Les over 9 Trillingen en golven

Leerdoelen

•Je kunt de eigenschappen van een periodieke beweging en een trilling benoemen en toepassen in een (u, t)-diagram.

•Je kunt faseverschil en gereduceerde faseverschil beschrijven en toepassen in een (u, t)-diagram.

•Je kunt berekeningen maken en redeneren met de formules voor frequentie en faseverschil.

•Je kunt een periodieke beweging analyseren met behulp van een oscillogram of een modelleerprogramma.

•Je kunt berekeningen maken en redeneren met de formule voor de trillingstijd van een massa-veersysteem.

•Je kunt berekeningen maken en redeneren met de formules voor de resulterende kracht en de uitwijking van een harmonische trilling.

•Je kunt beschrijven wanneer bij een trilling resonantie optreedt.

•Je kunt de wet van behoud van energie toepassen en berekeningen maken en redeneren met kinetische en potentiële energie bij trillingen.

•Je kunt berekeningen maken en redeneren met de formule voor de maximale snelheid bij een harmonische trilling.

•Je kunt de eigenschappen van een lopende transversale of longitudinale golf beschrijven en toepassen in een (u, t)-diagram.

•Je kunt de eigenschappen van een lopende transversale of longitudinale golf beschrijven en toepassen in een (u, x)-diagram.

•Je kunt berekeningen maken en redeneren met de formules voor de golfsnelheid van een golf en het faseverschil tussen twee punten op een golf.

•Je kunt de eigenschappen van geluidsgolven en echo beschrijven en toepassen.

•Je kunt beschrijven wanneer bij een geluidsgolf constructieve en destructieve interferentie optreedt en wanneer golven in fase of in tegenfase zijn.

•Je kunt redeneren met het dopplereffect.

•Je kunt de eigenschappen van staande golven beschrijven en toepassen.

•Je kunt de voortplantingssnelheid, golflengte en frequentie van de grondtoon en de boventonen berekenen of bepalen.

•Je kunt beschrijven hoe een toon ontstaat en uitleggen van welke factoren de toonhoogte afhangt.

Trillingen

Een periodieke beweging is een beweging die zich herhaalt in een vaste tijdsduur. Wanneer een periodieke beweging heen en weer gaat rondom een vaste evenwichtsstand, spreken we van een trilling. Een voorbeeld van een trilling is een gewichtje aan een veer of een kind op een schommel; de beweging van de aarde om de zon is wel periodiek, maar geen trilling omdat er geen evenwichtsstand wordt gepasseerd.

De tijdsduur van één volledige trilling noem je de trillingstijd of periode met het symbool (in seconden, ). Het aantal trillingen per seconde is de frequentie met het symbool . De eenheid van frequentie is hertz (), wat overeenkomt met . Het verband tussen trillingstijd en frequentie is: De frequentie kan ook worden weergegeven in het aantal slagen per minuut, aangeduid met of beats per minute (BPM), zoals bij een hartslag. De afstand van het trillende voorwerp tot de evenwichtsstand op een bepaald tijdstip is de uitwijking. Deze kan positief of negatief zijn. De maximale afstand tot de evenwichtsstand noem je de amplitude. De amplitude is altijd een positieve waarde: .

Het (u,t)-diagram

In een (uitwijking, tijd)-diagram, kortweg (u,t)-diagram, wordt de uitwijking van de trilling uitgezet tegen de tijd. Uit dit diagram lees je direct de amplitude en de trillingstijd af. Om de trillingstijd zo nauwkeurig mogelijk te bepalen, lees je de tijdsduur van een zo groot mogelijk aantal volledige perioden af (bijvoorbeeld van top tot top) en deel je deze tijd door het aantal trillingen. Hierdoor halveer je de meetonzekerheid.

Fase, gereduceerde fase en faseverschil

De fase geeft aan hoeveel volledige trillingen een voorwerp heeft uitgevoerd vanaf het moment dat het voor het eerst in positieve richting door de evenwichtsstand beweegt. Omdat de fase een aantal weergeeft, heeft deze geen eenheid. De gereduceerde fase geeft aan welk deel van de huidige trilling op een bepaald moment is doorlopen. Je berekent de gereduceerde fase door het gehele aantal trillingen van de fase af te trekken; de waarde ligt dus altijd tussen en . Het faseverschil bij een trilling tussen twee tijdstippen berekent men met de formule: Het gereduceerd faseverschil bepaalt hoe twee trillingen ten opzichte van elkaar bewegen:

•Wanneer , bewegen de punten in fase: ze bewegen op elk moment in dezelfde richting met dezelfde verhouding van hun uitwijking.

•Wanneer , bewegen de punten in tegenfase: als het ene punt zich op de maximale positieve uitwijking bevindt, bevindt het andere punt zich op de maximale negatieve uitwijking.

Harmonische trilling

Een harmonische trilling is een trilling waarvan het -diagram een zuivere sinusvorm heeft. Bij een harmonische trilling is de resulterende kracht bij een harmonische trilling recht evenredig met de uitwijking, maar er tegengesteld aan gericht: Hierin is de krachtconstante in newton per meter (). Het minteken geeft aan dat de resulterende kracht altijd terug naar de evenwichtsstand is gericht. In een -diagram levert dit een dalende rechte lijn op die door de oorsprong gaat. De uitwijking bij een harmonische trilling verandert in de tijd volgens de formule: Bij het rekenen met deze goniometrische formule moet de hoek altijd worden uitgedrukt in radialen (radiaal). Een volledige cirkel van komt overeen met radiaal.

Massa-veersysteem

Een belangrijk voorbeeld van een harmonische trilling is het massa-veersysteem, waarbij een massa aan een veer met veerconstante trilt. De trillingstijd van een massa-veersysteem hangt uitsluitend af van de massa en de veerconstante, en is onafhankelijk van de amplitude:

Metingen aan trillingen

Om trillingen en geluid te analyseren, worden elektrische apparaten gebruikt. Een microfoon zet de drukschommelingen van geluid om in een wisselspanning. Een oscilloscoop geeft een spanning grafisch weer als functie van de tijd; het beeld dat op het scherm verschijnt heet een oscillogram.

Op een oscilloscoop stelt men de schaalverdeling in via de knoppen voor de tijdbasis (uitgedrukt in , de tijdsduur per hokje) en de gevoeligheid (uitgedrukt in , de spanning per hokje). Een elektrisch signaal van het hart dat op vergelijkbare wijze wordt geregistreerd, heet een cardiogram (ECG).

Trillingsenergie en resonantie

Tijdens een trilling vindt er voortdurend een energieomzetting plaats tussen kinetische energie (bewegingsenergie) en potentiële energie (zoals veerenergie of zwaarte-energie). Wanneer er geen wrijving optreedt, blijft de totale trillingsenergie behouden:

In de omkeerpunten ( of ) staat het voorwerp een moment stil (). De trillingsenergie bestaat dan volledig uit potentiële energie: . In de evenwichtsstand () is de potentiële energie nul en beweegt het voorwerp met de maximale snelheid. De trillingsenergie is daar volledig kinetisch: . Door deze energieën aan elkaar gelijk te stellen, volgt de formule voor de maximale snelheid bij een harmonische trilling: Als er wrijvingskrachten aanwezig zijn, wordt een deel van de trillingsenergie omgezet in warmte en raakt de trilling gedempt: de amplitude neemt in de loop van de tijd af.

Resonantie

Wanneer je een voorwerp eenmaal een uitwijking geeft en loslaat, gaat het trillen in zijn eigentrilling met zijn karakteristieke eigenfrequentie. Wordt een systeem van buitenaf periodiek aangedreven door een externe kracht, dan spreken we van een gedwongen trilling. Wanneer de externe aandrijffrequentie vrijwel gelijk is aan de eigenfrequentie van het systeem, treedt resonantie op.

Bij resonantie wordt er erg efficiënt energie overgedragen van de aandrijver naar het trillende systeem, waardoor de amplitude van de trilling extreem groot wordt. Resonantie wordt nuttig gebruikt om geluid te versterken via een klankkast of bij een stemvork op een klankkast, maar kan bij bruggen of gebouwen tot destructieve uitslagen leiden.

Lopende golven

Een trilling die zich door een medium (tussenstof) voortplant, vormt een golf. Het medium zelf verplaatst zich niet netto; de deeltjes van het medium trillen enkel rond hun eigen evenwichtsstand en dragen de trillingsenergie over aan hun buurdeeltjes.

Transversale en longitudinale golven

Er bestaan twee hoofdtypen golven:

•(lopende) transversale golf: de deeltjes trillen loodrecht op de voortplantingsrichting van de golf. Hierdoor ontstaan golfbergen en golfdalen (zoals in een koord of op een wateroppervlak).

•(lopende) longitudinale golf: de deeltjes trillen in dezelfde richting als de voortplantingsrichting van de golf. Hierdoor ontstaan gebieden met een hoge dichtheid (verdichtingen) en lage dichtheid (verdunningen), zoals bij geluid of een spiraalveer.

Golfsnelheid en golflengte

De afstand die een golf aflegt gedurende één trillingstijd heet de golflengte (in meter). De snelheid waarmee het golffront of de kop van de golf zich door het medium verplaatst, is de voortplantingssnelheid of golfsnelheid. Voor elke golf geldt de formule: De golfsnelheid hangt af van het medium en de temperatuur. In een (u,x)-diagram wordt de uitwijking van alle deeltjes in het medium op één specifiek tijdstip weergegeven als functie van de plaats (een momentopname).

Faseverschil bij een golf

Het faseverschil bij een golf tussen twee punten die zich op een afstand van elkaar bevinden, wordt berekend met de formule: Elektromagnetische straling (zoals zichtbaar licht) is een transversale golf die geen medium nodig heeft en zich door een vacuüm voortplant met de lichtsnelheid .

Geluid

Geluid is een longitudinale mechanische golf die zich uitsluitend door een medium (zoals lucht, water of een vaste stof) kan voortplanten. In een vacuüm kan geluid zich niet voortplanten.

De geluidssnelheid is de voortplantingssnelheid van de geluidsgolf. Deze hangt niet af van de frequentie of amplitude, maar wordt bepaald door het medium en de temperatuur. De eigenschappen van de geluidsgolf bepalen wat we horen:

•De frequentie van de trilling bepaalt de toonhoogte: hoe hoger de frequentie, hoe hoger de toon. Mensen met een gezond gehoor kunnen tonen horen tussen en . Geluid met een frequentie boven heet ultrasoon geluid.

•De amplitude van de trilling bepaalt de geluidssterkte: een grotere amplitude geeft een harder geluid.

Echo

Een echo ontstaat wanneer een geluidsgolf tegen een hard, vlak oppervlak botst en terugkaatst naar de bron. Als het tijdverschil tussen het directe geluid en het teruggekaatste geluid heel klein is (minder dan ), kan het menselijk gehoor de twee geluiden niet gescheiden waarnemen en spreken we van galm. Echo wordt gebruikt bij dieptemetingen (sonar), echolocatie door dieren en medische echografie.

Interferentie en dopplereffect

Wanneer twee of meer golven op dezelfde plaats samenkomen, tellen hun uitwijkingen op. Dit verschijnsel heet interferentie.

•constructieve interferentie: wanneer twee golven op een punt precies in fase samenkomen (), versterken ze elkaar maximaal. Toppen vallen samen met toppen en dalen met dalen, wat leidt tot een grotere amplitude (harder geluid).

•destructieve interferentie: wanneer twee golven op een punt in tegenfase samenkomen (), verzwakken ze elkaar. Een top valt samen met een dal, waardoor de amplitude kleiner of zelfs nul wordt.

Het dopplereffect treedt op wanneer een geluidsbron en een waarnemer ten opzichte van elkaar bewegen. Beweegt de bron naar de waarnemer toe, dan worden de golffronten in elkaar gedrukt. De waargenomen golflengte wordt korter en de opgevangen frequentie hoger. Beweegt de bron van de waarnemer af, dan worden de golven uitgerekt en hoort de waarnemer een lagere frequentie.

Muziekinstrumenten

Wanneer twee identieke golven met dezelfde frequentie en amplitude in tegengestelde richting door een medium lopen, interfereren ze met elkaar. Bij specifieke frequenties ontstaat een vast patroon dat niet door het medium lijkt te bewegen: een staande golf.

Knopen en buiken

In een staande golf onderscheiden we vaste punten:

•knoop: een punt waar continue destructieve interferentie optreedt. De uitwijking is hier altijd nul.

•buik: een punt waar continue maximaal constructieve interferentie optreedt. De uitwijking varieert hier met de maximale amplitude.

De afstand tussen twee opeenvolgende knopen of twee opeenvolgende buiken is exact gelijk aan een halve golflengte (). De afstand tussen een knoop en een direct naastgelegen buik is een kwart golflengte (). Om snelle trillingen van staande golven visueel stil te zetten, gebruikt men een stroboscoop (een lamp die met een instelbare frequentie flitst).

Snaarinstrumenten

Een ingeklemde snaar heeft aan beide vaste uiteinden altijd een knoop. De laagste frequentie waarbij een staande golf kan ontstaan, levert de grondtoon op (). Bij hogere frequenties ontstaan de boventonen ().

Voor een snaar met lengte geldt de algemene voorwaarde voor het ontstaan van een staande golf: Hierin is een geheel getal (). De eigenfrequenties van de boventonen zijn gehele veelvouden van de grondtoon (). De toonhoogte van een snaar hangt af van vier factoren: de lengte, het materiaal, de dikte en de spankracht van de snaar.

Blaasinstrumenten

Bij blaasinstrumenten ontstaan staande longitudinale golven in de luchtkolom van een buis. Aan een open uiteinde van de buis kan de lucht vrij trillen, waardoor hier een buik ontstaat. Aan een gesloten uiteinde staat de lucht stil, wat zorgt voor een knoop.

Bij een buis met twee open uiteinden (zoals een dwarsfluit of blokfluit) bevinden zich aan beide uiteinden buiken. De voorwaarde voor een staande golf is gelijk aan die van een snaar: met . De frequenties van de boventonen zijn alle gehele veelvouden van de grondfrequentie ().

Bij een buis met één open en één gesloten uiteinde (zoals een klarinet) bevindt zich een knoop bij het gesloten einde en een buik bij het open einde. Hier zijn alleen oneven boventonen mogelijk volgens de formule: met . De toegestane eigenfrequenties verhouden zich als de oneven getallen ().