Les over 9.3 Trillingsenergie en resonantie

Leerdoelen

•Je kunt beschrijven wanneer bij een trilling resonantie optreedt.

•Je kunt de wet van behoud van energie toepassen en berekeningen maken en redeneren met kinetische en potentiële energie bij trillingen.

•Je kunt berekeningen maken en redeneren met de formule voor de maximale snelheid bij een harmonische trilling.

Energieomzettingen bij een trilling

Bij een trilling waarbij de weerstandskrachten verwaarloosbaar zijn, spelen twee energievormen een rol:

•Kinetische energie: op de momenten dat het voorwerp snelheid heeft.

•Veerenergie: op de momenten dat er een uitrekking is.

Bij een horizontaal massa-veersysteem verandert de zwaarte-energie niet en hoef je hier geen rekening mee te houden. Bij een verticaal massa-veersysteem veranderen de zwaarte-energie en de veerenergie voortdurend. In dat geval gebruik je voor de veerenergie de term potentiële energie: . De potentiële energie is gelijk aan de som van de verandering van de zwaarte-energie en de verandering van de veerenergie. De totale energie van een trillend systeem is de trillingsenergie (). De formule voor een massa-veersysteem luidt: Hierin is:

• de trillingsenergie in J;

• de massa in kg;

• de snelheid in ;

• de krachtconstante (veerconstante) in ;

• de uitwijking in m.

Volgens de wet van behoud van energie blijft de totale trillingsenergie constant wanneer wrijving wordt verwaarloosd. De kinetische en potentiële energie zetten zich voortdurend in elkaar om:

•In de omkeerpunten ( of ) staat het voorwerp even stil (). De trillingsenergie bestaat dan volledig uit potentiële energie: . Door het kwadraat maakt het niet uit of de uitwijking positief of negatief is.

•In de evenwichtsstand () is de potentiële energie en is de snelheid maximaal. De trillingsenergie bestaat dan volledig uit kinetische energie: .

•Op alle tussenliggende punten leveren zowel kinetische als potentiële energie een bijdrage aan de trillingsenergie.

Maximale snelheid bij een harmonische trilling

De maximale snelheid () is de snelheid waarmee een voorwerp de evenwichtsstand passeert. Deze waarde hangt uitsluitend af van de amplitude en de trillingstijd: Hierin is:

• de maximale snelheid in ;

• de amplitude in m;

• de trillingstijd in s.

Dit verband volgt uit het gelijkstellen van de trillingsenergie in de evenwichtsstand aan de trillingsenergie in een omkeerpunt: Doordat voor een massa-veersysteem geldt dat , geldt ook . Invullen levert rechtstreeks de formule voor de maximale snelheid op.

Energieverlies bij een trilling

Wanneer er tijdens het trillen weerstandskrachten aanwezig zijn, wordt een deel van de trillingsenergie omgezet in warmte. De trilling wordt dan gedempt: de trillingsenergie neemt af, waardoor de amplitude en de maximale snelheid steeds kleiner worden. Om de amplitude constant te houden, moet er voortdurend energie worden toegevoerd door een externe kracht positieve arbeid te laten verrichten in de bewegingsrichting van de trilling.

Eigentrilling en gedwongen trilling

Een massa-veersysteem dat eenmalig wordt uitgerekt en losgelaten, gaat trillen met zijn eigen specifieke frequentie. Dit noem je de eigenfrequentie (). De trilling die het systeem uit zichzelf uitvoert, heet een eigentrilling. Bij een massa-veersysteem hangt deze eigenfrequentie uitsluitend af van de massa en de veerconstante. Als een systeem in beweging wordt gehouden door een periodieke kracht van buitenaf, spreek je van een gedwongen trilling. De frequentie waarmee de externe kracht verandert, noem je de aandrijffrequentie ().

Resonantie

Wanneer de aandrijffrequentie ongeveer gelijk is aan de eigenfrequentie van een systeem (), gaat het systeem heftig trillen. Als de aandrijffrequentie precies gelijk is aan de eigenfrequentie, treedt resonantie op. De amplitude waarmee het systeem trilt wordt dan vele malen groter dan de aandrijfamplitude en de trillingsenergie neemt enorm toe.

Resonantie in de muziek

Resonantie wordt op verschillende manieren gebruikt bij muziekinstrumenten:

•Een stemvork heeft twee benen die trillen met een vaste frequentie. Los in de lucht klinkt een stemvork erg zacht doordat er weinig lucht in beweging wordt gebracht. Zet je de stemvork op een tafelblad, dan trilt het tafelblad mee en brengt meer lucht in trilling, waardoor de klank veel luider is.

•Bij een akoestische gitaar brengt een trillende snaar de lucht in de klankkast in resonantie, wat zorgt voor een veel krachtiger en beter hoorbaar geluid.