat de wrijvingskracht tegengesteld is aan de bewegingsrichting.

Situatiebeschrijving

Een auto met een massa van 1450 kg rijdt met een snelheid van 130 km/u. De bestuurder ziet een snelheidsbeperking van 70 km/u en remt af over een afstand van 80 meter. Wat is de gemiddelde tegenwerkende kracht (wrijvingskracht) die hierbij is opgetreden? De kracht moet in newton worden uitgerekend.

Energiebalans en berekening

De arbeid die de wrijvingskracht levert, is gelijk aan de verandering in kinetische energie. W_{wrijving}=Ek_{eind}-Ek_{begin}W_{wrijving}=Ek_{eind}-Ek_{begi}W_{wrijving}=Ek_{eind}-Ek_{begi}nW_{wrijving}=Ek_{eind}-Ek_{begi}W_{wrijving}=Ek_{eind}-Ek_{beg}W_{wrijving}=Ek_{eind}-Ek_{beg\in}W_{wrijving}=Ek_{eind}-Ek_{begi}W_{wrijving}=Ek_{eind}-Ek_{beg}W_{wrijving}=Ek_{eind}-Ek_{be}W_{wrijving}=Ek_{eind}-Ek_{b}W_{wrijving}=Ek_{eind}-Ek_{b}eW_{wrijving}=Ek_{eind}-Ek_{b}egW_{wrijving}=Ek_{eind}-Ek_{b}egiW_{wrijving}=Ek_{eind}-Ek_{b}eginW_{wrijving}=Ek_{ein}-Ek_{b}eginW_{wrijving}=Ek_{ei}-Ek_{b}eginW_{wrijving}=Ek_{e}-Ek_{b}eginW_{wrijving}=Ek_{e}i-Ek_{b}eginW_{wrijving}=Ek_{e}in-Ek_{b}eginW_{wrijving}=Ek_{e}ind-Ek_{b}eginW_{wrijvin}=Ek_{e}ind-Ek_{b}eginW_{wrijvi}=Ek_{e}ind-Ek_{b}eginW_{wrijv}=Ek_{e}ind-Ek_{b}eginW_{wrijvo}=Ek_{e}ind-Ek_{b}eginW_{wrijv}=Ek_{e}ind-Ek_{b}eginW_{wrijv\in}=Ek_{e}ind-Ek_{b}eginW_{wrijv\in g}=Ek_{e}ind-Ek_{b}eginW_{wrijv\in}=Ek_{e}ind-Ek_{b}eginW_{wrijvi}=Ek_{e}ind-Ek_{b}eginW_{wrijv}=Ek_{e}ind-Ek_{b}eginW_{wrij}=Ek_{e}ind-Ek_{b}eginW_{wri}=Ek_{e}ind-Ek_{b}eginW_{wr}=Ek_{e}ind-Ek_{b}eginW_{w}=Ek_{e}ind-Ek_{b}eginW_{w}r=Ek_{e}ind-Ek_{b}eginW_{w}ri=Ek_{e}ind-Ek_{b}eginW_{w}rij=Ek_{e}ind-Ek_{b}eginW_{w}rijv=Ek_{e}ind-Ek_{b}eginW_{w}rijvi=Ek_{e}ind-Ek_{b}eginW_{w}rijvin=Ek_{e}ind-Ek_{b}egin

De formule voor wrijvingsarbeid is W_{wrijving}=-Fw\cdot sW_{wrijvin}=-Fw\cdot sW_{wrijvi}=-Fw\cdot sW_{wrijv}=-Fw\cdot sW_{wrijv\in}=-Fw\cdot sW_{wrijv\in g}=-Fw\cdot sW_{wrijv\in}=-Fw\cdot sW_{wrijvi}=-Fw\cdot sW_{wrijv}=-Fw\cdot sW_{wrij}=-Fw\cdot sW_{wri}=-Fw\cdot sW_{wr}=-Fw\cdot sW_{w}=-Fw\cdot sW_{w}r=-Fw\cdot sW_{w}ri=-Fw\cdot sW_{w}rij=-Fw\cdot sW_{w}rijv=-Fw\cdot sW_{w}rijvi=-Fw\cdot sW_{w}rijvin=-Fw\cdot s (waarbij Fw de wrijvingskracht is en s de afstand). Dus: -Fw\cdot s=\frac{1}{2}mv_{eind^{}}^2-\frac{1}{2}mv_{begin}^2-Fw\cdot s=\frac{1}{2}mv_{eind^{}}-\frac{1}{2}mv_{begin}^2-Fw\cdot s=\frac{1}{2}mv_{eind^2}-\frac{1}{2}mv_{begin}^2-Fw\cdot s=\frac{1}{2}mv_{eind}-\frac{1}{2}mv_{begin}^2-Fw\cdot s=\frac{1}{2}mv_{ein}-\frac{1}{2}mv_{begin}^2-Fw\cdot s=\frac{1}{2}mv_{ei}-\frac{1}{2}mv_{begin}^2-Fw\cdot s=\frac{1}{2}mv_{e}-\frac{1}{2}mv_{begin}^2-Fw\cdot s=\frac{1}{2}mv_{e}i-\frac{1}{2}mv_{begin}^2-Fw\cdot s=\frac{1}{2}mv_{e}in-\frac{1}{2}mv_{begin}^2-Fw\cdot s=\frac{1}{2}mv_{e}ind-\frac{1}{2}mv_{begin}^2-Fw\cdot s=\frac{1}{2}mv_{e}ind^-\frac{1}{2}mv_{begin}^2-Fw\cdot s=\frac{1}{2}mv_{e}ind^{2}-\frac{1}{2}mv_{begin}^2-Fw\cdot s=\frac{1}{2}mv_{e}ind^{2}-\frac{1}{2}mv_{begin}-Fw\cdot s=\frac{1}{2}mv_{e}ind^{2}-\frac{1}{2}mv_{begin}^-Fw\cdot s=\frac{1}{2}mv_{e}ind^{2}-\frac{1}{2}mv_{begin}^{2}-Fw\cdot s=\frac{1}{2}mv_{e}ind^{2}-\frac{1}{2}mv_{begi}^{2}-Fw\cdot s=\frac{1}{2}mv_{e}ind^{2}-\frac{1}{2}mv_{beg}^{2}-Fw\cdot s=\frac{1}{2}mv_{e}ind^{2}-\frac{1}{2}mv_{be}^{2}-Fw\cdot s=\frac{1}{2}mv_{e}ind^{2}-\frac{1}{2}mv_{b}^{2}-Fw\cdot s=\frac{1}{2}mv_{e}ind^{2}-\frac{1}{2}mv_{b}e^{2}-Fw\cdot s=\frac{1}{2}mv_{e}ind^{2}-\frac{1}{2}mv_{b}eg^{2}-Fw\cdot s=\frac{1}{2}mv_{e}ind^{2}-\frac{1}{2}mv_{b}egi^{2}

We vullen de gegevens in:

•

•v_{begin}=130km/u=130/3.6m/sv_{begi}=130km/u=130/3.6m/sv_{beg}=130km/u=130/3.6m/sv_{beg\in}=130km/u=130/3.6m/sv_{begi}=130km/u=130/3.6m/sv_{beg}=130km/u=130/3.6m/sv_{be}=130km/u=130/3.6m/sv_{b}=130km/u=130/3.6m/sv_{b}e=130km/u=130/3.6m/sv_{b}eg=130km/u=130/3.6m/sv_{b}egi=130km/u=130/3.6m/s

•v_{eind}=70km/u=70/3.6m/sv_{ein}=70km/u=70/3.6m/sv_{ei}=70km/u=70/3.6m/sv_{e}=70km/u=70/3.6m/sv_{e}i=70km/u=70/3.6m/sv_{e}in=70km/u=70/3.6m/s

•s = 80 m

Nu lossen we op voor Fw: Fw=(\frac{1}{2}mv_{begin}^2-\frac{1}{2}mv_{eind}^2)/sFw=(\frac{1}{2}mv_{begin}^2-\frac{1}{2}mv_{eind})/sFw=(\frac{1}{2}mv_{begin}^2-\frac{1}{2}mv_{eind}^)/sFw=(\frac{1}{2}mv_{begin}^2-\frac{1}{2}mv_{eind}^{2})/sFw=(\frac{1}{2}mv_{begin}^2-\frac{1}{2}mv_{ein}^{2})/sFw=(\frac{1}{2}mv_{begin}^2-\frac{1}{2}mv_{ei}^{2})/sFw=(\frac{1}{2}mv_{begin}^2-\frac{1}{2}mv_{e}^{2})/sFw=(\frac{1}{2}mv_{begin}^2-\frac{1}{2}mv_{e}i^{2})/sFw=(\frac{1}{2}mv_{begin}^2-\frac{1}{2}mv_{e}in^{2})/sFw=(\frac{1}{2}mv_{begin}^2-\frac{1}{2}mv_{e}ind^{2})/sFw=(\frac{1}{2}mv_{begin}-\frac{1}{2}mv_{e}ind^{2})/sFw=(\frac{1}{2}mv_{begin}^-\frac{1}{2}mv_{e}ind^{2})/sFw=(\frac{1}{2}mv_{begin}^{2}-\frac{1}{2}mv_{e}ind^{2})/sFw=(\frac{1}{2}mv_{begi}^{2}-\frac{1}{2}mv_{e}ind^{2})/sFw=(\frac{1}{2}mv_{begi}n^{2}-\frac{1}{2}mv_{e}ind^{2})/sFw=(\frac{1}{2}mv_{begi}^{2}-\frac{1}{2}mv_{e}ind^{2})/sFw=(\frac{1}{2}mv_{beg}^{2}-\frac{1}{2}mv_{e}ind^{2})/sFw=(\frac{1}{2}mv_{be}^{2}-\frac{1}{2}mv_{e}ind^{2})/sFw=(\frac{1}{2}mv_{b}^{2}-\frac{1}{2}mv_{e}ind^{2})/sFw=(\frac{1}{2}mv_{b}e^{2}-\frac{1}{2}mv_{e}ind^{2})/sFw=(\frac{1}{2}mv_{b}eg^{2}-\frac{1}{2}mv_{e}ind^{2})/sFw=(\frac{1}{2}mv_{b}egi^{2}-\frac{1}{2}mv_{e}ind^{2})/s

Toepassing 3: Vrije val zonder wrijving

Bij een vrije val zonder wrijving wordt alle zwaarte-energie omgezet in kinetische energie.

Denk aan een skater in een halfpipe. Bovenaan de halfpipe staat de skater stil op een bepaalde hoogte. De skater heeft hier maximale zwaarte-energie en geen kinetische energie. De thermische energie (warmte door wrijving) is nul, omdat we wrijving hier negeren.

Wanneer de skater naar beneden rolt, neemt de hoogte af en daarmee ook de zwaarte-energie. Tegelijkertijd neemt de snelheid toe, waardoor de kinetische energie toeneemt. Zonder wrijving zal de skater aan de andere kant van de halfpipe precies dezelfde hoogte bereiken als waar hij begon.

De energiebalans

We vergelijken situatie A (bovenaan) met situatie B (onderaan de halfpipe).

In situatie A:

•

• (staat stil)

In situatie B:

• (op het laagste punt, hoogte nul)

•Ek_{B}=\frac{1}{2}mv_{B}^2Ek_{B}=\frac{1}{2}mv_{B}Ek_{B}=\frac{1}{2}mv_{B}^ (maximaal)

De energiebalans wordt: mgh_{A}+0=0+\frac{1}{2}mv_{B}^2{}mgh_{A}+0=0+\frac{1}{2}mv_{B}{}mgh_{A}+0=0+\frac{1}{2}mv_{B}^{}

Dit vereenvoudigt tot: mgh_{A}=\frac{1}{2}mv_{B}^2mgh_{A}=\frac{1}{2}mv_{B}mgh_{A}=\frac{1}{2}mv_{B}^

Je kunt de massa (m) uit de vergelijking halen: gh_{A}=\frac{1}{2}v_{B}^2gh_{A}=\frac{1}{2}v_{B}gh_{A}=\frac{1}{2}v_{B}^

Deze formule laat zien hoe de snelheid aan de onderkant van de halfpipe afhangt van de beginhoogte, zonder invloed van de massa. Dit principe geldt voor elke vrije val vanuit rust zonder wrijving.

Toepassing 4: Valbeweging met wrijving

In de praktijk is er bijna altijd sprake van wrijving.

Als de skater in de halfpipe beweegt met wrijving (bijvoorbeeld door luchtweerstand en wrijving van de wieltjes), ontstaat er thermische energie (warmte). Deze warmte is een vorm van energieverlies uit het mechanische systeem (kinetische en zwaarte-energie). Hierdoor zal de skater aan de andere kant van de halfpipe niet dezelfde hoogte bereiken als waar hij begon; hij komt steeds minder hoog. De totale energie blijft wel behouden, maar een deel wordt omgezet in warmte.

De energiebalans

Bij een valbeweging vanuit rust met wrijving wordt de zwaarte-energie (Ez) omgezet in kinetische energie (Ek) én warmte (Q).

Met de formules ingevuld: mgh=\frac{1}{2}mv^2+Qmgh=\frac{1}{2}mv+Qmgh=\frac{1}{2}mv^{}+Q

De warmte (Q) kan, zoals eerder genoemd, berekend worden met de wrijvingskracht (Fw) en de afgelegde afstand (s):

Toepassing 5: Verticale worp

Een voetbal van 400 gram wordt vanaf het veld met een snelheid van 20 m/s de tribune in geschoten. Een supporter vangt de bal op een hoogte van 2 meter boven het veld. De bal heeft dan nog een snelheid van 15 m/s. De bal heeft in totaal 30 meter afgelegd door de lucht. Wat is de gemiddelde wrijvingskracht die de bal heeft ondervonden?

De energiebalans

We vergelijken situatie A (de bal verlaat het veld) met situatie B (de bal wordt gevangen door de supporter). De energiebalans omvat kinetische energie, zwaarte-energie en de warmte die ontstaat door wrijving.

In situatie A:

• (op veldhoogte)

•Ek_{A}=\frac{1}{2}mv_{A}^2Ek_{A}=\frac{1}{2}mv_{A}Ek_{A}=\frac{1}{2}mv_{A}^{} (beginsnelheid)

In situatie B:

• (op 2 meter hoogte)

•Ek_{B}=\frac{1}{2}mv_{B}^2Ek_{B}=\frac{1}{2}mv_{B}Ek_{B}=\frac{1}{2}mv_{B}^ (eindsnelheid)

•Q = warmte door wrijving tijdens de worp

De energiebalans is:

Met de formules ingevuld: \frac{1}{2}mv_{A}^2=\frac{1}{2}mv_{B}^2+mgh_{B}+Q\frac{1}{2}mv_{A}=\frac{1}{2}mv_{B}^2+mgh_{B}+Q\frac{1}{2}mv_{A}^=\frac{1}{2}mv_{B}^2+mgh_{B}+Q\frac{1}{2}mv_{A}^{2}=\frac{1}{2}mv_{B}^2+mgh_{B}+Q\frac{1}{2}mv_{A}^{2}=\frac{1}{2}mv_{B}+mgh_{B}+Q\frac{1}{2}mv_{A}^{2}=\frac{1}{2}mv_{B}^+mgh_{B}+Q

Berekening van de wrijvingskracht

We lossen eerst op voor Q: Q=\frac{1}{2}mv_{A}^2-(\frac{1}{2}mv_{B}^2+mgh_{B})Q=\frac{1}{2}mv_{A}-(\frac{1}{2}mv_{B}^2+mgh_{B})Q=\frac{1}{2}mv_{A}^-(\frac{1}{2}mv_{B}^2+mgh_{B})Q=\frac{1}{2}mv_{A}^{2}-(\frac{1}{2}mv_{B}^2+mgh_{B})Q=\frac{1}{2}mv_{A}^{2}-(\frac{1}{2}mv_{B}+mgh_{B})Q=\frac{1}{2}mv_{A}^{2}-(\frac{1}{2}mv_{B}^+mgh_{B})

Gegevens:

•

•

•

•

•

•g=9.81m/s^2g=9.81m/sg=9.81m/s^

1.Bereken de kinetische energie aan het begin (): Ek_{A}=\frac{1}{2}\cdot0.4\cdot(20)^2{}=0.2\cdot400=80JEk_{A}=\frac{1}{2}\cdot0.4\cdot(20){}=0.2\cdot400=80JEk_{A}=\frac{1}{2}\cdot0.4\cdot(20)^{}=0.2\cdot400=80J

2.Bereken de kinetische energie aan het einde (): Ek_{B}=\frac{1}{2}\cdot0.4\cdot(15)^2=0.2\cdot225=45JEk_{B}=\frac{1}{2}\cdot0.4\cdot(15)=0.2\cdot225=45JEk_{B}=\frac{1}{2}\cdot0.4\cdot(15)^=0.2\cdot225=45J

3.Bereken de zwaarte-energie aan het einde ():

4.Bereken de warmte (Q):

De warmte () die is vrijgekomen door wrijving is ongeveer 27.15 joule. Om de wrijvingskracht () te vinden, gebruiken we de formule voor warmte:

/

Afgerond is de wrijvingskracht ongeveer 0.91 newton.