Les over 7.4 Modelleren

Leerdoelen

•Je kunt een basismodel van een eenparige en een eenparig versnelde beweging opstellen en aanpassen.

•Je kunt een stopconditie in een model formuleren om het rekenproces op het juiste moment te beëindigen.

Computermodellen en de numerieke rekenmethode

Bij het oplossen van ingewikkelde natuurkundige problemen gebruik je vaak een computermodel. Vooral wanneer een beweging of proces moeilijk met één vaste formule beschreven kan worden, biedt het opdelen van de tijd in kleine stappen uitkomst. Het stapsgewijs berekenen van natuurkundige grootheden noem je modelleren. Om een beweging waarvan de snelheid steeds verandert te beschrijven, gebruik je een numerieke rekenmethode. Deze methode verdeelt een totale tijdsduur in opeenvolgende tijdstappen met een vaste duur, de stapgrootte (). Binnen een tijdstap wordt aangenomen dat de snelheid constant blijft. Met een klein genomen stapgrootte is dit een zeer nauwkeurige benadering van de werkelijkheid. In een numeriek model worden hiervoor de basisformules voor snelheid en versnelling gebruikt:

•Snelheid is de afgeleide van de plaats naar de tijd: . Voor de verplaatsing geldt dus: .

•Versnelling is de afgeleide van de snelheid naar de tijd: . Voor de snelheidsverandering geldt dus: .

Het tekstmodel

Een tekstmodel is een geschreven weergave van een computermodel. Het bestaat uit twee onderdelen:

•Modelregels: de instructies en vergelijkingen die gedurende de simulatie stap voor stap worden uitgevoerd. Het teken in een modelregel betekent 'wordt gelijk aan'. In verkorte schrijfwijze wordt de verplaatsing direct verwerkt, zoals in .

•Startwaarden: de beginwaarden van alle grootheden en variabelen op , inclusief de stapgrootte .

In software zoals Coach gelden voor het invoeren van startwaarden en modelregels specifieke notatieregels:

•Vermenigvuldigen schrijf je met een sterretje ().

•Een deling of eenheid met een negatieve exponent schrijf je met een schuine streep (), zoals of .

•Machten geef je aan met een dakje () en machten van tien met de letter (bijvoorbeeld voor ).

•Met een apostrof () geef je commentaar of eenheden aan; de computer negeert alle tekst achter dit teken.

De computer doorloopt de modelregels achtereenvolgens en herhaalt deze cyclus steeds met de nieuw berekende uitkomsten. Dit herhalende proces noem je een iteratief proces.

Het grafisch model

In plaats van tekst kun je een numeriek model ook weergeven met grafische symbolen in een stroomdiagram. Dit noem je een grafisch model. Hiervoor worden specifieke symbolen gebruikt:

•Toestandsvariabele: een grootheid die in de tijd verandert (zoals plaats of snelheid ).

•Stroomvariabele: berekent per tijdstap de verandering van een daaraan gekoppelde toestandsvariabele.

•Hulpvariabele: een grootheid die met behulp van een formule wordt berekend.

•Constante: een grootheid met een waarde die tijdens het hele proces gelijk blijft.

•Relatiepijl: geeft aan welke grootheid afhankelijk is van een andere grootheid. De pijl wijst naar de variabele die beïnvloed wordt.

•Onafhankelijke variabele: de grootheid die de verandering van de toestandsvariabele bepaalt (bij natuurkundige modellen is dit de tijd).

Het basismodel voor bewegingen

Een basismodel beschrijft een beweging waarin krachten nog geen rol spelen.

•Eenparige beweging: de snelheid is een constante en de plaats is een toestandsvariabele. Het model gebruikt de regel: .

•Eenparig versnelde beweging: de versnelling is een constante, terwijl zowel de snelheid als de plaats toestandsvariabelen zijn. Het model voegt een regel toe voor de snelheidsverandering: .

Bij het instellen van de startwaarden moet je rekening houden met de gekozen positieve richting. Zo heeft de valversnelling bij een verticale beweging een negatieve startwaarde () als de richting omhoog als positief is gekozen.

Stapgrootte en stopconditie

De nauwkeurigheid van een model hangt sterk af van de gekozen stapgrootte :

•Bij een te grote stapgrootte vertoont de diagramgrafiek zichtbare knikken en treedt er een afwijking van de werkelijkheid op.

•Hoe kleiner de stapgrootte, hoe beter het model de werkelijke beweging benadert. Een hele kleine stapgrootte vereist echter veel meer rekenstappen en dus meer rekencapaciteit van de computer.

Om te zorgen dat het rekenproces op het juiste moment stopt (bijvoorbeeld wanneer een voorwerp de grond raakt of tot stilstand komt), stel je een stopconditie in. In een tekstmodel gebruikt men hiervoor een voorwaarde, zoals: Als x <= 0 dan stop eindalsLet op: gebruik in een stopconditie altijd een 'kleiner dan of gelijk aan' () of 'groter dan of gelijk aan' () en niet uitsluitend een '='-teken. Omdat een variabele na een tijdstap zelden precies uitkomt op , kan de computer bij een exacte gelijkheid ongewenst blijven doorrekenen.