Les over 8.5 Gravitatie-energie en ontsnappingssnelheid

Leerdoelen

•Je kunt uitleggen dat de gravitatie-energie verandert als er arbeid wordt verricht door de gravitatiekracht en de formule voor de gravitatie-energie toepassen.

•Je kunt berekeningen maken en redeneren met de wet van arbeid en kinetische energie en met de wet van behoud van energie in situaties waarin gravitatie-energie wordt gebruikt.

•Je kunt beschrijven en uitleggen dat de ontsnappingssnelheid afhangt van de massa en de straal van het hemellichaam.

Van zwaartekracht naar gravitatiekracht

Bij een voorwerp op of dicht bij het aardoppervlak bereken je de aantrekkingskracht met de formule voor de zwaartekracht: . Hierin is de gravitatieversnelling (of valversnelling). In Nederland geldt gemiddeld . Naarmate een voorwerp zich op een grotere hoogte boven het aardoppervlak bevindt, neemt de waarde van af volgens de formule , met . Op grotere afstanden van de aarde of een ander hemellichaam verander je van model en gebruik je de formule voor de gravitatiekracht: Hierin is:

•: de gravitatiekracht in newton (N).

•: de gravitatieconstante ().

•: de massa van het voorwerp in kilogram (kg).

•: de massa van het hemellichaam in kilogram (kg).

•: de afstand tussen de zwaartepunten van het voorwerp en het hemellichaam in meter (m).

Hoe groter de afstand , hoe kleiner de gravitatiekracht wordt. Op het oppervlak van een hemellichaam is de gravitatiekracht maximaal; op een oneindig grote afstand nadert de gravitatiekracht tot .

Arbeid door de gravitatiekracht

Wanneer een voorwerp beweegt ten opzichte van een hemellichaam, verandert de afstand en daardoor ook de grootte van de gravitatiekracht. De hoeveelheid arbeid die de gravitatiekracht in deze situatie verricht, bepaal je met de oppervlakte onder de grafiek in een -diagram of -diagram. Als een voorwerp van een hemellichaam af beweegt, staat de gravitatiekracht tegengesteld aan de bewegingsrichting. De gravitatiekracht verricht in dat geval negatieve arbeid (). Bij een kleine hoogteverandering mag de grafiek als een rechte schuine lijn worden beschouwd en gebruik je de gemiddelde kracht: Waarbij .

Gravitatie-energie

Wanneer een kracht negatieve arbeid verricht, neemt de bijbehorende energievorm toe. De energievorm die hoort bij de gravitatiekracht is de gravitatie-energie. Waar de zwaarte-energie () alleen geldt dicht bij het aardoppervlak en op wordt gesteld op het laagste punt, stel je de gravitatie-energie op op een oneindig grote afstand van een hemellichaam. Omdat de maximale waarde is in het oneindige, heeft de gravitatie-energie op elke eindige afstand een negatieve waarde of is deze gelijk aan nul (). De formule voor gravitatie-energie is: Wanneer de afstand groter wordt, neemt toe (de waarde wordt minder negatief). Bij een grote hoogteverandering bereken je de arbeid verricht door de gravitatiekracht via de verandering van de gravitatie-energie:

Energiebehoud en de wet van arbeid en kinetische energie

Bij vraagstukken waarin ruimteschepen, satellieten of planeten bewegen, combineer je de gravitatie-energie met behoudswetten:

•De wet van arbeid en kinetische energie: . De arbeid verricht door de gravitatiekracht telt hierin mee onder de resulterende arbeid.

•De wet van behoud van energie: , wat bij een lancering neerkomt op , waarbij de warmte is die ontstaat door eventuele wrijving.

Ontsnappingssnelheid

De ontsnappingssnelheid is de minimale snelheid die een voorwerp bij de lancering nodig heeft om aan de aantrekkingskracht van een hemellichaam te ontsnappen (waarbij wrijving met de atmosfeer wordt verwaarloosd). Het voorwerp komt dan op een oneindig grote afstand en kan niet meer terugvallen. Bij een minimale lancering tot in het oneindige geldt:

1.Op oneindig grote afstand is de gravitatie-energie gelijk aan nul ().

2.De eindsnelheid in het oneindige is minimaal nul, dus ook de kinetische energie is daar nul ().

3.Wrijving wordt verwaarloosd ().

Uit de wet van behoud van energie volgt dat bij de lancering geldt: . Uitschrijven levert: Door de massa van het voorwerp weg te delen en de formule te herschrijven, ontstaat de formule voor de ontsnappingssnelheid: Hierin is:

•: de ontsnappingssnelheid in meter per seconde ().

•: de massa van het hemellichaam in kilogram (kg).

•: de straal van het hemellichaam (of de afstand vanaf het middelpunt ) in meter (m).

De ontsnappingssnelheid is onafhankelijk van de massa van het voorwerp en hangt uitsluitend af van de massa en de straal van het hemellichaam.

Verhouding met baansnelheid en lancering vanaf de aarde

Voor een voorwerp dat in een cirkelvormige baan rond een hemellichaam draait, leid je de baansnelheid af uit de gelijkheid van de middelpuntzoekende kracht en de gravitatiekracht (): De verhouding tussen de ontsnappingssnelheid en de baansnelheid op dezelfde afstand is een vaste factor: Bij lanceringen vanaf de aarde maakt men slim gebruik van de eigen draaiing van de aarde om haar as:

•De baansnelheid door de aardrotatie is het grootst bij de evenaar, omdat de straal van de aarde daar het grootst is ().

•Raketten worden bij voorkeur vlak bij de evenaar in oostelijke richting gelanceerd (met de draaiing van de aarde mee), waardoor er minder brandstof nodig is om de gewenste snelheid te bereiken.

In een -diagram zijn de grafieken van de gravitatie-energie en de benodigde kinetische energie voor ontsnapping gespiegeld ten opzichte van de horizontale as. Het verschil tussen en de al aanwezige kinetische energie in een baan geeft de minimale nuttige chemische energie die de raketmotoren moeten leveren om vanuit die baan te ontsnappen.